Die Mathe-Redaktion - 10.12.2018 03:34 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
ListenpunktSchwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 265 Gäste und 4 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Mathematik: Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten
Freigegeben von matroid am Mo. 03. Dezember 2018 21:32:59
Verfasst von cis - (223 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)

Quadratwurzel einer komplexen Zahl
und
Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten


In folgendem Artikel soll, ähnlich der bekannten Lösungsformel im reellen Fall, eine handhabbare Lösungsformel für die quadratische Gleichung mit komplexen Koeffizienten ermittelt werden.

<math>
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel, backgrounds}

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[
x=1.5cm, y=1.5cm,  scale=0.725,
font=\footnotesize,
>=latex,   %Voreinstellung für Pfeilspitzen
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners},
show background rectangle,
]

% x-Achse
\draw[->] (-3.5,0) -- (4.5,0) node[below] {Re$$};
%Zahlen auf x-Achse
\foreach \x in {-3,...,4}{\if\x0{}\else
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {$\x$};
\fi}

% y-Achse
\draw[->] (0,-2.5) -- (0,4.5) node[left] {Im$$};%node[above left]
%Zahlen auf y-Achse
\foreach \y in {-2,...,4}{\if\y0{}\else
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {$\y$};
\fi}

%Ursprung
%\node[below right] {$0$};

% Funktionen
\pgfmathsetmacro\ReD{-5/4}
\pgfmathsetmacro\ImD{3}
\pgfmathsetmacro\AbsD{sqrt( (\ReD)^2  +  (\ImD)^2 )}

\pgfmathsetmacro\C{sqrt(\AbsD)/(sqrt((\ReD+\AbsD)^2 +\ImD^2)}
\pgfmathsetmacro\ReSqrtD{\C*(\ReD+\AbsD)}
\pgfmathsetmacro\ImSqrtD{\C*\ImD}
\pgfmathsetmacro\AbsSqrtD{sqrt(\ReSqrtD^2+\ImSqrtD^2)}

\pgfmathsetmacro\RePh{1}
\pgfmathsetmacro\ImPh{1/2}


\coordinate (U) at (0,0);
\coordinate (D) at (\ReD,\ImD);
\coordinate (W) at (\ReD+\AbsD,\ImD);
\coordinate (W0) at (0+\AbsD,0);
\coordinate (SqrtD) at (\ReSqrtD,\ImSqrtD);
\coordinate (SqrtDNz) at (-\ReSqrtD,-\ImSqrtD);

\coordinate (Z1) at (\ReSqrtD+\RePh,\ImSqrtD+\ImPh);
\coordinate (Z2) at (-\ReSqrtD+\RePh,-\ImSqrtD+\ImPh);

% Winkel
\pic[draw, ->, black, thin, fill=black!30, angle radius=6mm, angle eccentricity=1.0,
 pic text={\tiny$\arg(D)/2$}, pic text options={xshift=7pt,  below=5pt}] {angle = W0--U--W};
\pic[draw, ->, thin, angle radius=9mm, angle eccentricity=1.0, anchor=west, pic text={\tiny$\arg(D)$}, pic text options={xshift=5pt, yshift=-5pt}] {angle = W0--U--D};

\draw[->, ] (U) -- (D) node[left]{$-\frac54 +3i=D$};
\draw[->, ] (U) -- (W) node[right]{$w=D+|D|$};
\draw[] (D) -- (W) node[xshift=5pt, midway, above]{$|D|$};
\draw[-, densely dashed] (U)
-- (W0) node[near end, above]{$|D|$}
-- (W) node[midway, right]{$D$};
\draw[densely dashed, shorten >=-7mm, shorten <=-7mm] (SqrtDNz) -- (W);


\draw[black, ->, ] (U) -- (SqrtD) node[near end,sloped,above]{$\sqrt{D}$};
\draw[black, ->, ] (U) -- (SqrtDNz) node[midway,sloped,above]{$-\sqrt{D}$};
\draw[densely dashed] circle[radius=\AbsSqrtD];

% Lösungen
\draw[black, ->] (SqrtD) -- (Z1) node[very near end,sloped,above]{$-\frac{p}{2}$};
\draw[red, ->, very thick] (U) -- (Z1) node[midway, right=5pt,fill=pink, rounded corners=1pt, inner sep=1.5pt]{$z_1 = 2+2i$};

