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 Mathematik: Berechnung der Zahl π mit einfachen Mitteln
| Released by matroid on Fr. 12. Juli 2019 11:54:30
Written by trunx - (1008 x read) | 
\(\begingroup\)\(\usepackage{setspace}\)
Die Zahl \(\pi\) ist genau genommen eine Naturkonstante. Es ist sehr beeindruckend, dass man diese Naturkonstante berechnen kann, dass also das Denken etwas mit der Realität zu tun hat und nicht gänzlich auf sich selbst gerichtet ist. Die moderne Physik stellt weitere Naturkonstanten zur Verfügung, wie z.B. die Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante \(\alpha\), hier bemühen sich Mathematiker bzw. theoretische Physiker ebenfalls eine schlüssige Berechnung ohne Zuhilfenahme von Messergebnissen zu finden.
Für die Zahl \(\pi\) gibt es mittlerweile eine Vielzahl von mehr oder weniger schweren Berechnungsmethoden. Hier soll eine besonders leichte vorgestellt werden.
Ausgangspunkt der Berechnung ist die Idee, den Flächeninhalt des Einheitskreises (bzw. eines Viertels davon) mittels Riemannscher Summe und nachfolgender Grenzwertbildung zu ermitteln. Diesen Ansatz habe ich mit einem interessierten Schüler der Klasse 9 diskutiert, ihn auch ermutigt, die Rechnung zu Ende zu führen, wozu es leider nicht gekommen ist. Dennoch ist der Artikel so geschrieben, dass er für interessierte Schüler verständlich ist.
Wer möchte, bricht an dieser Stelle mit der Lektüre ab und probiert es gern selbst. Das Ergebnis ist zunächst eine sublinear, also langsam konvergierende Reihe, die man aber umformen kann in eine linear konvergente Reihe (mittels Konvergenzbeschleunigung, die ebenfalls vorgestellt wird).
\(\endgroup\)
| mehr... | 16871 Bytes mehr | 20 Kommentare |  | Mathematik |
| Mathematik: Ein schöner Grenzwert
| Released by matroid on Do. 08. Februar 2018 16:04:56
Written by Wauzi - (1079 x read) |
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Grenzwertbetrachtungen mit der Zahl e
  
\boxon\big\Die Folge (1+1/n)^n mit ihrem Grenzwert e ist vielen noch von der Schule bekannt. Und es war bereits Euler, der die naheliegende Verallgemeinerung bewies: lim(n-> \inf,(1+1/q(n))^q\(n\))=e wobei mit n auch die Folge q(n) gegen unendlich geht. Für feste natürliche Zahlen m folgt hieraus lim(n->\inf,(1+m/n)^n)=e^m wie man mit q(n)=n/m sofort sieht. Was passiert aber, wenn m nicht mehr konstant ist, sondern mit wachsendem n selbst gegen unendlich strebt? Geht nicht, weil dann auch exp(m(n)) unendlich groß wird?? \boxoff\Geht doch....
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| Physik: Über das Biegen von Papier und Textilien
| Released by matroid on Mo. 05. Februar 2018 17:00:07
Written by MontyPythagoras - (1130 x read) | 
\(\begingroup\)
Über das Biegen von Papier und Textilien
 Sorry, ein besserer Titel ist mir nicht eingefallen für mein neues Machwerk aus der Reihe "Physikalisches Wissen, das keiner braucht". Es geht eigentlich um die Biegung von allen möglichen Dingen, die sich elastisch biegen lassen, ohne zu brechen oder eine dauerhafte Verformung anzunehmen. Das können natürlich genauso gut auch Dinge aus Gummi oder Stahldraht oder der klassische Biegebalken sein. Allerdings nimmt es letzterer meistens übel, wenn er sehr stark gebogen wird, weshalb man im Maschinenbau und in der Statik meistens versucht, diesen Zustand zu vermeiden und sich nur mit sehr kleinen Auslenkungen befasst. Das wiederum hat außerdem den Vorteil, dass die Differentialgleichung der Biegung linearisiert und dadurch schön einfach wird.
Aber "einfach" ist langweilig. Wenn man die Differentialgleichung "richtig" löst, kann man auch berechnen, wie sich zum Beispiel ein Blatt Papier biegt, wenn man die beiden Enden zusammenbringt, oder welcher Kurve ein zusammengeschobener Vorhang folgt. Daher auch der Titel...
\(\endgroup\)
| | mehr... | 13616 Bytes mehr | 15 Kommentare | | Physik |
| Mathematik: Kombinatorik im Spätsommer: Hamiltonsche Gitterwege
| Released by matroid on Do. 24. August 2017 08:26:14
Written by Triceratops - (875 x read) |
\(\begingroup\)
Kombinatorik im Spätsommer: Hamiltonsche Gitterwege
In diesem Artikel zählen wir die Wege, die durch ein endliches Gitter von unten links nach oben rechts laufen und sich nicht selbst schneiden. Dabei betrachten wir auch die Option, dass jeder Gitterpunkt genau einmal besucht wird. Solche Gitterwege werden selbstmeidend bzw. Hamiltonsch genannt.
