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Neuer Abschnitt in Grenzwert einer rekursiven Folge
\big\Die Vorarbeiten sind geschafft. Jetzt läßt sich a(n) explizit angeben. Dazu verwenden wir Hilfssatz 7. Diese Darstellung ist zwar zum Berechnen der Folgeglieder nicht allzu brauchbar, leistet aber gute Dienste bei der Ermittlung des Grenzwerts. array(\red\Satz 2:)__ | |a(n)=1/e+O(((n!)^2*2^2n)/(2n)!*sum(abs((t/2;n))*1/(t+1)!,t=0,\inf )) array(Beweis:)__ | |Es ist b(n)=(1/e*e^(sqrt(1-2x))/sqrt(1-2x))^(n) an der Stelle x=0. | |Dies in Verbindung mit der Definition der b(n) und | |Hilfssatz 7 ergibt sofort die Behauptung array(\blue\Hilfssatz 8:)__ | | 2^2n*(n!)^2/(2n)! =O(sqrt(n)) array(Beweis:)__ | |Wir verwenden mehrfach die Stirlingsche Formel in etwas abgewandelter | |Form: | |n! =n^n/e^n*sqrt(2\pi\.n)*(1+h_1(n)) mit h_1(n)=O(1/n) | |(2n)! =(2n)^2n/e^2n*sqrt(2\pi*2n)*(1+h_2(n)) mit h_2(n)=O(1/n) | |=>2^2n*(n!)^2/(2n)! =(2^2n*(n^n/e^n*sqrt(2\pi\.n))^2*(1+h_1(n))^2)/((2n)^2n/e^2n*sqrt(2\pi*2n)*(1+h_2(n)))= | |=sqrt(\pi\.n)*(1+h_1(n))^2/(1+h_2(n))=sqrt(\pi\.n)*(1+(1+2*h_1(n)+h_1^2(n))/(1+h_2(n))-1) | |=sqrt(\pi\.n)+sqrt(\pi\.n)*(2*h_1(n)+h_1^2(n)-h_2(n))/(1+h_2(n)) | |h_2(n)=O(1/n)=>abs(h_2(n))<=1/2 für genügend großes n | |=>abs(1/(1+h_2(n)))<=2 für genügend großes n | |=>abs((2*h_1(n)+h_1^2(n)-h_2(n))/(1+h_2(n)))<2^2n*(n!)^2/(2n)! <produkt(abs((t/2-k)),k=0,n-1)<=1/2^n*produkt((2k-1),k=1,n-1-(t-1)/2)*produkt((2k-1),k=n-(t-1)/2,n-1)= | |=1/2^n\.produkt((2k-1),k=1,n-1) | |qed array(\blue\Hilfssatz 10:)__ | | abs((1/2;n))<<1/n^(3/2) array(Beweis:)__ | | abs((1/2;n))=1/(2^n*n!)*produkt((2k-1),k=1,n-1)=1/(2^n*n!)*produkt(((2k-1)*2k)/2k,k=1,n-1)= | |=1/(2^n*n!)*((2n-2)!/(2^(n-1)*(n-1)!))=1/(2n-1)*(2n)!/(2^2n*(n!)^2)<<1/n*(2n)!/(2^2n*(n!)^2) | |Analoge Beweisführung wie in Hilfssatz ergibt dann die Beh. array(\blue\Hilfssatz 11:)__ | | 1/(t+1)!*abs((t/2;n))<=1/n^3 | |für n<=t<2n array(Beweis:)__ | |abs((t/2;n))=1/n!*abs(produkt(t/2-k,k=0,n-1))<=1/n!*(t/2)^n | |Wegen t<2n ist dies | |<=n^n/n! | |Wegen t>=n ist andererseits 1/(t+1)!<=1/n! | |=>1/(t+1)!*abs((t/2;n))<=n^n/(n!)^2 | |Hierauf die Stirlingformel (diesmal ohne Restglied) ergibt: | |<=(n^n*e^2n)/(n^2n*2*\pi*n)=1/2\pi*1/n*exp(n*(2-logn))<<1/n^m | |mit einer nur von (beliebigem)m abhängigen O-Konstanten. array(\blue\Hilfssatz 12:)__ | | sum(abs((t/2;n))*1/(t+1)!,t=2n,\inf ))=O(1/n) array(Beweis:)__ | |(t/2;n)=1/n!*produkt((t/2-k),k=0,n-1)<=1/n!*(t/2)^n weil alle Faktoren | |positiv sind | |=>sum((t/2;n)*1/(t+1)!,t=2n,\inf )<=1/n!*sum((t/2)^n/(t+1)!,t=2n,\inf )<=1/n!*sum(t^n/t!,t=2n,\inf ) | |t^n/t! =t^n*(produkt(1/(t-k),k=0,n-1))*1/(t-n)!<=(t/(t-n))^n*1/(t-n)!<= | |<=(t/(t/2))^n*1/(t-n)! =2^n/(t-n)! | |Dies eingesetzt in der Summe ergibt: | |1/n!*sum(t^n/t!,t=2n,\inf )<=1/n!*sum(2^n/(t-n)!,t=2n,\inf )<=2^n/n!*e<<1/n \big\Jetzt können wir die Früchte ernten: array(\red\Satz 3:)__ | |a(n)=1/e+O(1/sqrt(n)) array(Beweis:)__ | |Satz 2 =>a(n)=1/e+O(((n!)^2*2^2n)/(2n)!*sum(abs((t/2;n))*1/(t+1)!,t=0,\inf )) | |Hilfssatz 8 =>a(n)=1/e+O(sqrt(n)*sum(abs((t/2;n))*1/(t+1)!,t=0,\inf )) | |Damit genügt es zu zeigen: sum(abs((t/2;n))*1/(t+1)!,t=0,\inf )<<1/n | |sum(abs((t/2;n))*1/(t+1)!,t=0,\inf )=sum(,t=2n,)=S_1+S_2+S_3 | |S_1<S_1+S_2+S_3<<1/n^(3/2)+1/n^2+1/n<<1/n | |qed.
 
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