\draw[black, ->] (SqrtDNz) -- (Z2) node[midway,sloped,below]{$-\frac{p}{2}$};
\draw[red, ->, very thick] (U) -- (Z2) node[midway, right=3pt, fill=pink, rounded corners=1pt, inner sep=1.5pt]{$z_2 = -i$};

% Annotationen
\node[fill=pink, rounded corners=1pt, inner sep=1.5pt] at (4,4) {$z^2 -(2+i)z + (2-i)=0$};
\node[black]  at (5,3.5) {$\sqrt{D} = \frac{2+3i}{2}$};
\node[black] at (5,3.0) {$-\frac{p}{2} = \frac{2+i}{2}$};

\end{tikzpicture}
</math>
\(\endgroup\)
mehr... | 31854 Bytes mehr | Kommentare? | Druckbare Version  | Mathematik


buhs Montagsreport: BMI nur ein Fake?
Freigegeben von matroid am Mo. 19. November 2018 21:38:48
Verfasst von buh - (293 x gelesen)
Bildung  \(\begingroup\)
Urlogo für buhs Montagsreport
BMI nur ein Fake?

Wenn die Maße micht mehr stimmen…

 
Berlin. Morgendliches Ritual im Bad: Nur die elektrische Zahnbürste an*, besteige ich die Waage.
SCHOCK: Innerhalb eines Tages 3 Kilo** zugenommen! 3 Kilo‼ An einem Tag‼!
Bei der Stockbyrkner!-ultimate!-chigoa-Heidelgoji-maccaronia-Diät, dem letzten, was die Vollfatburner unters Volk bringen konnten!

Wie das?? \(\endgroup\)
mehr... | 2792 Bytes mehr | 6 Kommentare | Druckbare Version  | buhs Montagsreport


buhs Montagsreport: Vielleicht klemmt nur die Tür…
Freigegeben von matroid am Mo. 12. November 2018 20:47:49
Verfasst von buh - (139 x gelesen)
Bildung  \(\begingroup\)
Urlogo für buhs Montagsreport
Vielleicht klemmt nur die Tür…

Zu Zustand und Zukunft des Marthermatischen Museums

 
Stille herrscht nach wie vor im Umfeld des MM* zu Zinbiel. Ab und zu zerplatzt ein Sternchen der kristallisierten Zeit, ohne Geräusch. Obgleich man im Gebäude keinerlei Bewegung erkennen kann, ist das durch die Tür sichtbare Puzzle mit dem Abbild des amtierenden Le erst zur Hälfte fertiggestellt.

Und während sich die cebuh GmbR ebenfalls in rauschendes Schweigen hüllt, entstehen die gewagtesten Theorien über den Zustand des MM.
\(\endgroup\)
mehr... | 3833 Bytes mehr | Kommentare? | Druckbare Version  | buhs Montagsreport


buhs Montagsreport: Reformation der Reform
Freigegeben von matroid am Mo. 15. Oktober 2018 19:12:51
Verfasst von buh - (398 x gelesen)
Bildung  \(\begingroup\)
Urlogo für buhs Montagsreport
Reformation der Reform

Rechnen durch Raten findet nicht (mehr) statt

 
Berlin. Als ich vor drei Jahren ”Revolution im Matheunterricht” schrieb, fehlten mir letztlich belastbare Untersuchungen, um meine These, der ganze ganzheitliche Erfassungsquark bei 5-6-Jährigen sei kontraproduktiv, wissenschaftlich zu untermauern.
Also durfte Jürgen Reichens* Satz zur Fibel „Jetzt wird über die Kinder die schulische Fremdherrschaft errichtet, und die Kinder müssen sich fortan nicht nur der Familie, sondern auch der Gesellschaft und dem Staat unterwerfen.“** weiterhin das Lesen-durch-Schreiben in D-A-CHs Schulen anrichten. Bis heute. \(\endgroup\)
mehr... | 2981 Bytes mehr | 5 Kommentare | Druckbare Version  | buhs Montagsreport


Stern Mathematik: Über Darstellende Matrizen
Freigegeben von matroid am Di. 18. Februar 2003 22:25:50
Verfasst von Siah - (522987 x gelesen)
Lineare Algebra  \(\begingroup\)

