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Eine interessante Abbildung

Eine interessante Abbildung

Die Abbildung \Pi: H-menge(0)-> H, x \mapsto x*i*x^(-1) spielt die Hauptrolle, und wir wollen die wichtigsten Eigenschaften zusammenstellen: \big\Lemma. 1) Für \alpha\el\ \IC gilt: \Pi(x\alpha)=\Pi(x) 2) \Pi(x)=\Pi(y) <=> x*y^(-1) \el\ \IC 3) Sei y\el\ S^2-menge(-i). Dann gilt y=\Pi(y+i)=(y+i)*i*(y+i)^(-1) 4) Im(\Pi)=S^2 Beweis: 1) Weil \alpha\el\ \IC und i vertauschbar sind, gilt: \Pi(x\alpha)=x\alpha*i*(x\alpha)^(-1)= x\alpha*i*\alpha^(-1)*x^(-1)=x\alpha*\alpha^(-1)*i*x^(-1)=x*i*x^(-1)=\Pi(x) 2) Es gilt \Pi(x)=\Pi(y) <=> x*i*x^(-1)=y*i*y^(-1) <=> y^(-1)*x=i*y^(-1)*x*i^(-1) <=> y^(-1)*x\el\ \IC 3) Sei y\el\ S^2-menge(-i). Dann gilt: y=(y+i)*i*(y+i)^(-1) <=> (y+i)*i=y(y+i) <=> yi-1=-1+yi, da y^2=-1 4) Wir beweisen zuerst Im(\Pi)\subsetequal\ S^2. Aus \Pi(x)^2=xix^(-1)*xix^(-1)=-1 folgt abs(\Pi(x))=1, und \Pi(x) ist ein reines Quaternion, also \Pi(x) \el\ S^2 Aus 3) folgt, dass nur noch ein Urbild für -i gefunden werden muss. Es gilt aber \Pi(j)=j*i*j^(-1)=-i. \bigbox \big\Korollar.\normal Die Abbildung \Pi gibt uns eine bijektive Abbildung \pi: P(H)->S^2, x*\IC \mapsto xix^(-1).
 
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