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Kranzprodukte

 
Kranzprodukte

Wir werden in diesem Artikel eine spezielle Unterart von semidirekten Produkten verwenden, die sich als besonders nützlich herausgestellt hat: Die so genannten Kranzprodukte. makro(up,array(\small\ %1;$\normal)) makro(wr,bigop(\calW,(%1,%2),%3) Sind zwei Gruppen G und H gegeben, wobei H auf \Omega operiert, so ist dadurch eine Operation von H auf G^\Omega, der Menge der Abbildung \Omega->G, wie folgt induziert: \forall\omega\el\Omega, f\el\ G^\Omega: (up(h)f)(\omega):=f(up(h^(-1))\omega) G^\Omega ist eine auf natürliche Weise eine Gruppe, wenn man die Gruppenverknüpfung punktweise definiert. Das Produkt der Abbildungen f*f' ist also gegeben durch (f*f')(\omega):=f(\omega)*f'(\omega). Man rechnet leicht nach, dass f\mapsto\ up(h)f ein Automorphismus von G^\Omega ist, d.h. dass up(h)(f_1*f_2)=up(h)\.f_1*up(h)\.f_2 für alle h\el\ H und alle f_1, f_2\el\ G^\Omega gilt \(bijektiv ist die Abbildung ja sowieso\). Das \darkblue\ array(Kranzprodukt von G und H bezüglich \Omega)__\black ist nun definiert als das semidirekte Produkt G^\Omega\ltimes\ H bezüglich eben jener Operation. Notieren werde ich dieses Kranzprodukt in diesem Artikel mit wr(G,H,\Omega). \calW stammt dabei vom englischen Ausdruck "wreath product". makro(wr,bigop(\calW,(%1,%2),%3) Wichtige Spezialfälle für Kranzprodukt sind die Gruppen wr(G,H,H), wobei H auf sich selbst durch Linksmultiplikation operiert, und wr(G,S_n,menge(1,..,n)) zusammen mit der kanonischen Operation von S_n auf menge(1,..,n). Eine unangenehme Sache ist hierbei, dass jeder dieser Spezialfälle auch bei einigen Autoren direkt als Definition genommen wird. Was also so oft gilt, gilt auch hier: Vorsicht mit den Begriffen, man sollte sich immer vergewissern, was darunter jeweils verstanden wird. Wir untersuchen als Nächstes ein paar Eigenschaften des Kranzprodukts: makro(up,array(\small\ %1;$\normal)) makro(wr,bigop(\calW,(%1,%2),%3) \darkred\ll(2.1)Seien G und H Gruppen, H operiere auf \Omega. Dann gilt: \darkred\ll(a)abs(wr(G,H,\Omega))=abs(G)^abs(\Omega)*abs(H) \darkred\ll(b)Ist U<=G und V<=H, so ist wr(U,V,\Omega)<=wr(G,H,\Omega) \darkred\ll(c)Operiert G \(treu\/transitiv\) auf \Xi und operiert H \(treu\/transitiv\) auf \Omega, so operiert wr(G,H,\Omega) \(treu\/transitiv\) auf \Xi\cross\Omega durch up((f,h))(\xi,\omega):=(up(f\(^h\.\omega\))\xi, up(h)\omega). makro(wr,bigop(\calW,(%1,%2),%3) \blue\ Beweis: trivial bzw. einfach nachzurechnen Einen Spezialfall von \ref(b) werden wir später extensiv benutzen: Wenn U ein p\-Sylowgruppe der endlichen Gruppe G und V eine p\-Sylowgruppe der endlichen Gruppe H ist, dann ist wr(U,V,\Omega) eine p\-Sylowgruppe von wr(G,H,\Omega), wie man leicht anhand der Ordnungen feststellt. Kranzprodukte haben durch Teil (c) dieses Lemmas eine sehr enge Verbindung zu Gruppenoperationen und Permutationsgruppen. Wenn man z.B. daran interessiert ist, transitiven Permutationsgruppen eines bestimmten Grades zu finden(z.B. weil man Galoisgruppen berechnen möchte), kann man zunächst diejenigen finden, die primitiv operieren und dann die imprimitiven mit Hilfe eines Kranzproduktes zerlegen.
 
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