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Categories for the Working Mathematician
Buchtitel Categories for the Working Mathematician
Autor Mac Lane, Saunders
Beschreibung Vorab: Diese Einführung die Kategorientheorie richtet sich nicht nur an den "arbeitenden Mathematiker". Vielmehr ist es so, dass jeder, der einmal Mathematiker werden möchte, von diesem exzellenten Buch langfristig profitieren wird. Zu bemerken ist auch, dass Saunders Mac Lane (1909 - 2005) einer der Mitbegründer der Kategorientheorie ist.

Inhalt:

I. Categories, Functors and Natural Transformations
II. Constructions on Categories
III. Universals and Limits
IV. Adjoints
V. Limits
VI. Monads and Algebras
VII. Monoids
VIII. Abelian Categories
IX. Special Limits
X. Kan Extensions

Jedes Kapitel besteht aus einzelnen Abschnitten, die jeweils von einer Sammlung aus recht einfachen, aber lohnenswerten Übungsaufgaben abgeschlossen werden. Dabei geht es vor allem um konkrete Beispiele, die die Theorie zum Leben erwecken und die einem bereits bekannten Zusammenhänge in das allgemeine Bild der Kategorientheorie einfügen. Aber auch im Text selbst kommen die Beispiele nicht zu kurz. Jedes Kapitel schließt außerdem mit interessanten historischen Anmerkungen zur Entstehung der Theorie ab.

Das erste Kapitel führt die grundlegenden Begriffe der Kategorientheorie ein: Kategorien, Funktoren, natürliche Transformationen, Mono-, Epi- und Isomorphismen. Mit vielen Beispielen wird dem Leser vermittelt, dass sich diese Strukturen überall in der Mathematik wiederfinden. Das zweite Kapitel behandelt verschiedene Konstruktionen, wie aus Kategorien neue Kategorien gewonnen werden können (Produkte, Funktorkategorien, Komma-Kategorien, Kategorien durch Erzeuger und Relationen, Quotientenkategorien), außerdem wird das Dualitätsprinzip besprochen.
Im dritten Kapitel werden universelle Eigenschaften in verschiedenen Inkarnationen studiert (universelle Elemente, Yoneda-Lemma, Kolimites, Limites). Mit vielen Beispielen wird man damit vertraut gemacht und man sieht, dass die Mathematik voll mit solchen Konstruktionen ist. Im vierten Kapitel werden gründlich adjungierte Funktoren studiert, die ebenfalls überall auftreten und mit vielen Beispielen beleuchtet werden. Außerdem geht es um kartesisch-geschlossene Kategorien sowie Operationen mit Adjunktionen.
Das fünfte Kapitel geht spezieller auf Limites ein: Es wird die Zerlegung in Produkte und Differenzkerne besprochen, der berühmte Satz von Freyd (GAFT) über die Existenz von adjungierten Funktoren (mit dem z.B. die Existenz von freien Gruppen oder Stone-Cech-Kompaktifizierungen sofort klar ist, aber noch viel mehr) sowie seine speziellere Form (SAFT).
Das sechste Kapitel handelt von Monaden sowie monadischen Funktoren, insbesondere den Satz von Beck für deren Charakterisierung. Als Anwendung wird gezeigt, dass die Kategorie der kompakten Hausdorffräume monadisch über der Kategorie der Mengen ist. Das siebte Kapitel handelt von Monoiden, monoidalen Kategorien (insbesondere Mac Lanes Kohärenzsatz) und geht auf deren Bedeutung in der algebraischen Topologie ein: Die singulären Homologie wird aus der simplizialen Kategorie konstruiert. Außerdem wird die besonders gutartige Kategorie der kompakt-erzeugten Hausdorffräume besprochen.
Im achten Kapitel geht es um die Grundobjekte der homologische Algebra, nämlich den abelschen Kategorien. Anstatt den unschönen Einbettungssatz zu zitieren, werden Diagramjagden in abelschen Kategorien mit Hilfe von verallgemeinerten Elementen möglich gemacht und damit einige Diagrammlemmata (Fünfer Lemma, Schlangenlemma) bewiesen.
Das neunte Kapitel geht noch einmal spezieller auf Limites ein: Gerichtete Limites, Vertauschen von Limites, Enden und Koenden, die dann zu einem Art "Satz von Fubini" in der Kategorientheorie führen. Das zehnte Kapitel schließlich behandelt Kan-Erweiterungen. Es wird gezeigt, dass sich alle vorher eingeführten Konzepte als Kan-Erweiterungen auffassen lassen.

Soviel zum Inhalt. Es gibt wohl kein anderes Buch, welches mich so sehr beeinflusst hat, wie "der Mac Lane". Man lernt, die überall in der Mathematik verstreuten Begriffe und Theorien konzeptioneller zu sehen und besser einordnen zu können. Bis auf ein paar Ausnahmen beinhaltet das Buch keine besonders nichttrivialen und tiefliegenden Sätze (es ist allerdings ein Irrglaube, anzunehmen, dass Kategorientheorie nur aus Trivialitäten besteht, für ein besonders krasses Beispiel siehe Jacob Luries Buch "Higher Topos Theory"), aber darum geht es auch gar nicht. Mac Lane schafft es hier, die Grundlagen der Kategorientheorie kristallklar zu entwickeln.

An Vorwissen muss man kaum etwas mitbringen, jedoch sollten einem natürlich ein paar Grundbegriffe (Gruppe, topologischer Raum, etc.) bekannt sein, um die konkreten Beispiele zu verstehen. Andererseits sind die Beispiele oftmals auch selbsterklärend.

Es lohnt sich übrigens, sich für die zweite Auflage zu entscheiden, weil dort einige wichtige Abschnitte ergänzt wurden.

Die Kategorientheorie, in ihren Geburtsstunden eher skeptisch von Mathematikern aufgenommen, ist heute aus verschiedenen Gebieten wie z.B. der theoretischen Informatik, der algebraischen Geometrie und der algebraischen Topologie nicht mehr wegzudenken. Ich empfehle den Mac Lane jedem, der sich in die Kategorientheorie einarbeiten möchte.
Bewertung 10
Suchwörter
Kategorientheorie, Algebra, Algebraische Topologie, Grundlagen, Kategorien, Lehrbücher,
 
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