Stern Mathematik: Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace
Released by matroid on Do. 17. September 2020 19:18:39
Written by Triceratops - (614 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace

Der Entwicklungssatz von Laplace aus der linearen Algebra wird üblicherweise als eine Aussage über Matrizen formuliert und durch eine direkte Rechnung bewiesen. In diesem Artikel formulieren und beweisen wir eine koordinatenfreie Version dieses Satzes, die zwar nicht neu, aber relativ unbekannt ist. Sie handelt entsprechend von linearen Abbildungen. Das wesentliche technische Hilfsmittel sind äußere Potenzen.
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Stern Mathematik: Warum Mathematik
Released by matroid on Mo. 07. Oktober 2013 11:28:41
Written by Kiddycat - (2146 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)
BildImmer wieder erzähle ich Leuten, dass ich Mathematik studiere. Sei es irgendwelchen Leuten im Zug, den Ärzten, Leuten, die man neu kennen lernt. Ich bekomme ganz unterschiedliche Reaktionen.
Manche sagen. "Mathe konnt ich noch nie." oder "Oh, das hätte mich auch interessiert."

Aber eines haben die Leute, die fragen, doch gemeinsam. Sie fragen:
"Und? War es die richtige Wahl? Macht es noch Spaß?"

Lange Zeit habe ich mir die gleiche Frage gestellt.

Immer wieder habe ich mich gefragt, warum ich mir das überhaupt alles antue. Ich hätte irgendein leichtes Fach studieren können. In der Schule war ich zum Beispiel auch gut in Deutsch und in Biologie, zum Teil sogar besser als in Mathe. Aber beides hat mich nie so begeistert.

Viele sagen, ihnen gefalle das abstrakte Denken, die Klarheit, der strukturierte Aufbau. Mir gefällt an der Mathematik etwas ganz anderes. Ich nenne es "Formbarkeit". \(\endgroup\)
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Stern Mathematik: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
Released by matroid on Fr. 14. August 2020 15:34:03
Written by Triceratops - (1430 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle

Ist $0$ eine natürliche Zahl? Wieso ist $1$ keine Primzahl? Was ist $0^0$? Was ist eine Basis des trivialen Vektorraumes? Wieso ist der triviale Ring ein Ring mit Eins, aber kein Körper? Ist der leere Raum zusammenhängend? Sollten wir den leeren Graphen zulassen? Welche Dimension hat die leere Mannigfaltigkeit? Was ist der Grad des Nullpolynoms? Was ist die freie Gruppe auf der leeren Menge? Wieviele Orientierungen hat ein Punkt?

Solche und ähnliche Fragen über triviale Fälle werden in diesem Artikel beantwortet. Dabei streifen wir verschiedene Gebiete der Mathematik. Das wiederkehrende Motiv lautet hierbei, dass es sich um keine Konventionen handelt, sondern die Definitionen (wenn man sie denn richtig formuliert) die trivialen Fälle bereits mit abdecken. Sie brauchen also tatsächlich gar keine Sonderbehandlung, auch wenn das in manchen Quellen suggeriert wird, ja sogar zu uneinheitlichen Konventionen geführt hat.

Ein anderes wiederkehrendes Motiv ist, dass es tatsächlich sinnvoll ist, triviale Fälle mit einzuschließen (wenn sie nicht gerade zu einfach sind, um einfach zu sein), auch wenn sie zunächst nicht wirklich interessant erscheinen und manchmal der (falsche) Eindruck entsteht, dass sie nicht in die allgemeine Theorie passen. Tatsächlich würde der Ausschluss von trivialen Fällen die Mathematik unnötig kompliziert machen. Man stelle sich einen Würfel vor, der die Mathematik repräsentiert: wir würden doch nicht seine Ecken abschneiden, nur weil ihre Koordinaten langweilig sind. Zudem würde sich ein eckenloser Würfel nicht mehr aus kleineren eckenlosen Würfeln zusammensetzen.

