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p-adic Numbers
Buchtitel p-adic Numbers
Autor Gouvea, Fernando Q.
Beschreibung Eine gründliche Einführung in die Theorie der p-adischen Zahlen. Der Autor entwickelt die p-adischen Zahlen als direkte Analogie zu den reellen Zahlen, dabei behält er stets die Bezüge zur rellen Analysis im Auge.

Der Leser sollte grundlegendes algebraisches und zahlentheoretisches Wissen mitbringen, vielleicht noch etwas allgemein-topologisches.

Besonders gefiel mir die einleitende motivierende Darstellung der Analogien Hensels, insbesondere von p-adischen Zahlen zu den komplexen Laurent-Reihen, die ausführliche Sicht von Qp als einzige zu R alternativ mögliche Vervollständigung von Q.

Zum Inhalt des Buches:

  • Aperitif
    Der Autor erläutert die Henselsche Analogie. Die p-adische Entwicklung einer rationalen Zahl wird als Analogon zu Laurent-Reihen aufgezeigt. Aussagekräftige Beispiele werden gerechnet.

  • Foundations
    Eigenschaften eines Absolutbetrags werden angegeben, Archimedische/Nicht-Archimedische Absolutbeträge untersucht, insbesondere im Hinblick auf von ihnen induzierte Metrik und Topologie. Die p-adische Bewertung und der p-adische Absolutbetrag werden eingeführt. Zusammenhang zwischen Absolutbetrag und algebraischer Struktur des bewerteten Körpers wird hergestellt.

  • p-adic Numbers
    Ostrowskis Theorem wird gezeigt: jeder nichttriviale Absolutbetrag auf Q ist äquivalent zum herkömmlichen oder zu einem p-adischen. Die p-adischen Zahlen werden als Quotientenkörper Qp definiert, Qp als Vervollständigung von Q nachgewiesen. Qp wird (topologisch) untersucht, es folgen Hensels Lemma und das Lokal-Global-Prinzip.

  • Elementary Analysis in Qp
    Folgen, Reihen, Funktionen, Stetigkeit, Potenzreihen über Qp, gipfelnd in p-adischer Version von Eponentialfunktion und Logarithmus.

  • Vector Spaces and Field Extensions
    Vektorräume über Qp, Norm, Körpererweiterungen, Cp als Vervollständigung des algebraischen Abschluß von Qp.

  • Analysis in Cp
    Ein Vorgeschmack auf die Analysis in Cp anhand ausgewählter Konzepte.

  • Hints and Comments on the Problems
    Tips und Kommentare zu den Aufgaben, keine Komplettlösungen.

  • A Brief Glance at the Literature
    Da dieses Buch nur als Einführung in die p-adische Welt gedacht ist, folgen hier Informationen über Literatur zum vertieften Studium. Eine getrennte Bibliographie folgt.



Fazit: ich finde dieses Buch sehr motivierend, Interesse weckend und durchgängig wachhaltend. Während in manch anderem Buch die p-adische Theorie seelenlos aufwendig konstruiert wirkt, lernt man hier die Schönheit dahinter kennen.

Verlag: Springer Verlag
Erstauflage: 1993, besprochen: 3. Druck der zweiten Auflage 2003
Umfang: 304 Seiten

Bewertung 10
Suchwörter
Mathematik, Algebra,
 
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