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| Interpretation der Abbildung |
Eine geometrische Interpretation der Abbildung $\Pi$
Zum Abschluss soll noch eine geometrische Interpretation der Abbildung
\Pi: H-menge(0)->S^2, x \mapsto xix^(-1)
erfolgen.
Sei S^3=menge(x\el\ H, abs(x)=1) die dreidimensionale Sphäre. Weiter kann man H auch als reellen Vektorraum betrachten. Dann ist P\IR(H)=menge(x*\IR, x \el\ H-menge(0)) der reell dreidimensionale projektive Raum über H, der oft auch identifiziert wird mit S^3//menge(+-1).
Dann haben wir eine Zerlegung:
\Pi: H-menge(0) -> S^3 -> P\IR(H) -> P(H) \to S^2
x \mapsto x/abs(x) \mapsto x*\IR \mapsto x*\IC \mapsto xix^(-1)
Man kann \Pi also auch als Abbildung von P\IR(H) nach P(H) ansehen.
Das klärt allerdings noch nicht, wo die Sphäre S^2 "lebt". Mit folgender Interpretation fristet S^2 sein Dasein im eindimensionalen projektiven Raum über den Quaternionen.
Eine kurze allgemeine Vorbetrachtung:
Sei V ein 2\-dimensionaler H\-Vektorraum über den Quaternionen H. Multiplikation schreibe ich von rechts, also es gibt eine Abbildung
V \times H -> V, (v,\lambda) \mapsto v\lambda
mit den entsprechenden Vektorraumeigenschaften.
Mit P(V) wird der Raum aller eindimensionalen Unterräume von V bezeichnet.
Also P(V)=menge(v*H, v\el\ V-menge(0))
Wie oben können wir V genau so gut als vierdimensionalen komplexen Vektorraum betrachten und haben dann den komplex dreidimensionalen projektiven Raum P\IC(V)=menge(v*\IC, v\el\ V - menge(0)).
Wieder hat man eine Projektion
\Pi: V-menge(0) -> P\IC(V) -> P(V)
x \mapsto x*\IC \mapsto x*H
Sei nun V=H \times H. Wir betrachten den komplex zweidimensionalen Unterraum U := menge((x,-xi), x\el\ H) \subsetequal H \times H.
Das ist nur ein komplexer Unterraum, kein Unterraum als Vektorraum über den Quaternionen.
Dann ist \Pi(x, -xi) = (x,-xi)*H= (x, -xi)*(i*x^(-1) *H)=(xix^(-1), 1)*H.
Oder in projektiven Koordinaten:
(x,-xi)*\IC \el\ P\IC(H \times H) \mapsto (x : -xi) = (xix^(-1) : 1) \el\ P(H \times H)
Oder als Abbildung H-menge(0) -> H \times H -> P\IC(H \times H) -> P(H \times H):
x \mapsto (x, -xi) \mapsto (x, -xi)*\IC \mapsto (x, -xi)*H= (xix^(-1) : 1) \el\ P(H \times H)
Die Abbildung P\IC(H \times H) -> P(H \times H), (x,y)*\IC \mapsto (x,y)*H ist natürlich nicht injektiv, allerdings wird der Teilraum menge((x,-xi)*\IC, x\el\ H-menge(0)) injektiv als S^2 in P(H \times H) eingebettet.
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