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Matheplanet-Award: MP-Awards für 2019
Freigegeben von matroid am Sa. 28. Dezember 2019 00:00:53
Verfasst von matroid - (234 x gelesen)
Matheplanet-Award  \(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}} \)
Abstimmung zum Matheplanet-Award für 2019





 
  Matheplanet-Mitglieder-Award
für 2019


Awards werden in 11 Kategorien vergeben. Für die Awards sollen Mitglieder nominiert werden, die im Jahr 2019 in der jeweiligen Kategorie positiv hervorgetreten sind.

Grundsätzlich kann jedes Mitglied jedes Mitglied nominieren und wählen.

Bitte gib Deine Stimme ab, denn damit drückst Du Deine Zufriedenheit und Anerkennung aus. Wähle in jeder Kategorie Deinen Favoriten unter den Nominierten, oder trage Deine Nominierung ein.

Jedes Mitglied kann in jeder Kategorie beliebig viele Stimmen abgeben, solange die Stimmen verschiedenen Kandidaten gegeben werden. Um weitere Stimmen abzugeben, rufe das Wahlformular bitte mehrfach auf.

Du kannst abstimmen ab dem 1.1.2020 und bis zum 24.1.2020. Die feierliche Verleihung der Matheplanet-Awards findet am 26.1.2019 hier auf dem Matheplaneten statt.


>>> Zum Wahlformular (Abstimmen ab 1.1.2020)
 
\(\endgroup\)
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Mathematik: Ramsey-Zahlen
Freigegeben von matroid am Mo. 23. Dezember 2019 20:06:37
Verfasst von Triceratops - (234 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)

Ramsey-Zahlen

Silvester steht vor der Tür. Auf so einer Silvesterparty sehen sich manche Gäste zum ersten mal und kannten sich vorher nur über Ecken. Es gibt also unterschiedlich große Gruppen von einander Bekannten und Gruppen von einander Fremden. Wie groß können diese Gruppen sein? Oder genauer gesagt, wie groß muss die Anzahl der Gäste überhaupt sein, damit es auf jeden Fall eine Gruppe von $n$ Bekannten oder eine Gruppe von $m$ Fremden gibt? (Beides gleichzeitig können wir natürlich nicht erwarten.) Oder gibt es überhaupt so eine Anzahl? Das Theorem von Ramsey sagt, dass es tatsächlich eine solche Anzahl gibt. Die Mindestanzahl von benötigten Gästen wird als Ramsey-Zahl $R(n,m)$ definiert. Bis heute sind nur relativ wenige konkrete Werte von $R(n,m)$ bekannt. Es gilt zum Beispiel $R(4,4)=18$, was bedeutet, dass es auf einer Party mit $18$ Gästen (aber nicht unbedingt auf einer Party mit $17$ Gästen) auf jeden Fall $4$ Bekannte oder $4$ Fremde gibt. Dieser Artikel gibt eine kurze Einführung in Ramsey-Zahlen.

\(\endgroup\)
mehr... | 18138 Bytes mehr | Kommentare? | Druckbare Version  | Mathematik


buhs Montagsreport: DALLER*: Was war wahr?
Freigegeben von matroid am Mo. 16. Dezember 2019 00:00:26
Verfasst von buh - (173 x gelesen)
Matroids Matheplanet  \(\begingroup\)
DLR-Logo für buhs Montagsreport

DALLER*: Was war wahr?

Retrospektiv: Soo war es. Oder anders.

Zinbiel: Le Sen hat im Hornung in der Zeitschleife das Wort4.0 gefunden, das uns die Zukunft verhieß.
Nun, am Ende des Beobachtungszeitraumes, das uns inzwischen auf InstatwittfaceTV die Rückschauen inflationiert, am Ende des Jahres, wenn Panflöten in der ShoppingMall nach Spenden flöten und sich die Tränendrüse voller Mitgefühl selbst kasteit, wenn auf dem Weihnachtsmarkt die Inder-Bowle vor sich hinköchelt, ist selbst der abgebrühteste Wuttbipoit von buhs Montagsreport nicht mehr Herr seiner Sinne und beginnt zu resümieren; und auch ohne den Eingang der gern gesehenen Spenden** ist es nun Zeit für den Blick zurück:
\(\endgroup\)
mehr... | 7901 Bytes mehr | 2 Kommentare | Druckbare Version  | buhs Montagsreport


Stern Mathematik: Potenzsummen
Freigegeben von matroid am Fr. 30. Mai 2008 20:46:03
Verfasst von trunx - (3933 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)\(\usepackage{setspace}\)
fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
Einige davon sind bereits auf dem Matheplaneten vorgestellt worden, z.B. im Artikel Endliche Summen oder hier im Forum. Den in diesem Artikel vorgestellten Rechenweg hat Manuel (subdubito) auf dem MPCT VIII skizziert, hier soll er etwas ausführlicher erläutert und zu Ende gebracht werden. \(\endgroup\)
mehr... | 8955 Bytes mehr | 5 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


