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Die Sylowgruppen von GL(n,q)

 
Die Sylowgruppen von GL(n,q)

Für diesen Abschnitt sei p wieder eine Primzahl, q eine Potenz von p und r eine Primzahl, die von p verschieden ist. Wir werden nur die r-Sylowgruppen von GL(n,q) bestimmen, da die p-Sylowgruppen von GL(n,q) zu finden, deutlich einfacher ist. Das ist eine oft auftretende Übungsaufgabe, man findet die Lösung dazu u.A. hier in meinem Notizbuch. Es sei außerdem d die Ordnung von q in \IZ_r^x. \darkred\ll(5.1)\pi_r(q^i-1)>1 <=> d\|i \blue\ Beweis: r\|q^i-1 <=> q^i-1==0 (mod r) <=> q^i==1 (mod r) <=> d\|i \blue\ q.e.d. \darkred\ll(5.2)Sei r\|q-1. Dann gilt \pi_r(q^i-1)=\cases(\pi_r(i)*\pi_r(q+1), r=2\, q==3 (mod 4) und i gerade;\pi_r(i)*\pi_r(q-1), sonst) \blue\ Beweis: Sei i=br^k mit r\teiltnicht\ b. Wir beweisen die Aussagen mit Induktion über k. array(Induktionsanfang: k=0\, d.h. r\teiltnicht\ i)__ q^i-1=(q-1)(q^(i-1)+q^(i-2)+...q+1) =>\pi_r(q^i-1)=\pi_r(q-1)*\pi_r(q^(i-1)+q^(i-2)+...+q+1) q^(i-1)+q^(i-2)+...+q+1==1+1+...+1+1==i!==0 (mod r) => \pi_r(q^(i-1)+q^(i-2)+...+q+1)=1=\pi_r(i) array(Induktionsschritt: k>=1)__ q^i-1=(q^(br^(k-1))-1)(q^array(br^(k-1)(r-1))+q^array(br^(k-1)(r-2))+...+q^br^(k-1)+1) q^br^(k-1)==1 (mod r) => q^br^(k-1)=1+\a\.r^\b mit r\teiltnicht\a, \b>=1 => sum((q^br^(k-1))^j,j=0,r-1)=sum(sum((j;l)\.\a^l\.r^l\b,l=0,j),j=0,r-1) =sum((1+sum((j;l)\.\a^l\.r^l\b,l=1,j)),j=0,r-1) =r+r^\b*sum(sum((j;l)\.\a^l\.r^(l-1)\b,l=1,j),j=1,r-1) =r(1+r^(\b-1)*sum(sum((j;l)\.\a^l\.r^(l-1)\b,l=1,j),j=1,r-1)) Für r>2 oder r=2,\b>1 \(d.h. q==1 (mod 4)\) ist der Klammerausdruck nicht durch r teilbar. => \pi_r(q^i-1)=\pi_r(q^(br^(k-1))-1)*\pi_r(q^array(br^(k-1)(r-1))+q^array(br^(k-1)(r-2))+...+q^br^(k-1)+1) =\pi_r(q-1)*\pi_r(br^(k-1))*r =\pi_r(q-1)*r^(k-1)*r =\pi_r(q-1)*r^k =\pi_r(q-1)*\pi_r(i) Damit ist der erste Fall schon bewiesen. Bleibt noch der Spezialfall r=2, q==3 (mod 4) und i gerade zu behandeln: Für q==3 (mod 4) ist q^2==1 (mod 4), also folgt \pi_2(q^i-1)=\pi_2((q^2)^(i/2)-1) =\pi_2(q^2-1)*\pi_2(i/2) nach Fall 1 =\pi_2(q-1)*\pi_2(q+1)*\pi_2(i/2) =2*\pi_2(q+1)*\pi_2(i/2) =\pi_2(i)*\pi_2(q+1) \blue\ q.e.d. makro(wr,bigop(\calW,(%1, %2),%3)) \darkred\ll(5.3. Klassifikationssatz B1) \darkred\ Sei r>2 oder q==1 (mod 4). Sei weiterhin n=md+t mit 0<=t \pi_r(abs(GL(n,q)))=produkt(\pi_r(q^i-1),i=1,n) =produkt(\pi_r(q^i-1),array(i=1...n;d\|i)) =produkt(\pi_r(q^dj-1),j=1,m) =produkt(\pi_r(q^d-1)*\pi_r(j),j=1,m) =\pi_r(q^d-1)^m*produkt(\pi_r(j),j=1,m) =\pi_r(q^d-1)^m*\pi_r(m!) Insbesondere ergibt sich: \pi_r(abs(GL(d,q)))=\pi_r(q^d-1) => \pi_r(abs(GL(n,q)))=\pi_r(abs(GL(d,q)))^m*\pi_r(abs(S_m)) Wir müssen nur noch eine Untergruppe finden, die genau diese Ordnung hat. Nun die letzte Formel zeigt schon, wonach wir suchen müssen: Nach m Kopien von GL(d,q) und einer von S_m. Die finden wir so: Wie zerlegen den Vektorraum \IF_q^n folgendermaßen \IF_q^n= W\oplus\ V_1\oplus\ V_2\oplus...\oplus\ V_m wobei dim(W)=t und dim(V_1)=...