define(kk,\void\ <) Seien (M_0 , \kk_0) , ... , (M_n , \kk_n) Wohlordnungen. Setze X = union(M_i \cross {i},i=0,n) Auf X definieren wir die Relation < durch (x,i) < (y,j) <=> i < j \or (i=j \and x \kk_i y) Die Struktur von (X,<) kann man sich einfach so vorstellen: | | | | | M_1 | | | | | | | M_2 | | | | | | | M_3 | | | | | | | M_n Es ist leicht zu zeigen, dass (X,<) eine Totalordnung ist. Der Nachweis, dass (X,<) sogar wohlgeordnet ist, geht etwa so: Wenn man eine nichtleere Teilmenge T von X hat, so suche man unter allen M_i , die sie bedeckt, die kleinste Position aus. Das kleinste Element des zugeörigen M_i ist dann das kleinste Element von T. Diese Wohlordnung nennt man die \big\darkblue lexikografische Ordnung \normal\black der M_i . Ganz ähnlich kann man Y := M \cross M', wobei (M,<),(M',<') Wohl- ordnungen sind, wohlordnen. Definiere die Relation \sqsubset auf Y durch (a,a') \sqsubset (b,b') <=> a < b \or (a=b \and a' <' b') Der Nachweis, dass (Y,\sqsubset) eine Totalordnung ist, besteht nur aus Rechnen. Dass jede nichtleere Teilmenge T von Y ein kleinstes Element hat, sieht man so ein: Unter allen ersten Komponenten der Elemente von T gibt es ein kleinstes Element. Die kleinste zweite Komponente von T, mit der dieses kleinste Element in T liegt, ist dann das kleinste Element von T. Das lässt sich alles am obigen Elementegitter veranschaulichen.