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| Bestimmung der invertierbaren C-linearen Abbildungen von H->H |
Bestimmung der invertierbaren $\IC$-linearen Abbildungen von $H \to H$
Wir wollen jetzt beweisen: Die Menge aller invertierbaren \IC\-linearen Abbildungen H -> H ist
GL(H)=menge(f:H->H, f(x)=ax+bxi, a,b \el\ H, a<>0 oder b<>0, b^(-1)*a \notel\ S^2).
Dazu wollen zuerst alle \IC\-linearen Abbildungen von H -> H bestimmen und danach alle invertierbaren Abbildungen.
\big\Lemma.\normal Die Menge L(H) aller \IC\-linearen Abbildungen H -> H ist
L(H)=menge(\phi:H->H, \phi(x)=ax+bxi, a,b \el\ H).
Beweis: Zur Linearität der Abbildung \phi: Man beachte, dass i und \lambda \in \IC vertauschbar sind. Zu zeigen ist für x,y \el\ H und \lambda\el\ \IC:
\phi(x+y\lambda)=\phi(x)+\phi(y)\lambda.
Nun ist
\phi(x+y\lambda)=a*(x+y\lambda)+b*(x+y\lambda)*i=ax+ay\lambda+bx*i+by\lambda*i
=ax+bxi+ay*\lambda+by*i*\lambda=\phi(x)+\phi(y)\lambda.
Weiterhin ist L(H) ein Vektorraum und eine \IC\-Basis von L(H) besteht z. B. aus den Elementen \phi_1, \phi_2, \phi_3 und \phi_4
mit \phi_1(x)=x, \phi_2(x)=ixi, \phi_3(x)=jx, \phi_4(x)=kxi
Das erkennt man leicht in der Matrixdarstellung der \phi2_i zur \IC\-Basis menge(1, j) von H.
Da jedes Element aus L(H) linear ist und L(H) ein vierdimensionaler komplexer Vektorraum ist, muss L(H) die gesamte Menge aller \IC-linearen Abbildungen sein. \bigbox
Wir bestimmen jetzt die Menge der nicht invertierbaren linearen Abbildungen aus L(H).
\big\Lemma.\normal Sei \phi \el\ L(H) mit \phi(x)=ax+bxi. Dann ist \phi nicht invertierbar <=> b^(-1)*a\el\ S^2.
Beweis: Es ist \phi nicht invertierbar <=> Es existiert ein 0 != x \el\ H mit \phi(x)=0.
Zu lösen ist also die Gleichung ax+bxi=0 für ein x<>0 <=> bxi=-ax <=> xix^(-1)=-b^(-1)*a.
Diese Gleichung hat wie im Abschnitt zuvor gesehen genau dann eine Lösung ungleich Null, wenn b^(-1)*a \el\ S^2. \bigbox
Damit ist bewiesen:
Die Menge aller invertierbaren \IC-linearen Abbildungen H -> H ist
GL(H)=menge(f:H->H, f(x)=ax+bxi, a,b \el\ H, a<>0 oder b<>0, b^(-1)*a \notel\ S^2).
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