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Kombinatorik in der Sommerpause: Pflasterungen mit Rechtecken

Kombinatorik in der Sommerpause: Pflasterungen mit Rechtecken

Auf wieviele verschiedene Weisen lässt sich ein \(3 {\times} 4\)-Gitter mit Rechtecken pflastern? Hier ein paar Beispiele dafür:

<math>\begin{tikzpicture}[line width=0.18ex,scale=0.5]
\draw [thin,lightgray,step=1] (0,0) grid (4,3);
\draw (0,0) to (4,0) to (4,3) to (0,3) -- cycle;
\draw (0,1) to (2,1) to (2,0);
\draw (2,1) to (2,2) to (4,2);
\draw (2,2) to (1,2);
\draw (1,1) to (1,3);
\end{tikzpicture}
\hspace{7mm}
\begin{tikzpicture}[line width=0.18ex,scale=0.5]
\draw [thin,lightgray,step=1] (0,0) grid (4,3);
\draw (0,0) to (4,0) to (4,3) to (0,3) -- cycle;
\draw (0,1) to (4,1);
\draw (3,0) to (3,1);
\draw (2,1) to (2,2) to (4,2);
\draw (2,3) to (2,2);
\draw (1,1) to (1,3);
\end{tikzpicture}
\hspace{7mm}
\begin{tikzpicture}[line width=0.18ex,scale=0.5]
\draw [thin,lightgray,step=1] (0,0) grid (4,3);
\draw (0,0) to (4,0) to (4,3) to (0,3) -- cycle;
\draw (2,0) to (2,2) to (0,2);
\draw (2,2) to (2,3);
\draw (2,1) to (3,1);
\draw (3,2) to (4,2);
\draw (3,0) to (3,3);
\end{tikzpicture}
\hspace{7mm}
\begin{tikzpicture}[line width=0.18ex,scale=0.5]
\draw [thin,lightgray,step=1] (0,0) grid (4,3);
\draw (0,0) to (4,0) to (4,3) to (0,3) -- cycle;
\draw (1,0) to (1,1) to (0,1);
\draw (0,2) to (3,2) to (3,1) to (1,1);
\draw (2,2) to (2,3);
\draw (3,2) to (3,3);
\draw (3,1) to (4,1);
\end{tikzpicture}</math>

Tatsächlich gibt es \(3164\) solcher Pflasterungen. Um solche Anzahlen rekursiv zu bestimmen, betrachten wir allgemeiner die Zahl der Pflasterungen eines \(n {\times m}\)-Gitters durch Rechtecke. In diesem Artikel schauen wir uns besonders die Fälle \(n=1,2,3\) an. Dabei lernen wir verschiedene Methoden kennen, insbesondere die Transfer-Matrix-Methode, die sogar für jedes feste \(n\) funktioniert. Wir bekommen sowohl erzeugende Funktionen als auch Rekursionsgleichungen für die gesuchten Anzahlen.
 
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