Lineare Algebra für Dumme, Kap. 2
 
Kapitel 2: Darstellungsmatrizen linearer Abbildungen zwischen endlich-dimensionalenVektorräumen bezüglich verschiedener Basen
 

Hallo zusammen,

ich möchte mich in diesem kleinen Abschnitt mit einem wohl oft zu unrecht als "kompliziert" verschrieenen Thema der linearen Algebra befassen. Wie schon aus der Überschrift zu erkennen, soll es um die verschiedenen Darstellungsformen linearer Abbildungen (Homomorphismen, strukturerhaltende Abbildungen) zwischen Vektorräumen gehen.

Da ich pädagogisch leider in keiner Weise geschult bin, bitte ich im Voraus um Entschuldigung für ungewollte, beziehungsweise didaktisch nicht wertvolle gedankliche Sprünge, Unzulänglichkeiten bei Erklärungen und Wortarmut (ich bin auch leider rhetorisch nicht geschult). Gleichzeitig bitte ich von allen Seiten um Verbesserungsvorschläge inhaltlicher, äußerer Art, und um Fehlerbeseitigung.

 

Inhalt

- Lineare Abbildungen
- Homomorphismen
- Bild und Kern
- Dimensionsformel
- Injektivität und Surjektivität
- Wo bleiben die Matrizen?
- Lineare Abbildung am Beispiel
- Darstellung linearer Abbildungen am Beispiel
- Darstellungsmatrizen linearer Abbildungen bezüglich verschiedener Basen
- Abbilden mit einer Darstellenden Matrix
- Berechnung der Darstellenden Matrix am Beispiel
- 5-Schritt-Verfahren zum Rechnen mit Darstellungsmatrizen
- Zu komplizert?
- Basisänderung
- Rang einer linearen Abbildung
Trennlinie

Ich setze voraus, mit folgenden Begriffen umgehen zu können:

Vektorraum, Erzeugendensystem, Basis, Dimension, Abbildung, Matrix, Matrizenmultiplikation, Gauss-Algorithmus.
\(\endgroup\)
mehr... | 28676 Bytes mehr | 57 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


Mathematik: Der Preis der Freiheit
Freigegeben von matroid am Sa. 06. Oktober 2018 09:22:28
Verfasst von AnnaKath - (580 x gelesen)
Vermischtes  \(\begingroup\)

Der Preis der Freiheit

- Selfish Routing -

Dieser Artikel beschäftigt sich in seinem (überschaubaren) mathematischen Kern mit einem kleinen Satz, der die Ineffizienz eines so genannten "selfish routing algorithm" beschränkt. Es ist aber auch ein Ziel, diese Aussage etwas weiter zu interpretieren und darzulegen, wie man von ganz anderen Fragestellungen motiviert, auf dieses Resultat stoßen kann.

Dies ist eines der Dinge, die ich an der Mathematik so mag; durch die hohe Abstraktion und  präzise Fassung von Begriffen tun sich gelegentlich ungeahnte Anwendungen auf. Auch dies soll der Artikel exemplarisch veranschaulichen. Natürlich mag auch die rein mathematische Aussage interessant sein und wer sich nur dafür interessiert möge die weiteren Ausführungen ignorieren. Um dies zu erleichtern sind die zu überschlagenden Textteile durch einen $\bigstar$ markiert und sogar durch $\bigstar\bigstar$, wenn es sich um eine rein persönliche Bemerkungen handelt.

Zum Titel: Der übliche englische Begriff für das zu Behandelnde lautet "price of anarchy". Auch eine direkte Übersetzung gäbe durchaus wieder, worum es dabei geht, entspricht aber nicht der (persönlichen) Motivation.