||=dim(V_m)=d. Mit dieser Zerlegung sehen wir sofort, dass sich GL(d,q)^m in GL(n,q) einbetten lässt. Blockweise Permutation der Koordinaten liefert auch eine Einbettung S_m\hookrightarrow\ GL(n,q). Beide Untergruppen zusammen ergeben offensichtlich das Kranzprodukt wr(GL(d,q),S_m,menge(1,..,m)). Wenn wir jetzt eine r\-Sylowgruppe von GL(d,q) und eine von S_m finden, dann finden wir in diesem Kranzprodukt eine r\-Sylowgruppe von GL(n,q) wieder. Die r\-Sylowgruppen von S_m kennen wir schon. Um unsere Behauptung zu zeigen, reicht es, zu beweisen, dass die r\-Sylowgruppen von GL(d,q) zyklisch sind. Dazu betrachten wir den Körper \IF_(q^d) als Vektorraum über \IF_q. Da die Multiplikation mit Skalaren \IF_q-linear ist, besitzt GL(d,q) eine zu \IF||array(\small\ x;q^d\normal) isomorphe und daher zyklische Untergruppe. Die r\-Sylowgruppe dieser zyklischen Untergruppe besitzt dann genau s=\pi_r(q^d-1) Elemente und ist zu \IZ_s isomorph. Also haben wir eine r\-Sylowgruppe \IZ_s<=GL(d,q) und eine r\-Sylowgruppe R<=S_m. Wegen wr(\IZ_s,R,menge(1,..,m))<=wr(GL(d,q),S_m,menge(1,..,m))<=GL(n,q) haben wir also eine r\-Sylowgruppe von GL(n,q) gefunden. \blue\ q.e.d. makro(wr,bigop(\calW,(%1, %2),%3)) \darkred\ll(5.4. Klassifikationssatz B2) \darkred\ Ist q==3 (mod 4) und n=2m+t mit t\el{0,1}, dann sind die 2\-Sylowgruppen von GL(n,q) zu \IZ||array(\small\ t;2\normal)\cross\ wr(\IZ_s\ltimes\IZ_2,R,menge(1,..,m)) isomorph. Dabei sei s:=\pi_r(q^2-1) und R eine 2\-Sylowgruppe von S_m. makro(wr,bigop(\calW,(%1, %2),%3)) \blue\ Beweis: \pi_2(abs(GL(n,q)))=produkt(\pi_2(q^i-1),i=1,n) =produkt(\pi_2(q^i-1),array(i=1..n;2\|i))*produkt(\pi_2(q^i-1),array(i=1..n;2\teiltnicht\ i)) =(produkt(\pi_2(q+1)*\pi_2(i),array(i=1..n;2\|i)))*((produkt(\pi_2(q-1)*\pi_2(i),array(i=1..n;2\teiltnicht\ i)))) =\pi_2(q+1)^m*produkt(\pi(2j),j=1,m)*\pi(q-1)^(m+t)*produkt(1,array(i=1..n;2\teiltnicht\ i)) =\pi_2(q^2-1)^m*\pi_2(q-1)^t*2^m*produkt(\pi(j),j=1,m) =\pi_2(q^2-1)^m*2^t*2^m*\pi_2(m!) =2^t*(2\pi_2(q^2-1))^m*\pi_2(m!) =\pi_2(abs(GL(1,q)^t)*abs(GL(2,q)^m)*abs(S_m)) Wir zerlegen wieder den Vektorraum in eine direkte Summe: \IF_q^n=W\oplus\ V_1\oplus\ V_2\oplus...\oplus\ V_m mit dim(V_1)=...||=dim(V_m)=2 und dim(W)=t. Analog zu oben lässt sich GL(1,q)^t\cross\ wr(GL(2,q),S_m,menge(1,..,m)) in GL(n,q) einbetten, wobei der erste Teil auf W operiert, während der letzte Faktor auf den m Kopien von \IF_q^2 operiert. Die 2\-Sylowgruppe von GL(1,q)^t~=\IZ||array(\small\ t;q-1\normal) ist offenbar isomorph zu \IZ||array(\small\ t;2\normal). Die 2\-Sylowgruppen von S_m sind uns bekannt. Wir suchen hier also die 2\-Sylowgruppen von GL(2,q). Der Trick ist ähnlich wie im vorangegangenen Satz: Wir betrachten den Körper \IF_(q^2) als 2\-dimensionalen Vektorraum über \IF_q. Die Multiplikation mit Skalaren liefert uns wieder eine zyklische Untergruppe der Ordnung q^2-1 in GL(2,q). Zusätzlich dazu betrachten wir nun noch den Körperhomomorphismus x\mapsto\ x^q. Er liefert eine Untergruppe der Ordnung 2, die nicht in der zyklischen Gruppe enthalten ist. Beide Untergruppen bilden ein semidirektes Produkt \IZ_(q^2-1)\ltimes\IZ_2, wie man sich leicht überzeugt. Die 2\-Sylowgruppen von \IZ_(q^2-1)\ltimes\IZ_2 sind offenbar zu \IZ_s\ltimes\IZ_2 isomorph. Damit erhalten wir wieder eine Untergruppenkette array(\IZ_2^t\cross\ wr(\IZ_s\ltimes\IZ_2,R,menge(1,..,m)) $ <= $ GL(1,q)^t\cross\ wr(GL(d,q),R,menge(1,..,m)) $ <= $ GL(n,q)) und haben unsere 2\-Sylowgruppe gefunden. \blue\ q.e.d.
 
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