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Polynomdivision - Direkte Berechnung beliebiger Koeffizienten
\(\newcommand{\ggT}{\mathbb{ggT}}\) In diesem Artikel möchte ich ein Verfahren vorstellen, welches mathematisch gesehen gewisse Ästhetik hat. Gegeben seien zwei Polynome \( a(x)=\sum \limits_{i=0}^{n} a_i x^i \) und \( b(x)=b_1 x + b_0\). Dann gibt es bekanntlich zwei eindeutige Polynome \( q(x)=\sum \limits_{i=0}^{n-1} q_i x^i \) und \(r(x) = r\), s. d. \[a(x) = q(x)b(x) + r(x)\] gilt. Die Koeffizienten \(q_i\) können mit Stift und Papier nach und nach mittels Polynomdivision berechnet werden. Problem: Um einen Koeffizienten \(q_i\) zu berechnen, müssen die vorherigen \( q_{i+1}, ..., q_{n-1}\) bekannt sein. Wie wäre es mittels einer Matrix eine direkte Formel anzugeben? "Direkt" heißt hier: Ohne Kenntnis der vorherigen Koeffizienten. Ist es möglich? Falls nein, warum nicht? Und falls doch... wie sieht \[ q_{i} = f(a_{i}, b_{i}) \] aus? Ich habe mit auf die Suche begeben und das Resultat gibt es hier: \[ q_{n-1-i} = \sum \limits_{t=0}^{i} (-1)^{i+t} \quad b_{1}^{t-i-1} \quad b_{0}^{i-t} \quad a_{n-t}, \quad i=0, ..., n \] und speziell gilt \( q_{-1} = \frac{r}{b_1} \), welcher mit dem Koeffizienten der Laurent-Reihe an der Indexstelle -1 übereinstimmt. Hübsch, oder? Wir diskutieren in diesem Artikel den Beweis.
 
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