Und eine letzte Anmerkung vorweg: Ich schreibe diesen Artikel aus Sicht einer Volkswirtschaftlerin. Diese Disziplin nannte man früher "politische Ökonomie" und so lässt es sich nicht vermeiden, dass man die ein oder andere Aussage eben "politisch" deuten kann.
Dies ist ausdrücklich nicht meine Absicht und wäre eine vorsätzliche Missinterpretation. Leser, die sich in Gefahr sehen, mögen bitte die mit $\bigstar$ markierten Passagen übergehen. \(\endgroup\)
mehr... | 33019 Bytes mehr | 6 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


Werkzeuge: Spielkarten mit LaTeX
Freigegeben von matroid am Mi. 26. September 2018 12:30:14
Verfasst von cis - (431 x gelesen)
Tools  \(\begingroup\)
Spielkarten mit LaTeX

Testbericht zum Paket pst-poker.sty

Bild

Seit 2008 fand man nur ein leicht fehlerhaftes Paket poker.sty des Autors Olaf Encke, der es auf seiner Privathomepage hochgeladen hatte.

Nach langer Zeit einmal wieder über das Thema nachgedacht...

Nun hat das weltbekannte LaTeX-Urgestein Herbert Voß als Überarbeitung von o.g. Paket das brandneue (3. August 2018) Paket pst-poker (CTAN) nachgereicht.
\(\endgroup\)
mehr... | 7100 Bytes mehr | 6 Kommentare | Druckbare Version  | Werkzeuge


Mathematik: Markov Belohnungs-Prozesse
Freigegeben von matroid am Mo. 24. September 2018 09:27:25
Verfasst von LaLe - (417 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)

Von Ameisen zu sicherer künstlicher Intelligenz: Reinforcement Learning

Teil 1: Markov-Belohnungsprozesse

Diese Reihe von drei Artikeln soll einen Überblick über Reinforcement Learning geben, im Deutschen etwa "Bestärkendes Lernen" genannt. Der erste Teil beschäftigt sich mit Markov-Belohnungsprozessen, die man sich als "Reinforcement Learning ohne Lernen" vorstellen kann. Im zweiten Teil stellen wir darauf aufbauend Markov-Entscheidungsprozesse vor. Im dritten Teil werden wir uns schließlich mit der Sicherheit künstlicher Intelligenz (im englischen: AI Safety) befassen und lernen, inwiefern Reinforcement Learning in diesem neuen Forschungsfeld relevant ist.

Das war die Kurzzusammenfassung. Wie passt das alles in einen größeren Rahmen? Künstliche Intelligenz ist in aller Munde und bestimmt immer größere Teile unserer Interaktion mit großen Konzernen. Nicht zu Unrecht machen sich daher viele Menschen Sorgen, ob ihre Daten sicher sind und ihre Persönlichkeitsrechte gewahrt werden. Um diese Probleme soll es aber hier nicht gehen, denn man kann sich überall bestens darüber informieren. Meine Motivation ist es, Einblicke zu geben in das relativ neue Forschungsfeld zur Sicherheit künstlicher Intelligenz, im Englisch auch "AI Safety" genannt. Zusammenfassen lassen sich die Bedenken wie folgt: Wenn Maschinen immer autonomer werden, wenn Reinforcement Learning immer weiter verbreitet ist, und wenn Maschinen in immer komplexeren Umgebungen handeln, dann vergrößert sich damit auch das Potential dieser Maschinen, Schäden anzurichten, selbst wenn die Entwickler beste Intentionen haben. Eine moderne Einführung in konkrete Probleme aus diesem Forschungsfeld, mit einem starken Fokus auf Reinforcement Learning, bietet der Artikel Concrete Problems in AI Safety von Amodei et al.

Dieser Artikel ist im besten Fall nur der erste in einer Reihe von drei. Er gibt eine Einführung in das Thema der Markov-Belohnungsprozesse, und der zweite eine in Reinforcement Learning. Darauf aufbauend können wir im dritten Artikel konkrete Sicherheitsbedenken von Lernverfahren studieren, die auf Reinforcement Learning basieren. Ob es zu diesen weiteren Artikeln kommen wird und ob ich sie auf deutsch, oder nur an anderer Stelle auf Englisch veröffentliche, hängt auch von eurem Interesse an diesem Thema ab. Da das mein erster Artikel ist, ist Feedback aller Art sehr erwünscht! \(\endgroup\)
mehr... | 48781 Bytes mehr | Kommentare? | Druckbare Version  | Mathematik


