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| Neuer Abschnitt in Quaternionen und Möbiustransformationen |
Anhang: Was sind eigentlich reelle Unterräume in einem komplexen projektiven Raum?
Im Falle der klassischen Möbiustransformationen hat man ja die Wortschöpfung des "verallgemeinerten Kreises" (en.wikipedia.org/wiki/Generalised_circle). Der Begriff hat verschiedene Nachteile. U.a. kann man ihn schwer verallgemeinern, und es ist nicht klar, was ein "verallgemeinerter Kreis" denn in einem eindimensionalen (oder n-dimensionalen) komplexen projektiven Raum eigentlich sein soll. Eine mögliche Definition von Unterräumen soll noch kurz angerissen werden.
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Sei V ein (n+1)\-dimensionaler Vektorraum über \IC. Dann ist der n\-dimensionale projektive Raum P(V) definiert als die Menge aller eindimensionalen Unterräume von V.
P(V)=menge(v*\IC, v\el\ V-menge(0))
Man hat also eine natürliche Projektion
V-menge(0)->P(V), v \mapsto v*\IC \el\ P(V).
Man kann V auch als (2n+2)\-dimensionalen Vektorraum über \IR betrachten und den (2n+1)\-dimensionalen projektiven Raum P\IR(V)=menge(v*\IR, v\el\ V-menge(0)) bilden.
Man hat dann ebenfalls eine natürliche Projektion
P\IR(V) -> P(V), v*\IR \mapsto v*\IC.
Auf P(V) operiert dann die Gruppe GL(V)//(\IC-menge(0)), und auf P\IR(V) operiert GL(V)//(\IR-menge(0)), wobei GL(V) die Gruppe der invertierbaren \IC\-linearen Abbildungen V -> V ist.
Das führt dann zu folgendem Unterraumbegriff:
\big\Definition.\normal Sei U\subsetequal P\IR(V) ein reeller projektiver Teilraum von V. Die Menge P(U)=menge(u*\IC, u\el\ U-menge(0)) heißt dann ein reeller Teilraum in P(V).
Anmerkung zur Dimension: es gibt anscheinend 2 Fälle: U=U*i und U<>U*i. Im Falle U<>U*i wäre dann die reelle Dimension von P(U) gleich dim(U)-1.
Für den Fall V= \IC \times \IC stimmt der Begriff des verallgemeinerten Kreises mit dem des eindimensionalen reellen Teilraums überein. Ein verallgemeinerter Kreis ist dann das Bild eines zweidimensionalen reellen Unterraums U (mit U<>U*i) unter der Abbildung P. Insbesondere hat man sofort die Charakterisierung, wann vier Punkte auf einem verallgemeinerten Kreis liegen: nämlich genau dann, wenn das Doppelverhältnis reell ist.
Zum Beispiel ist die Einheitssphäre S^1 das Bild des reellen Unterraums erzeugt von (-1,1) und (i,i) \el\ \IC \times \IC.
S^1=P( <(-1,1), (i,i)>)=
menge(((-\alpha+\beta*i):(\alpha+\beta*i)), \alpha,\beta \el \IR nicht beide gleichzeitig gleich Null)
Aus Distanz zu jedweder mathematischen Community frage ich mich, was an der Definition falsch sein soll oder warum diese Betrachtungsweise (so scheint es mir zumindest) so unpopulär zu sein scheint. Oder liege ich da einem Irrtum auf? |
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