Mathematik: Anzahl der Abbildungen $f$ mit $f^p = f^q$
Freigegeben von matroid am Fr. 13. Dezember 2019 21:45:02
Verfasst von Triceratops - (290 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)

Anzahl der Abbildungen $f$ mit $f^p=f^q$

Für feste natürliche Zahlen $n,p,q$ bestimmen wir die Anzahl der Abbildungen $f : \{1,\dotsc,n\} \to \{1,\dotsc,n\}$ mit $f^p = f^q$, wobei $f^p$ die $p$-fache Verkettung von $f$ sei. Wir leiten insbesondere für festes $p \geq 2$ und $q=1$ die erzeugende Funktion $\exp(\sum_{d ~\mid~ p-1} \frac{1}{d} (z \cdot \exp(z))^d)$ für die Anzahlen her. Am Ende zeigen wir eine alternative Herleitung auf, die mit kombinatorischen Spezies arbeitet. Das folgende Bild zeigt zum Beispiel eine Abbildung $f$ mit $f^6=f^2$.

<math>
\newcommand{\rdot}{\textcolor{red}{$\bullet$}}
\newcommand{\bdot}{\textcolor{blue}{$\bullet$}}
\begin{tikzpicture}[inner sep=0pt,>=latex]
\node (W1) at (0,1) {\bdot};
\node (W2) at (1,1.8) {\bdot};
\node (W3) at (2,1) {\bdot};
\node (W4) at (1,0.2) {\bdot};
\node (A1) at (-1.1,1) {\rdot};
\node (A2) at (-2,2) {\rdot};
\node (A3) at (-2,0) {\rdot};
\node (B1) at (3.2,2) {\rdot};
\node (B2) at (3.2,0) {\rdot};
\draw [blue,->] (W1) to (W2);
\draw [blue,->] (W2) to (W3);
\draw [blue,->] (W3) to (W4);
\draw [blue,->] (W4) to (W1);
\draw [red,->] (A1) to (W1);
\draw [red,->,bend right=10] (A2) to (A1);
\draw [red,->,bend left=10] (A3) to (A1);
\draw [red,->,bend left=10] (B1) to (W3);
\draw [red,->,bend right=10] (B2) to (W3);
\end{tikzpicture}</math>
\(\endgroup\)
mehr... | 37131 Bytes mehr | 1 Kommentar | Druckbare Version  | Mathematik


Mathematik: Ein schwieriges Problem auf der IMO
Freigegeben von matroid am So. 08. Dezember 2019 08:36:17
Verfasst von trunx - (1501 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)\(\usepackage{setspace}\)
Auf der Wikipediaseite "Internationale Mathematik-Olympiade" werden die zwei schwersten Probleme genannt, die je auf einer IMO gestellt worden sind. Beide Aufgaben konnten nur von 11 Schülern gelöst werden, einmal (1986) bei insgesamt 210, das zweite Mal (1988) bei insgesamt 268 Teilnehmern.

Während für die erste dieser Aufgaben auch eine Lösung verlinkt wurde, habe ich für die zweite Aufgabe keine Lösung im Internet gefunden (aber auch nicht wirklich intensiv danach gesucht). Da es zudem hieß, dass weder die Mitglieder des Aufgabenausschusses noch von ihnen beauftragte Mathematiker des entsprechenden Fachgebietes (Zahlentheorie) die Aufgabe in 6h lösen konnten, war bei mir das Interesse geweckt.

Die Aufgabe lautete (siehe hier):

Let \(a\) and \(b\) positive integers such that \(ab+1\) divides \(a^2 +b^2\). Show that
\[\frac{a^2 +b^2}{ab+1}\] is the square of an integer.

(dt. lt. wikipedia: Sind \(a\) und \(b\) natürliche Zahlen, sodass \[c=\frac{a^2 +b^2}{ab+1}\] ebenfalls eine natürliche Zahl ist, ist c sogar eine Quadratzahl.)

Ich habe deutlich mehr als 6h für die Lösung gebraucht, aber es hat Spass gemacht. Daher, wer es selbst probieren will, macht jetzt besser den PC aus und rechnet!