Mathematik: Konstruktion von Matrixgruppen mit (modularer) Charaktertheorie
Freigegeben von matroid am So. 19. August 2018 21:47:41
Verfasst von Dune - (386 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)
Eine Geschichte, die mich nachhaltig fasziniert hat, ist die Entdeckung der ersten Jankogruppe \( J_1 \). Noch bevor die Existenz dieser sporadischen endlichen einfachen Gruppe definitiv klar war, hatte Janko bereits ihre (modularen) Charaktertafeln in jeder Charakteristik gefunden, und mit diesen Informationen zwei konkrete Matrizen bestimmt, die \( J_1 \) als Untergruppe von \( \mathrm{GL}(7,\mathbb{F}_{11}) \) erzeugen müssen (sofern sie denn überhaupt existiert!). Die tatsächliche Existenz von \( J_1 \) wurde erst später von Ward mit Hilfe eines Computerprogramms bewiesen.

In diesem Artikel möchte ich Jankos Ansatz anhand eines sehr viel einfacheren Beispiels demonstrieren. Wir betrachten hier die symmetrische Gruppe \( S_5 \). Indem wir alle (modularen) Charaktertafeln dieser Gruppe aufstellen, werden wir zeigen, dass sich die \( S_5 \) als Untergruppe in der \( \mathrm{GL}(4,\mathbb{K}) \) bezüglich jedem beliebigen Körper \( \mathbb{K} \) wiederfindet. Darüber hinaus werden wir zeigen, dass die \( S_5 \) genau dann als Untergruppe von \( \mathrm{GL}(3,\mathbb{K}) \) auftritt, wenn \( \mathbb{K} \) ein Körper der Charakteristik 5 ist. Mit Hilfe eines entsprechenden Charakters werden wir auf systematische Weise eine zur \( S_5 \) isomorphe Untergruppe der \( \mathrm{GL}(3,\mathbb{F}_5) \) konstruieren.

Dieser Artikel richtet sich an alle, die ein klein wenig Vorwissen aus der herkömmlichen Darstellungstheorie endlicher Gruppen mitbringen und noch eine Motivation für die Beschäftigung mit der (noch viel spannenderen!) modularen Darstellungstheorie suchen. \(\endgroup\)
mehr... | 40867 Bytes mehr | 2 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


[Weitere 8 Artikel] [Eine Auswahl von 'Best-Of'-Artikeln]
 

  
Buchbesprechung

Vanderbei, Robert J.
Linear Programming; Foundations and Extensions

Rezensiert von Goswin:
Das Buch vermittelt ein solides und angenehm zu lesendes Grundwissen der Linearen Optimierung, mit Ausblicken auf vieles, was darauf aufbaut. Für ein Selbststudium ist es unübertroffen, und uneingeschränkt zu empfehlen. Wer es freilich als Skript für eine Vorlesung missbrauch ... [mehr...]
: Optimierung :: Lineare Optimierung :: Lehrbuch :: Angewandte Mathematik :
Umfrage
Warum kommt ein Buch in mein Bücherregal/meine Bibliothek?
 
Ich lese keine Bücher
ich habe kein Bücherregal / keine Bibliothek
weil ich es fachlich benötige
weil es Vergnügen bereitet, es zu lesen
weil es eine Erinnerung darstellt
weil sich der Einband gut im Regal machen wird
aus bibliophilen Gründen - Bücher an sich sind wertvoll
ich sammele Erstausgaben
 
 
vorherige Umfragen
 
Stimmen: 153 | Kommentare 5
Login
Benutzername
Passwort
  Neu registrieren
Ältere Artikel
Sonntag, 12. August


Dienstag, 24. Juli


Mittwoch, 13. Juni


Mittwoch, 23. Mai


Donnerstag, 26. April


Dienstag, 24. April


Mittwoch, 11. April


Montag, 02. April


Mittwoch, 07. März


Dienstag, 27. Februar


Mittwoch, 21. Februar


Donnerstag, 08. Februar


Montag, 05. Februar


Sonntag, 04. Februar


Sonntag, 28. Januar


Montag, 22. Januar


Sonntag, 21. Januar


Mittwoch, 10. Januar


Sonntag, 07. Januar


Sonntag, 31. Dezember


Samstag, 30. Dezember


Freitag, 29. Dezember

TPILB Project

This website features
a Blank Page according to
the recommendations
of the TPILB-Project.

Hinweise
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2018 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]