Bearbeiten von: Abschnitt [Änderungshistorie]
  Zeilenumbrüche automatisch mache ich selbst mit HTML    

Ich möchte eine Mail an , nachdem mein Vorschlag bearbeitet ist.
  Nachricht zur Änderung:

Input assistance tools (JavaScript): [Link extern intern] [MathML?] [$$?]
[fed-area] [LaTeX-inline] [LaTeX-display] [Tikz] [hide-area][show-area] [Source code [num.]][?]
[Link zurück zum Artikelabschnitt]

Vorschau:
Neuer Abschnitt in Gruppenzwang XI

 
Die Sylowgruppen von Sn

Neben der Anwendung in "abgehobenen" Bereichen der Gruppentheorie treten Kranzprodukte auch in sehr viel einfacheren Fragestellungen schon auf. Durch die oben angesprochene enge Verbindung von Kranzprodukten und Gruppenoperationen ist es uns z.B. möglich, die p-Sylowgruppen der Sn mit Hilfe von Kranzprodukten vollständig zu bestimmen. Zunächst führen wir einige Bezeichnungen ein: Es sei für diesen und den nächsten Abschnitt \pi_r die Abbildung, die einer natürlichen Zahl, die Potenz der Primzahl r zuordnet, die gerade noch Teiler von n ist, d.h. ist n=br^k mit r\teiltnicht\ b, dann ist \pi_r(n):=r^k. p sei hier natürlich immer eine Primzahl. M sei die Menge {0,...,p-1}. makro(wr,bigop(\calW,(%1, %2),%3)) Es sei nun W_(p,0):={1} und W_(p,n+1):=wr(W_(p,n),\IZ_p,M) wobei \IZ_p auf M in natürlicher Weise durch Addition mod p operiert. \darkred\ll(4.1) \darkred\ll(a)Operieren G und H \(treu\) auf X bzw. Y, so operiert G\cross\ H \(treu\) auf der disjunkten Vereinigung X opimg(\union)^* Y durch array(\small(g,h);$\normal)z=array(\small\ g;$\normal)z für z\el\ X und array(\small(g,h);$\normal)z=array(\small\ h;$\normal)z für z\el\ Y. \darkred\ll(b)abs(W_(p,n))=p^((p^n-1)/(p-1)) \darkred\ll(c)W_(p,n) operiert treu auf M^n \darkred\ll(d)W_(p,n)^c operiert treu auf c\cross\ M^n \blue\ Beweis: \ref(a) : triviales Nachrechnen. \ref(b) : Es gilt abs(W_(p,0))=1 und abs(W_(p,n+1))=abs(W_(p,n))^p*p durch vollständige Induktion nach n folgt die Aussage. \ref(c) : Indem man W_(p,n)=wr(W_(p,n-1),\IZ_p,M) und M^n=M^(n-1)\cross\ M beachtet, kann man die Operation mit \ref(3.1(c)) induktiv definieren. \ref(d) : W_(p,n)^c=W_(p,n)\cross...\cross\ W_(p,n) operiert nach \ref(a) treu auf der disjunkten Vereinigung {0}\cross\ M^n\union{1}\cross\ M^n\union...\union{c-1}\cross\ M^n = c\cross\ M^n \blue\ q.e.d. \darkred\ll(4.2)Sei m=sum(c_i*p^i,i=0,k) die p\-adische Darstellung von m und sei \pi_p(m!)=p^n. Dann gilt n=sum(floor(m/p^j),j=1,\inf)=(m-sum(c_i,i=0,k))/(p-1) \blue\ Beweis: Die Anzahl der durch p^j teilbaren Zahlen kleinergleich m ist floor(m/p^j). Es gibt also floor(m/p) durch p teilbare Zahlen kleinergleich m, floor(m/p^2) davon sind noch ein zweites Mal durch p teilbar, floor(m/p^3) noch ein drittes Mal etc. Es ergibt sich, dass m! genau sum(floor(m/p^j),j=1,\inf) mal durch p teilbar ist. Es gilt nun: sum(floor(m/p^j),j=1,\inf)=sum(floor(m/p^j),j=1,k) =sum(floor(sum(c_i*p^(i-j),i=0,k)),j=1,k) =sum(sum(c_i*p^(i-j),i=j,k),j=1,k) =sum(sum(c_i*p^(i-j),j=1,i),i=0,k) =sum(c_i*sum(p^l,l=0,i-1),i=0,k) =sum(c_i*(p^i-1)/(p-1),i=0,k) =sum((c_i*p^i-c_i)/(p-1),i=0,k) =(m-sum(c_i,i=0,k))/(p-1) \blue\ q.e.d. \darkred\ll(4.3. Klassifikationsatz A) \darkred\ Sei m=sum(c_i*p^i,i=0,k) die p\-adische Darstellung von m!. Dann sind die p\-Sylowgruppen von S_m isomorph zu produkt(W_(p,i)^c_i,i=0,k) \blue\ Beweis: Sei S:=produkt(W_(p,i)^c_i,i=0,k). S operiert dann nach \ref(4.1(a)) und \ref(4.2(d)) treu auf der disjunkten Vereinigung union(c_i\cross\ M^i,i=0..k,opimg(*)). Da letzteres die Möchtigkeit sum(c_i*p^i,i=0,k)=m hat und S treu operiert, lässt sich S in S_m einbetten. S ist nun eine Gruppe der Ordnung produkt(abs(W_(p,i))^c_i,i=0,k)=produkt(p^(c_i*(p^i-1)/(p-1)),i=0,k)=p^sum((c_i*p^i-c_i)/(p-1))=p^((m-\big\Sigma\normal c_i)/(p-1)) Dies ist gleich dem Exponenten von p in der Primfaktorzerlegung von m! Also ist die Einbettung von S eine p\-Sylowgruppe von S_m \blue\ q.e.d.
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]