Grundlagen über Algebren

Grundbegriffe

Sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine kommutative $R$-Algebra ist ein kommutativer Ring $A$ zusammen mit einem Ringhomomorphismus $R \to A$. Diesen Homomorphismus schreibt man öfters nicht explizit hin, weil er sich in der Regel aus dem Kontext ergibt und sehr einfach zu definieren ist. Er muss nicht injektiv sein, die triviale $R$-Algebra $0$ ist ein Beispiel dafür. Für eine $R$-Algebra $A$ ist die additive Gruppe von $A$ auch ein $R$-Modul durch Einschränkung der Skalare. Ein typisches und wichtiges Beispiel ist die Polynomalgebra $A = R[X_1,\dotsc,X_n]$ in $n$ Variablen. Ein Homomorphismus von $R$-Algebren $A \to A'$ ist ein Homomorphismus von kommutativen Ringen, der mit dem Ringhomomorphismus von $R$ verträglich ist: Das Diagramm muss kommutieren. Diese Bedingung ist auch äquivalent zur $R$-Linearität, wenn wir die $R$-Modulstrukturen betrachten. Die Menge aller solchen Homomorphismen bezeichnen wir hier einfach mit $\mathrm{Hom}(A,A')$. Wir erhalten eine Kategorie $\mathbf{CAlg}_R$ kommutativer $R$-Algebren. Für diesen Artikel wichtige kategorielle Grundbegriffe sind: Kategorie, Funktor, Morphismus von Funktoren, darstellbarer Funktor, universelle Eigenschaft, Yoneda-Lemma. Wir bezeichnen mit $U : \mathbf{CAlg}_R \to \mathbf{Set}$ den Vergissfunktor. Anstelle von $a \in U(A)$ schreiben wir manchmal $a \in A$, wie es auch üblich ist.

Polynomalgebren

Sei $A$ eine kommutative $R$-Algebra. Die Polynomalgebra $A[X_1,\dotsc,X_n]$ ist definiert (die übliche Meinung hierzu ist, dass es eine Eigenschaft ist) als ein darstellendes Objekt des Funktors $\mathrm{Hom}(A,-) \times U^n : \mathbf{CAlg}_R \to \mathbf{Set}$. Man hat demnach einen universellen Homomorphismus $A \to A[X_1,\dotsc,X_n]$ und universelle Elemente $X_1,\dotsc,X_n \in U(A[X_1,\dotsc,X_n])$ derart, dass für jede kommutative $R$-Algebra $B$ die Abbildung $\mathrm{Hom}(A[X_1,\dotsc,X_n],B) \to \mathrm{Hom}(A,B) \times U(B)^n, \, \varphi \mapsto (\varphi|_A,\varphi(X_1),\dotsc,\varphi(X_n))$ bijektiv ist ("universelle Eigenschaft der Polynomalgebra"). Für einen Homomorphismus $\alpha : A \to A'$ bezeichnen wir den induzierten Homomorphismus $A[X_1,\dotsc,X_n] \to A'[X_1,\dotsc,X_n]$ mit $f \mapsto f^{\alpha}$, manchmal auch salopp einfach mit $f \mapsto f$.

Quotienten von Algebren

Ist $I$ ein Ideal einer kommutativen $R$-Algebra, so ist $A/I$ als ein darstellendes Objekt des Unterfunktors $\{f \in \mathrm{Hom}(A,-) : f|_I = 0\}$ von $\mathrm{Hom}(A,-)$ definiert. Das bedeutet, wir haben einen Homomorphismus $p :A \to A/I$ mit $p|_I = 0$ (den wir mit $a \mapsto [a]$ notieren) derart, dass $\mathrm{Hom}(A/I,-) \to \{f \in \mathrm{Hom}(A,-) : f|_I = 0\},~ g \mapsto g \circ p$ ein Isomorphismus von Funktoren ist ("Homomorphiesatz"). Hierbei geht es also darum, auf universelle Weise die Elemente von $I$ zu Null zu machen. Die Konstruktion von $A/I$ über Restklassen spielt eine Nebenrolle. Wir können aber auch auf universelle Weise zwei Elemente von $A$ gleich machen: Wenn $a,b \in A$ zwei Elemente sind, so sei die kommutative $R$-Algebra $ A / ( a=b)$ ein darstellendes Objekt des Unterfunktors $\{f \in \mathrm{Hom}(A,-) : f(a)=f(b)\}$ von $\mathrm{Hom}(A,-)$ definiert. Weil dieser Unterfunktor mit dem obigen Funktor für das Ideal $I = \langle a - b \rangle$ übereinstimmt, lässt sich $A/(a=b)$ durch $A/ \langle a - b \rangle$ realisieren. Es gilt also $A/(a=0) = A/\langle a \rangle$ und $A/(a=b) = A/(a-b=0)$. Die Idee bei $A/(a=b)$ ist ganz einfach, eine Relation $a=b$ einzuführen, die in $A$ nicht unbedingt gelten muss. Es besteht kein Zwang, diese Relation als $a-b=0$ umzuschreiben. Zum Beispiel ist $\IZ[X] / (X^2 = X)$ ein Ring, den man einfach so stehen lassen kann (auch wenn er zu $\IZ[X] / \langle X^2 - X \rangle$ isomorph ist). Zudem sind solche Quotientenkonstruktionen in einem viel allgemeineren Rahmen möglich ("Erzeuger und Relationen"), als Beispiel sollen hier nur die Halbringe (in Halbringen gibt es keine Subtraktion) $\IN[X] / (X^2 = X)$ und $\IN / (2 = 3)$ genannt werden. Wir können natürlich auch mehrere Gleichungen erzwingen. Wenn $((a_i,b_i))_{i \in I}$ eine beliebige Familie von Paaren von Elementen in $A$ ist, dann definieren wir $ A / (a_i = b_i)_{i \in I}$ als ein darstellendes Objekt von $\{f \in \mathrm{Hom}(A,-) : \forall i \in I \, (f(a_i)=f(b_i))\}$, und können dies konstruieren als $A / I$, wobei $I$ das von allen Differenzen $a_i - b_i$, $i \in I$, erzeugte Ideal sei. Jetzt kommen wir zu etwas Neuem, aber das Konzept ist ganz einfach. Wir können nicht nur Elemente, auch Polynome universell gleich machen: Seien dazu $p,q \in A[X]$. Wir definieren die kommutative $R$-Algebra $A / (p = q)$ als ein darstellendes Objekt des Unterfunktors $ \{\alpha \in \mathrm{Hom}(A,-) : p^{\alpha} = q^{\alpha}\}$ von $\mathrm{Hom}(A,-)$. Schreiben wir $p = \sum_{n \geq 0} p_n X^n$, $q = \sum_{n \geq 0} q_n X^n$, so ist $p^{\alpha} = q^{\alpha}$ äquivalent zu $\alpha(p_n) = \alpha(q_n)$ für alle $n \geq 0$. Tatsächlich ist $A / (p = q)$ also nichts anderes als $A / (p_n = q_n)_{n \geq 0}$. Insbesondere wissen wir, dass diese kommutative Algebra existiert. Mit Polynomen $p,q \in A[X_1,\dotsc,X_n]$ in mehreren Variablen können wir genauso vorgehen. Beispiele:

• $\IZ / ( 3X^2 = 0 ) = \IZ / (3 = 0) = \IF_3$
• $\IZ / ((X+Y)^2 = X^2 + Y^2) = \IZ / (2XY = 0) = \IZ / (2 = 0) = \IF_2$