Nachtrag: Die nachgelieferte Zuendeführung des angekündigten Beweises findet sich im nächsten Abschnitt in blauer Schrift. \(\endgroup\)
mehr... | 9236 Bytes mehr | 42 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


Mathematik: Galois-Verbindungen
Freigegeben von matroid am Do. 21. November 2019 22:39:52
Verfasst von Triceratops - (410 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)

Galois-Verbindungen

Ausgehend von einer einfachen Beobachtung zwischen der Bildmenge und der Urbildmenge gelangen wir zum Begriff einer Galois-Verbindung. Dieser wird in diesem Artikel untersucht. Wir beweisen einfache Eigenschaften von Galois-Verbindungen und geben ein paar einfache Anwendungen an. Insbesondere finden wir damit einen konzeptionellen Beweis für eine ganze Reihe von Charakterisierungen von injektiven bzw. surjektiven Abbildungen. Im letzten Abschnitt zeigen wir dann die Nützlichkeit von Galois-Korrespondenzen auf, wofür der Hauptsatz der Galoistheorie das prominenteste Beispiel ist. Abgesehen von den Beispielen sind für das Verständnis dieses Artikels lediglich Grundbegriffe der Mengenlehre und der Ordnungstheorie nötig.
\(\endgroup\)
mehr... | 33610 Bytes mehr | 4 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


Mathematik: 4-reguläre planare Einheits-Dreieck-Graphen
Freigegeben von matroid am Mo. 18. November 2019 21:17:18
Verfasst von Slash - (257 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)

Wie man 4-reguläre planare Graphen nur aus kongruenten gleichseitigen Dreiecken konstruiert

Lassen sich kongruente gleichseitige Dreiecke in der Ebene ohne Überschneidungen derart aneinanderlegen, dass sich immer genau zwei Ecken berühren ohne dabei größere Dreiecke zu bilden? Und wenn ja, wie viele Dreiecke benötigt man mindestens dafür?

Eine Aufgabe, die mit entsprechendem Material, etwa kleine Dreiecke aus Pappe, sogar Kinder verstehen und angehen können, deren Lösung aber ganz schön raffiniert ist.
\(\endgroup\)
mehr... | 15022 Bytes mehr | 2 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


Offene Fragen: Urknall
Freigegeben von matroid am So. 10. November 2019 15:35:22
Verfasst von trunx - (395 x gelesen)
Physik  \(\begingroup\)\(\usepackage{setspace}\)

Der Urknall

Mythischer Anfang


Die Idee des Gewordenseins des Universums ist uralt, in praktisch allen Kulturen gibt es Mythen über einen Anfang der Welt. So beginnt zB. eine rituelle Formel im indogermanischen Schöpfungsmythos:

"Das erfuhr ich unter den Menschen als der Wunder größtes,
dass Erde nicht war, noch Himmel oben,
weder Baum noch Berg noch irgendwas.
Nicht schien die Sonne, nicht leuchtete der Mond,
nicht breitete sich aus das herrliche Meer.
(in der indischen Rigveda folgt:
Weder Sein war damals noch Nichtsein.)
Nichts war - nur geheimnisvoller, tiefer Abgrund."

Dieses Nichts, diese dunkle Leere war kein Vakuum, sondern ein fern jeder Vorstellung mit mächtigen magischen Kräften erfüllter Ort. In der Regel entstanden dort die ersten Riesen oder vorzeitlichen Giganten und die Götter und irgendwann kam es zum Kampf zwischen den beiden, den die Götter gewannen. Aus den Überresten der Giganten erschufen die Götter dann die Welt, so wie wir sie kennen (zB. besteht das Meer oft aus dem Blut eines Riesen) und später auch die Menschen. Die Griechen nannten dieses Nichts das Chaos, im Judentum ist es als Tohuwabohu bekannt.

In der Bibel (AT) beginnt die Sache einfacher: "Am Anfang schuf Gott Himmel und Erde." Gott ist also bereits da und woraus er Himmel und Erde machte, wird nicht erwähnt. Im NT dagegen heisst es "Im Anfang war das Wort." Dieses Wort kann man sich vielleicht besser als Gedanke oder Gedankenblitz denken, sd. der Anfang des Universums in einer besonderen Art Strahlung, dem primären Licht Gottes bestand. Das sekundäre Licht wurde später geschaffen.

Unter den christlichen Gnostikern gab es allerdings eine bezeichnende Idee, aus was Gott die Welt gemacht hat, nämlich aus dem gefallenen Erzengel Lucifer/Satan und seinen Heerscharen. In allem und jedem weltlichen Ding, einschliesslich der Menschen ist lediglich sekundäres Licht, doch durch gute Taten ist Erlösung möglich. Einzig Christus war und brachte das primäre Licht in die Welt.

Nun gut. Machen wir weiter mit Physik. \(\endgroup\)
mehr... | 29917 Bytes mehr | 8 Kommentare | Druckbare Version  | Offene Fragen


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