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owgruppen in GL(n,q) Druckerfreundliche Ansicht (Gockel/Gockel)

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Angelegt: 2006-10-07 17:53 von Gockel
Zuletzt geändert: 2006-11-25 18:49 von Gockel
owgruppen in GL(n,q)

Schwierigkeit:
Beschreibung:p-Sylowgruppen von GL(n,q) und SL(n,q), ihre Normalisatoren und ihre Anzahl.


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Sei q=p^r, sei B_n die Untergruppe der oberen Dreiecksmatrizen in GL(n,q) und sei U_n die Untergruppe derjenigen oberen Dreiecksmatrizen mit Einsen auf der Hauptdiagonalen. Es gilt offensichtlich U_n<|B_n<=GL(n,q). \(Normalteilereigenschaft ist nur Rechnerei\). \darkred\ U_n ist eine p\-Sylowgruppe von GL(n,q). \blue\ Beweis: Es gilt abs(U_n)=produkt(q^i,i=1,n-1)=q^(n(n-1)/2) und abs(GL(n,q))=produkt((q^n-p^i),i=0,n-1) =(produkt(q^i,i=1,n-1))*((produkt((q^(n-i)-1),i=0,n-1))) =q^(n(n-1)/2)*produkt((q^(n-i)-1),i=0,n-1) Da produkt((q^(n-i)-1),i=0,n-1) nicht durch p teilbar ist, ist q^(n(n-1)/2) die größte Potenz von p, die abs(GL(n,q)) teilt, also ist U_n tatsächlich eine p\-Sylowgruppe von GL(n,q). \blue\ q.e.d. \darkred\calN(U_n)=B_n \blue\ Beweis: Es gilt U_n<|B_n, also B_n\subseteq\calN(U_n). Wir zeigen nun die andere Inklusion durch Induktion nach n. Für n=1 ist die Behauptung wahr, da dann U_1={1} und B_1=\IF_q^x=GL(1,q). Für alle Blockmatrizen matrix(A,B;C,D)\el\calN(U_n) \( A\el\IF_q \) und matrix(1,X;,Y)\el\ U_n gibt es dann X' und Y' mit: matrix(1,X;,Y)*matrix(A,B;C,D)=matrix(A,B;C,D)*matrix(1,X';,Y') =>matrix(A+XC,B+XD;YC,YD)=matrix(A,AX'+BY';C,CX'+DY') =>A+XC=A => XC=0 Sei nun C festgewählt. Da wir X frei aus \IF_q^(1\times(n-1)) wählen können, kann keine Komponente von C ungleich 0 sein, sprich C=0. Da matrix(A,B;,D) invertierbar sein soll, sind A und D invertierbar. Es folgt nun, dass es für jedes Y\el\ U_(n-1) ein Y'\el\ U_(n-1) existiert mit D^(-1)\.YD=Y', dass also D\el\calN(U_(n-1)) ist. Nach Induktionsvoraussetzung ist D\el\ B_(n-1), also ist auch matrix(A,B;,C)\el\ B_n. \blue\ q.e.d. Anmerkungen und Folgerungen: U_n ist auch eine p\-Sylowgruppe von SL(n,q) und B_n\cut\ SL(n,q) ist daher der Normalisator von U_n in SL(n,q). Außerdem ist abs(B_n)=abs(U_n)*abs(q-1)^n =>abs(GL(n,q):B)=produkt((q^(n-i)-1)/(q-1),i=0,n-1)=produkt((q^i-1)/(q-1),i=1,n)=produkt((sum(q^j,j=0,i-1)),i=1,n) \blue\ Beweis: klar
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