Nullstellenalgebra

Sei $f \in A[X]$ ein Polynom. Wir definieren die Nullstellenalgebra $N_A(f)$ als ein darstellendes Objekt des Unterfunktors $B \mapsto \{(\alpha,u) \in \mathrm{Hom}(A,B) \times U(B) : f^{\alpha}(u)=0\}$ von $\mathrm{Hom}(A,-) \times U$. Die Idee ist also, dass $N_A(f)$ universell aus $A$ durch Adjunktion einer Nullstelle von $f$ entsteht, und diese Idee gießen wir direkt in die Definition rein. Die Definition bedeutet konkret: es gibt einen Homomorphismus $A \to N_A(f)$ und ein Element $x \in N_A(f)$ mit $f(x)=0$ derart, dass für alle kommutativen $R$-Algebren $B$ die Abbildung $\mathrm{Hom}(N_A(f),B) \to \{(\alpha,u) \in \mathrm{Hom}(A,B) \times U(B) : f^{\alpha}(u)=0\},~ \beta \mapsto (\beta|_A, \beta(x))$ bijektiv ist. Beweisen wir, dass $N_A(f)$ tatsächlich existiert: Aus der Definition geht hervor, dass $N_A(f)$ ein Quotient von $A[X]$ sein muss (weil $A[X]$ ja den Funktor $\mathrm{Hom}(A,-) \times U$ darstellt). Wir müssen also aus $A[X]$ etwas herausteilen, und es liegt nahe, einfach die Nullstellengleichung $f(X)=0$ herauszuteilen. Und tatsächlich gilt $\mathrm{Hom}(A[X]/(f(X) = 0),B) \cong \{\beta \in \mathrm{Hom}(A[X],B) : \beta(f(X)) = 0 \} \cong \{(\alpha,b) \in \mathrm{Hom}(A,B) \times U(B) : f^{\alpha}(b) = 0\},$ womit also $A[X] / (f(X)=0)$ die Definition von $N_A(f)$ erfüllt. Soweit ist das zunächst einmal reiner abstract nonsense. Mehr kann man allerdings aussagen, wenn $f$ normiert ist (oder zumindest der Leitkoeffizient von $A$ eine Einheit ist, was aber auf dasselbe hinausläuft): Sei $n = \deg(f)$. Dann ist $\left\{[1],[X],\dotsc,[X]^{n-1}\right\}$ eine $A$-Modul-Basis von $N_A(f)$: Das ist aufgrund der expliziten Konstruktion von $N_A(f) = A[X] / \langle f \rangle$ eine Umformulierung des Satzes über die Existenz und Eindeutigkeit der Polynomdivison durch $f$. Übrigens gilt das natürlich auch für $n=0$ (also $f=1$) ohne einen anderen Beweis, siehe auch hier. Zum Rechnen in $N_A(f)$ muss man nur beachten, dass im Gegensatz zu $A[X]$ die Relation $f(X)=0$ eingeführt worden ist. Wenn also $f = a_0 + \cdots + a_{n-1} X^{n-1} + X^n$, so arbeitet man mit der Relation $X^n = - a_0 - \cdots - a_{n-1} X^{n-1}$; daraus folgt dann auch $X^{n+1} = - a_0 X - \cdots + a_{n-1} X^n$ (wo man wieder die Formel für $X^n$ einsetzen kann) usw. Zum Beispiel arbeitet man in $N_{\IR}(X^2+1) = \IR[X] / (X^2+1=0)$ mit der Relation $X^2=-1$, diese Algebra ist natürlich $\IC$. Wenn $f$ nicht normiert ist, besteht die Modulbasis nicht mehr. Zum Beispiel ist $N_{\IZ}(2X)=\IZ[X]/(2X)$ kein freier $\IZ$-Modul; er hat Torsionselemente und ist übrigens auch nicht endlich-erzeugt.