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Vorschau:
Neuer Abschnitt in Grenzwert einer rekursiven Folge
\big\Ausblick: Die Differentialgleichung aus Satz 1, die zur Folge b(n) gehört, hat als Basis des Lösungsraums die Funktionen f_1(x)=exp(g(x))/g(x) und f_2(x)=exp(-g(x))/g(x) mit g(x)=sqrt(1-2x) (Dank an Buri) Damit sind die Lösungen von der Form r_k*f_1(x)+s_k*f_2(x) Die oben angegebene Folge b(n)=b_0(n) führt zur Lösung r_0=1/e und s_0=0 Nimmt man für die Folge b_1(n) dasselbe Entwicklungsgesetz, aber verlangt b_1(0)=0 und b_1(1)=0, so ergibt sich für die erzeugende Funktion f folgendes: r_1*e+s_1*1/e=0 und r_1*f_1|'(0)+s_1*f_2|'(0)=1 Setzt man ein, so ergibt diese letzte Gleichung: 0+s_1*2/e=1=>s_1=e/2 Dies in die erste eingesetzt ergibt: r_1*e+e/2*1/e=0 =>r_1=-1/2e =>f(x)=-1/2e*f_1(x)+e/2*f_2(x) f_1(x)=1/g(x)+sum(g(x)^k/(k+1)!,k=0,\inf ) f_2(x)=1/g(x)+sum((-g(x))^k/(k+1)!,k=0,\inf ) Die beiden Summen spielen, wie sich gezeigt hat, keine Rolle. Wir betrachten nur den ersten Summand. Damit ergibt sich b_1(n)~(-1/2e+e/2)*g^(n)(0) Damit ist lim(n->\inf ,b_0(n)/b_1(n))=1/e*1/(-1/2e+e/2)=1/(-1/2+e^2/2) Nach den bekannten Regeln für Kettenbrüche ergibt sich damit: [0;3,5,7,...]=1/(-1/2+e^2/2) Damit erhält man diesen, vermutlich längst bekannten Grenzwert: \red\[0;1,3,5,7,...]=(e^2-1)/(e^2+1) Vielen Dank an spitzwegerich für sein unermüdliches Anmahnen meiner ständigen Fehler, an Buri und viele andere bei der Hilfe, die DGlen in den Griff zu kriegen. Wauzi
 
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