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Neuer Abschnitt in Grenzwert einer rekursiven Folge
\big\Der naheliegende Weg wäre jetzt, die erzeugende Funktion unserer Folge zu finden. Allerdings ist dies überraschend schwierig, da sich der auftretende Nenner als äußerst unangenehm erweist. Den Ausweg findet man in einer Transformation, die zu einer einfacheren Folge führt. array(Definition:)__ | | b(n):=a(n)*(2n)!/(2^n*n!) array(\blue\Hilfssatz 1:)__ | | b(0)=1 | |\blue b(1)=0 | |\blue b(n+1)=(2n+1)*b(n)+b(n-1) | |für n>=2 array(Beweis:)__ | |Ergibt sich sofort durch Einsetzen \big\Jetzt gilt es, für diese neue Folge die erzeugende Funktion zu finden. Da jetzt der unangenehme Bruch nicht mehr auftritt, ist dies recht einfach. array(\blue\Hilfssatz 2:)__ | |Die Folge (a(n))_(n\el\ \IN) ist konvergent. array(Beweis:)__ | |Die Folge (a(n))_(n\el\ \IN) ist offensichtlich monoton wachsend. | |=>a(n+1)=a(n)+a(n-1)/((2n+1)*(2n-1))<=a(n)*4n^2/(4n^2-1) | |=>a(n+1)<=a(2)*produkt(4k^2/(4k^2-1),k=2,n) | |Es ist log(produkt(4k^2/(4k^2-1),k=2,n))=log(produkt(1+1/(4k^2-1),k=2,n))= | |=summe(log(1+1/(4k^2-1)),k=2,n)<=summe(1/(4k^2-1),k=2,n)<=summe(1/(4k^2-1),k=2,\inf )<\inf | |Damit ist die Folge monoton und beschränkt, also konvergent. | |qed. array(\blue\Hilfssatz 3:)__ | |Die Potenzreihe sum(b(k)/k!*x^k,k=0,\inf ) hat positiven Konvergenzradius array(Beweis:)__ | |b(k)/k! =a(k)*(2^k*k!)/(k!*(2k)!)<<2^k/(2k)! array(\red\Satz 1:)__ | |Für die erzeugende Funktion f der Folge (b(n))_(n\el\ \IN) gilt: | | \red f(x)=1/e*e^(sqrt(1-2x))/sqrt(1-2x) für 0<=x<1/2 array(Beweis:)__ | |Nach Hilfssatz 3 ist der Konvergenzradius positiv. | |Es ist 0=sum(b(k+1)/k!*x^k,k=1,\inf )-sum(((2k+1)*b(k))/k!*x^k,k=1,\inf )-sum(b(k-1)/k!*x^k,k=1,\inf )= | |= S_1(x)-S_2(x)-S_3(x) | |S_1(x)=(sum(b(k+1)/(k+1)!*x^(k+1),k=1,\inf ))'=(sum(b(k)/k!*x^k,k=2,\inf ))'=# | |=(sum(b(k)/k!*x^k,k=0,\inf )-1)'=(f(x)-1)'=f'(x) | |S_2(x)=sum((2k+1)*b(k)/k!*x^k,k=1,\inf )=2*sum((k*b(k))/k!*x^k,k=1,\inf )+sum(b(k)/k!*x^k,k=1,\inf )= | |=2*S_4(x)+f(x)-1 | |S_4(x)=sum(b(k)/(k-1)!*x^k,k=1,\inf )=x*sum(b(k)/(k-1)!*x^(k-1),k=1,\inf )= | |=x*(sum(b(k)/k!*x^k,k=1,\inf ))'=x*(f(x)-1)'=x*f'(x) | |=>S_2(x)=2x*f'(x)+f(x)-1 | |S'_3(x)=(sum(b(k-1)/k!*x^k,k=1,\inf ))'=sum(b(k-1)/(k-1)!*x^(k-1),k=1,\inf )=sum(b(k)/k!*x^k,k=0,\inf )=f(x) | |Wir betrachten wieder die Ausgangslage:| |0= S_1(x)-S_2(x)-S_3(x) | |=>0=f'(x)-(2x*f'(x)+f(x)-1)-S_3(x)= | |=(1-2x)*f'(x)-f(x)+1-S_3(x) | |Nochmaliges Ableiten führt zu | |0=(1-2x)*f''(x)-2f'(x)-f'(x)-S'_3(x)= | |=(1-2x)*f''(x)-3f'(x)-f(x) | |Damit ist die DGl (1-2x)*y''-3y'-y=0 zu lösen. | |Die angegebene Funktion erfüllt die DGl und auch die beiden | |Anfangswerte b(0)=1 und b(1)=0 wie man nachrechnet. | |qed. \big\Jetzt braucht man nur noch die n-ten Ableitungen an der Stelle x=0 zu berechnen und man hat die b(n) und damit auch a(n). Aber ganz so einfach ist das nicht. Die Ableitungen erweisen sich als ziemlich harte Nuß, so daß ein kleiner Trick erfolgversprechender ist. array(\blue\Hilfssatz 4:)__ | |\blue\Sei g(x):=sqrt(1-2x). Dann ist | |\blue\ exp(g(x))/g(x)=1/g(x)+sum(g(x)^k/(k+1)!,k=0,\inf ) array(Beweis:)__ | |Ergibt sich sofort durch Einsetzen in die Exp-Reihe array(\blue\Hilfssatz 5:)__| |\blue\Sei wieder g(x)=sqrt(1-2x). Dann ist | |\blue\ exp(g(x))/g(x)=1/g(x)+sum(x^k*(-2)^k*sum((t/2;k)*1/(t+1)!,t=0,\inf ),k=0,\inf ) array(Beweis:)__ | |g(x)^k=(1-2x)^(k/2) | |=>g(x)^k=sum((k/2;t)*(-2x)^t,t=0,\inf ) | |Hilfssatz 5 =>exp(g(x))/g(x)=1/g(x)+sum(1/(k+1)!\.sum((k/2;t)*(-2x)^t,t=0,\inf ),k=0,\inf )= | |Absolute Konvergenz erlaubt Reihenvertauschung: | |=1/g(x)+sum(x^t*(-2)^t*sum((k/2;t)*1/(k+1)!,k=0,\inf ),t=0,\inf ) array(\blue\Hilfssatz 6:)__| |(1/sqrt(1-2x))^(n)=(2n)!/(2^n*n!)*(1-2x)^(-1/2-n) array(Beweis:)__ | |klar für n=0 | |((2n)!/(2^n*n!)*(1-2x)^(-1/2-n))^'=(2n)!/(2^n*n!)*(2n+1)*(1-2x)^(-1/2-(n+1))= | |=(2n)!/(2^n*n!)*(2n+1)*(2n+2)/(2*(n+1))*(1-2x)^(-1/2-(n+1)) array(\blue\Hilfssatz 7:)__| | Für die n-te Ableitung dieser Funktion gilt: | |\blue ((exp(g(x))/g(x))^(n))_(x=0)=(2n)!/(2^n*n!)+n!*(-2)^n*sum((t/2;n)*1/(t+1)!,t=0,\inf ) array(Beweis:)__ | |Dies folgt sofort aus Hilfssatz 6 und der gleichmäßigen | |Konvergenz der Potenzreihe.
 
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