![<math>\begin{tikzpicture}[line width=0.2ex,scale=0.6]
\draw [lightgray] (0,0) grid (7,6);
\draw [rounded corners=0.3ex,black!50!blue] (0,0) to (3,0) to (3,3) to (1,3) to (1,2) to (2,2) to (2,1) to (0,1) to (0,4) to (2,4) to (2,5) to (0,5) to (0,6) to (5,6) to (5,5) to (3,5) to (3,4) to (4,4) to (4,2) to (6,2) to (6,1) to (4,1) to (4,0) to (7,0) to (7,3) to (5,3) to (5,4) to (7,4) to (7,5) to (6,5) to (6,6) to (7,6);
\end{tikzpicture}
\hspace{10ex}
\begin{tikzpicture}[line width=0.2ex,scale=0.6]
\draw [lightgray] (0,0) grid (7,6);
\draw [rounded corners=0.3ex,black!50!blue] (0,0) to (0,4) to (4,4) to (4,3) to (3,3) to (3,2) to (2,2) to (2,3) to (1,3) to (1,0) to (2,0) to (2,1) to (3,1) to (3,0) to (4,0) to (4,2) to (5,2) to (5,5) to (0,5) to (0,6) to (6,6) to (6,1) to (5,1) to (5,0) to (7,0) to (7,6);
\end{tikzpicture}</math>](/matheplanet/nuke/html/latexrender/pictures/0099996b904f751218228b37338465b8.png "\begin{tikzpicture}[line width=0.2ex,scale=0.6]
\draw [lightgray] (0,0) grid (7,6);
\draw [rounded corners=0.3ex,black!50!blue] (0,0) to (3,0) to (3,3) to (1,3) to (1,2) to (2,2) to (2,1) to (0,1) to (0,4) to (2,4) to (2,5) to (0,5) to (0,6) to (5,6) to (5,5) to (3,5) to (3,4) to (4,4) to (4,2) to (6,2) to (6,1) to (4,1) to (4,0) to (7,0) to (7,3) to (5,3) to (5,4) to (7,4) to (7,5) to (6,5) to (6,6) to (7,6);
\end{tikzpicture}
\hspace{10ex}
\begin{tikzpicture}[line width=0.2ex,scale=0.6]
\draw [lightgray] (0,0) grid (7,6);
\draw [rounded corners=0.3ex,black!50!blue] (0,0) to (0,4) to (4,4) to (4,3) to (3,3) to (3,2) to (2,2) to (2,3) to (1,3) to (1,0) to (2,0) to (2,1) to (3,1) to (3,0) to (4,0) to (4,2) to (5,2) to (5,5) to (0,5) to (0,6) to (6,6) to (6,1) to (5,1) to (5,0) to (7,0) to (7,6);
\end{tikzpicture}")
Wir benutzen die Transfer-Matrix-Methode, um die erzeugenden Funktionen der gesuchten Anzahlen effizient zu bestimmen. Ein Programm nimmt uns die Rechnungen ab. | | mehr... | 67162 Bytes mehr | 2 Kommentare | | Mathematik |
| Mathematik: Kombinatorik in der Sommerpause: Pflasterungen mit Rechtecken
| Released by matroid on So. 30. Juli 2017 21:09:52
Written by Triceratops - (1023 x read) |
\(\begingroup\)
Kombinatorik in der Sommerpause: Pflasterungen mit Rechtecken Auf wieviele verschiedene Weisen lässt sich ein \(3 {\times} 4\)-Gitter mit Rechtecken pflastern? Hier ein paar Beispiele dafür:
![<math>\begin{tikzpicture}[line width=0.18ex,scale=0.5]
\draw [thin,lightgray,step=1] (0,0) grid (4,3);
\draw (0,0) to (4,0) to (4,3) to (0,3) -- cycle;
\draw (0,1) to (2,1) to (2,0);
\draw (2,1) to (2,2) to (4,2);
\draw (2,2) to (1,2);
\draw (1,1) to (1,3);
\end{tikzpicture}
\hspace{7mm}
\begin{tikzpicture}[line width=0.18ex,scale=0.5]
\draw [thin,lightgray,step=1] (0,0) grid (4,3);
\draw (0,0) to (4,0) to (4,3) to (0,3) -- cycle;
\draw (0,1) to (4,1);
\draw (3,0) to (3,1);
\draw (2,1) to (2,2) to (4,2);
\draw (2,3) to (2,2);
\draw (1,1) to (1,3);
\end{tikzpicture}
\hspace{7mm}
\begin{tikzpicture}[line width=0.18ex,scale=0.5]
\draw [thin,lightgray,step=1] (0,0) grid (4,3);
\draw (0,0) to (4,0) to (4,3) to (0,3) -- cycle;
\draw (2,0) to (2,2) to (0,2);
\draw (2,2) to (2,3);
\draw (2,1) to (3,1);
\draw (3,2) to (4,2);
\draw (3,0) to (3,3);
\end{tikzpicture}
\hspace{7mm}
\begin{tikzpicture}[line width=0.18ex,scale=0.5]
