Notizbuch der Arbeitsgruppe Alexandria
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Arbeitsgruppe Alexandria auf dem Matheplaneten
Schaffung und fortlaufende Pflege des Stichwortkatalogs für die Artikel auf dem Matheplaneten.

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Einträge zum Stichwort: Polynome

Potenzsummen [von trunx] Druckerfreundliche Ansicht (Anonymous/Gockel)
Die Berechnung des Ausdrucks sum(n^m,n=1,N) kann auf sehr verschiedene Weise vorgenommen werden. Einige davon sind bereits auf dem Matheplaneten vorgestellt worden, z.B. im Artikel Endliche Summen oder hier im Forum. Hier folgt noch ein weiterer Ansatz.
Das Apfelmännchen aus algebraischer Sicht Rekonstruktion von Randkurven der Mandelbrotmenge mit algebraischen Mitteln. Überprüfung der Kreisform von H3. Verfahren zur Bestimmung von Zentren und Misiurewicz-Punkten. Bestimmung der Wurzeln von Knospen auf dem Rand hyperbolischer Mengen. Nachweis der Selbstähnlichkeit von M. Nachweis der Faustregeln für die Zyklenlänge in Knospen.
Der Satz von Cayley-Hamilton aus der linearen Algebra ist ein schönes Beispiel dafür, dass man einen Satz über komplexe Matrizen mit einem formalen Argument auf Matrizen über kommutativen Ringen verallgemeinern kann...

Approximation der Kurve y=x3+ax2+bx+c durch die kubische Parabel y=x3, die durch die Startnäherung xn auf der x-Achse verschoben wird,
Eine Einfuehrung in die Theorie der Standardbasen (Gröbner-Basen) von Idealen in Polynomringen.
Der Divisionssatz als Verallgemeinerung des euklidischen Algorithmus und der Polynomdivision. Das Ziel ist es, darzustellen, dass der Algorithmus nicht immer einwandfrei funktioniert, um die Gröbner-Basen eines Ringideals zu motivieren.

Wurzelschau [von luxi] Druckerfreundliche Ansicht (matroid/Gockel)
Graphische Interpretation komplexer Nullstellen quadratischer Gleichungen.

Demonstration der Lagrange-Interpolation an einem Beispiel

Hier wird eine Verallgemeinerung des Gauss'schen Verfahrens zur Summation der Zahlen von 1 bis n besprochen.
Formale und sehr ausführliche Betrachtung von Polynomringen
Ein Polynom in der Unbestimmten x, das vollständig in die Linearfaktoren der Nullstellen zerfällt, lässt sich ausmultiplizieren. Die Koeffizienten vor den x-Potenzen sind Polynome in den Nullstellen. Doch wie sehen diese aus?
In diesem Artikel werden wir 9 Beweise dafür präsentieren, dass die Anzahl der Variablen eines Polynomrings eindeutig bestimmt ist. Das heißt, wenn K[X_1,...,X_n] und K[X_1,...,X_m] als K-Algebren isomorph sind, dann ist n=m.
Beweis des Satzes von Cayley-Hamilton durch ein Dichtsheitsargument in der Zariski-Topologie.
Darstellung einer rekursiven Formel für die Summe über n^m ohne Verwendung der Bernoulli-Zahlen.

Hier wird das Horner-Schema beschrieben, mit dem man einfach Funktionswerte berechnen, Poylnomdivisionen durchführen und Nullstellen erraten kann
Standardwege, Tipps & schmutzige Tricks zum Lösen von Polynomgleichungen:

1. Lineare Gleichungen
2. Quadratische Gleichungen
3. Gleichungen dritten und vierten Grades
4. Weitere Lösungsverfahren für Spezialfälle
4.1 Kreisteilungspolynome
4.2 Die Biquadratische Gleichung
4.3 Andere durch Substitution lösbare Gleichungen
4.4 Spezialfall einer Kreisteilungsgleichung
4.5 Binom-Gleichungen
4.6 Gradreduzierung durch Ausklammern von x
4.7 Gradreduzierung durch Polynomdivision
5. Seltene Lösungsverfahren und Approximierungen
5.1 Methode des Quadrat-Extrems
5.2 Die Newton-Iteration
5.3 Regula falsi
5.4 Das allseits beliebte Raten
Ein sehr lesenswerter Artikel, der die Formeln von Cardano behandelt und herleitet.
Herleitung der Formel von Ferrari um Polynome 4.Grades aufzulösen.

Dies ist eine Aufgabe der 4.Runde der Mathematik Olympiade für 11. - 13. Klässler:
Berechnet man mit dem Computer den Term n7/7 + n5/5 + n3/3 + 34n/105 für n=1,2,3,...so ergeben sich anfänglich lauter natürliche Zahlen: 1, 28, 371, 2568, 11829, ...,
und es stellt sich die Frage, ob das immer so weiter geht oder nicht doch irgendwann auch Brüche vorkommen.

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