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Vorschau:
Zusammenfügen der Resultate

Berechnung der Gruppe der Möbiustransformationen auf der Sphäre

Wir haben die bijektive Abbildung \pi: P(H)->S^2, x*\IC \mapsto xix^(-1). Und eine invertierbare \IC\-lineare Abbildung A: x \mapsto ax+bxi repräsentiert eine Möbiustransformation. Insgesamt ergibt sich folgende Abbildung f: S^2 -> S^2: f := \pi\circ\ A\circ\ \pi^(-1), S^2 \contains\ y=xix^(-1) \mapsto x \cdot \IC \el\ P(H) \mapsto (ax+bxi) \cdot \IC \el\ P(H) \mapsto (ax+bxi)*i*(ax+bxi)^(-1)=f(y) \el\ S^2 Letztendlich ist also (ax+bxi)*i*(ax+bxi)^(-1) nur noch auszurechnen unter Beachtung von y=xix^(-1): (ax+bxi)*i*(ax+bxi)^(-1)=(axi-bx)x^(-1)*x*(ax+bxi)^(-1) =(axix^(-1)-b)*((ax+bxi)*x^(-1))^(-1) =(axix^(-1)-b)*(a+bx*i*x^(-1))^(-1) =(ay-b)*(by+a)^(-1) Zusammenfassung: Die Menge der Möbiustransformationen wird repräsentiert durch menge(f: S^2->S^2, f(y)=(ay-b)(by+a)^(-1), a, b \el\ H nicht beide zugleich 0 und b^(-1)*a \notel\ S^2).
 
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