\draw [thin,lightgray,step=1] (0,0) grid (4,3);
\draw (0,0) to (4,0) to (4,3) to (0,3) -- cycle;
\draw (1,0) to (1,1) to (0,1);
\draw (0,2) to (3,2) to (3,1) to (1,1);
\draw (2,2) to (2,3);
\draw (3,2) to (3,3);
\draw (3,1) to (4,1);
\end{tikzpicture}</math>](/matheplanet/nuke/html/latexrender/pictures/107ca0d95fc046a4c2d048b1a93762f3.png "\begin{tikzpicture}[line width=0.18ex,scale=0.5]
\draw [thin,lightgray,step=1] (0,0) grid (4,3);
\draw (0,0) to (4,0) to (4,3) to (0,3) -- cycle;
\draw (0,1) to (2,1) to (2,0);
\draw (2,1) to (2,2) to (4,2);
\draw (2,2) to (1,2);
\draw (1,1) to (1,3);
\end{tikzpicture}
\hspace{7mm}
\begin{tikzpicture}[line width=0.18ex,scale=0.5]
\draw [thin,lightgray,step=1] (0,0) grid (4,3);
\draw (0,0) to (4,0) to (4,3) to (0,3) -- cycle;
\draw (0,1) to (4,1);
\draw (3,0) to (3,1);
\draw (2,1) to (2,2) to (4,2);
\draw (2,3) to (2,2);
\draw (1,1) to (1,3);
\end{tikzpicture}
\hspace{7mm}
\begin{tikzpicture}[line width=0.18ex,scale=0.5]
\draw [thin,lightgray,step=1] (0,0) grid (4,3);
\draw (0,0) to (4,0) to (4,3) to (0,3) -- cycle;
\draw (2,0) to (2,2) to (0,2);
\draw (2,2) to (2,3);
\draw (2,1) to (3,1);
\draw (3,2) to (4,2);
\draw (3,0) to (3,3);
\end{tikzpicture}
\hspace{7mm}
\begin{tikzpicture}[line width=0.18ex,scale=0.5]
\draw [thin,lightgray,step=1] (0,0) grid (4,3);
\draw (0,0) to (4,0) to (4,3) to (0,3) -- cycle;
\draw (1,0) to (1,1) to (0,1);
\draw (0,2) to (3,2) to (3,1) to (1,1);
\draw (2,2) to (2,3);
\draw (3,2) to (3,3);
\draw (3,1) to (4,1);
\end{tikzpicture}")
Tatsächlich gibt es \(3164\) solcher Pflasterungen. Um solche Anzahlen rekursiv zu bestimmen, betrachten wir allgemeiner die Zahl der Pflasterungen eines \(n {\times m}\)-Gitters durch Rechtecke. In diesem Artikel schauen wir uns besonders die Fälle \(n=1,2,3\) an. Dabei lernen wir verschiedene Methoden kennen, insbesondere die Transfer-Matrix-Methode, die sogar für jedes feste \(n\) funktioniert. Wir bekommen sowohl erzeugende Funktionen als auch Rekursionsgleichungen für die gesuchten Anzahlen. | | mehr... | 33674 Bytes mehr | 19 Kommentare | | Mathematik |
| Mathematik: Überschallmusik
| Released by matroid on So. 24. April 2016 12:23:23
Written by MontyPythagoras - (970 x read) |
\(\begingroup\)
Überschallmusik
 In meiner soeben ins Leben gerufenen Artikelreihe "Physikalisches Wissen, das keiner braucht" möchte ich hier die hörbaren Ergebnisse eines Gedankenexperiments präsentieren, und zwar, wie es sich anhört, wenn sich eine Musik spielende Schallquelle mit Überschallgeschwindigkeit am Hörer vorbeibewegt.
Es ist allgemein bekannt, dass sich bei einer sich bewegenden Schallquelle die Tonhöhe für den ruhenden Beobachter verändert, wenn sich die Schallquelle auf den Beobachter zu oder von ihm weg bewegt. Verantwortlich dafür ist der sogenannte Doppler-Effekt. Innerhalb des Schallkegels gibt es aber noch einen weiteren, interessanten Effekt, nämlich die Umkehr des Schalls. Der Schall, der quasi von der Schallquelle abgehängt wurde, trifft nämlich "rückwärts" beim Beobachter ein, wenn die Schallquelle schon am Beobachter vorbeigeflogen ist.
Diesen Effekt habe ich in diesem Artikel berechnet und natürlich auch in Form von MP3-Sound-Files hörbar gemacht.
\(\endgroup\)
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