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Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten

Quadratwurzel einer komplexen Zahl und Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten

In folgendem Artikel soll, ähnlich der bekannten Lösungsformel im reellen Fall, eine handhabbare Lösungsformel für die quadratische Gleichung mit komplexen Koeffizienten ermittelt werden. \usetikzlibrary{angles, quotes, babel, backgrounds} \begin{document} \begin{tikzpicture}[ x=1.5cm, y=1.5cm, scale=0.725, font=\footnotesize, >=latex, %Voreinstellung für Pfeilspitzen background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle, ] % x-Achse \draw[->] (-3.5,0) -- (4.5,0) node[below] {Re$$}; %Zahlen auf x-Achse \foreach \x in {-3,...,4}{\if\x0{}\else \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {$\x$}; \fi} % y-Achse \draw[->] (0,-2.5) -- (0,4.5) node[left] {Im$$};%node[above left] %Zahlen auf y-Achse \foreach \y in {-2,...,4}{\if\y0{}\else \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {$\y$}; \fi} %Ursprung %\node[below right] {$0$}; % Funktionen \pgfmathsetmacro\ReD{-5/4} \pgfmathsetmacro\ImD{3} \pgfmathsetmacro\AbsD{sqrt( (\ReD)^2 + (\ImD)^2 )} \pgfmathsetmacro\C{sqrt(\AbsD)/(sqrt((\ReD+\AbsD)^2 +\ImD^2)} \pgfmathsetmacro\ReSqrtD{\C*(\ReD+\AbsD)} \pgfmathsetmacro\ImSqrtD{\C*\ImD} \pgfmathsetmacro\AbsSqrtD{sqrt(\ReSqrtD^2+\ImSqrtD^2)} \pgfmathsetmacro\RePh{1} \pgfmathsetmacro\ImPh{1/2} \coordinate (U) at (0,0); \coordinate (D) at (\ReD,\ImD); \coordinate (W) at (\ReD+\AbsD,\ImD); \coordinate (W0) at (0+\AbsD,0); \coordinate (SqrtD) at (\ReSqrtD,\ImSqrtD); \coordinate (SqrtDNz) at (-\ReSqrtD,-\ImSqrtD); \coordinate (Z1) at (\ReSqrtD+\RePh,\ImSqrtD+\ImPh); \coordinate (Z2) at (-\ReSqrtD+\RePh,-\ImSqrtD+\ImPh); % Winkel \pic[draw, ->, black, thin, fill=black!30, angle radius=6mm, angle eccentricity=1.0, pic text={\tiny$\arg(D)/2$}, pic text options={xshift=7pt, below=5pt}] {angle = W0--U--W}; \pic[draw, ->, thin, angle radius=9mm, angle eccentricity=1.0, anchor=west, pic text={\tiny$\arg(D)$}, pic text options={xshift=5pt, yshift=-5pt}] {angle = W0--U--D}; \draw[->, ] (U) -- (D) node[left]{$-\frac54 +3i=D$}; \draw[->, ] (U) -- (W) node[right]{$w=D+|D|$}; \draw[] (D) -- (W) node[xshift=5pt, midway, above]{$|D|$}; \draw[-, densely dashed] (U) -- (W0) node[near end, above]{$|D|$} -- (W) node[midway, right]{$D$}; \draw[densely dashed, shorten >=-7mm, shorten <=-7mm] (SqrtDNz) -- (W); \draw[black, ->, ] (U) -- (SqrtD) node[near end,sloped,above]{$\sqrt{D}$}; \draw[black, ->, ] (U) -- (SqrtDNz) node[midway,sloped,above]{$-\sqrt{D}$}; \draw[densely dashed] circle[radius=\AbsSqrtD]; % Lösungen \draw[black, ->] (SqrtD) -- (Z1) node[very near end,sloped,above]{$-\frac{p}{2}$}; \draw[red, ->, very thick] (U) -- (Z1) node[midway, right=5pt,fill=pink, rounded corners=1pt, inner sep=1.5pt]{$z_1 = 2+2i$}; \draw[black, ->] (SqrtDNz) -- (Z2) node[midway,sloped,below]{$-\frac{p}{2}$}; \draw[red, ->, very thick] (U) -- (Z2) node[midway, right=3pt, fill=pink, rounded corners=1pt, inner sep=1.5pt]{$z_2 = -i$}; % Annotationen \node[fill=pink, rounded corners=1pt, inner sep=1.5pt] at (4,4) {$z^2 -(2+i)z + (2-2i)=0$}; \node[black] at (5,3.5) {$\sqrt{D} = \frac{2+3i}{2}$}; \node[black] at (5,3.0) {$-\frac{p}{2} = \frac{2+i}{2}$}; \end{tikzpicture}
 
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