Dieser Artikel ist sehr stark motiviert durch und angelehnt an die Diskussion MO/45951 auf mathoverflow. Außerdem habe ich noch einige Beispiele ergänzt, die mir über den Weg gelaufen sind. Wenn ihr weitere passende Beispiele habt, postet sie gerne in die Kommentare.
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Stern Mathematik: Die Taylorentwicklung mit linearer Algebra verstehen
Released by matroid on Mi. 01. Juli 2020 18:12:01
Written by Vercassivelaunos - (432 x read)
Analysis  \(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\)
Die Grundidee der Ableitung einer Funktion $f$ ist, dass die Ableitung eine lineare Näherung von $f$ darstellen soll. In der Analysis 1 tut sie dies für gewöhnlich in Form der Tangentensteigung. Die Ableitung ist die Steigung einer (affin) linearen Funktion, deren Graph sich an den von $f$ anschmiegt. In der Analysis 2 wird das Konzept der linearen Näherung auf mehrere Dimensionen ausgeweitet und gleichzeitig verstärkt: Die totale Ableitung $\D f$ einer Funktion ist jetzt im wahrsten Sinne des Wortes eine lineare Abbildung, die in einem gewissen Sinne $f$ gut nähert. Ihre Darstellungsmatrix ist die bekannte Jacobimatrix. Wir werden im Folgenden sehen, dass die Taylorentwicklung eine Verallgemeinerung dieses Konzepts der linearen Näherung darstellt. Wir werden dabei feststellen, dass auch höhere Ableitungen in mehrdimensionalen Räumen in der Sprache der linearen Algebra beschrieben werden können, wenn man höhere Ableitungen von Funktionen mehrerer Variablen als Multilinearformen interpretiert. Wir wollen ein tieferes Verständnis für die Taylorentwicklung auch in mehreren Dimensionen entwickeln und werden bemerken, dass die mehrdimensionale und die eindimensionale Taylorentwicklung gar nicht so verschieden sind. Wir werden dabei in der theoretischen Beschreibung vollständig auf Multiindizes, Multinomialkoeffizienten und partielle Ableitungen verzichten. Nebenbei können wir die Definition höherer Ableitungen auch noch erweitern.
Am Schluss werden einige beispielhafte Taylorentwicklungen in 2d berechnet und graphisch dargestellt. \(\endgroup\)
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Stern Physik: Domino Day
Released by matroid on So. 31. Mai 2020 21:15:15
Written by MontyPythagoras - (604 x read)
Physik  \(\begingroup\)

Domino Day


Domino AnimationIn meiner nicht enden wollenden Artikelreihe "Physikalisches Wissen, das keiner braucht" möchte ich mich dieses Mal mit dem erstaunlich komplexen physikalischen Phänomen des Dominoeffektes befassen, und zwar soll berechnet werden, mit welcher Geschwindigkeit sich das Umfallen der Dominosteine fortpflanzt. Vor langer Zeit gab es hier auf dem Matheplaneten schon einmal einen Thread zu dem Thema, der aber über ein paar anfängliche Überlegungen nicht hinaus kam. Also bestmögliche Voraussetzungen, um beim nächsten Mal, wenn jemand vom Dominoeffekt anfängt, mit Klugscheißerwissen zu glänzen! \(\endgroup\)
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Stern Mathematik: Ramsey-Zahlen
Released by matroid on Mo. 23. Dezember 2019 20:06:37
Written by Triceratops - (469 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Ramsey-Zahlen

Silvester steht vor der Tür. Auf so einer Silvesterparty sehen sich manche Gäste zum ersten mal und kannten sich vorher nur über Ecken. Es gibt also unterschiedlich große Gruppen von einander Bekannten und Gruppen von einander Fremden. Wie groß können diese Gruppen sein? Oder genauer gesagt, wie groß muss die Anzahl der Gäste überhaupt sein, damit es auf jeden Fall eine Gruppe von $n$ Bekannten oder eine Gruppe von $m$ Fremden gibt? (Beides gleichzeitig können wir natürlich nicht erwarten.) Oder gibt es überhaupt so eine Anzahl? Das Theorem von Ramsey sagt, dass es tatsächlich eine solche Anzahl gibt. Die Mindestanzahl von benötigten Gästen wird als Ramsey-Zahl $R(n,m)$ definiert. Bis heute sind nur relativ wenige konkrete Werte von $R(n,m)$ bekannt. Es gilt zum Beispiel $R(4,4)=18$, was bedeutet, dass es auf einer Party mit $18$ Gästen (aber nicht unbedingt auf einer Party mit $17$ Gästen) auf jeden Fall $4$ Bekannte oder $4$ Fremde gibt. Dieser Artikel gibt eine kurze Einführung in Ramsey-Zahlen.

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Stern Mathematik: Berechnung der Zahl π mit einfachen Mitteln
Released by matroid on Fr. 12. Juli 2019 11:54:30
Written by trunx - (1066 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)\(\usepackage{setspace}\)
Die Zahl \(\pi\) ist genau genommen eine Naturkonstante. Es ist sehr beeindruckend, dass man diese Naturkonstante berechnen kann, dass also das Denken etwas mit der Realität zu tun hat und nicht gänzlich auf sich selbst gerichtet ist. Die moderne Physik stellt weitere Naturkonstanten zur Verfügung, wie z.B. die Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante \(\alpha\), hier bemühen sich Mathematiker bzw. theoretische Physiker ebenfalls eine schlüssige Berechnung ohne Zuhilfenahme von Messergebnissen zu finden.

Für die Zahl \(\pi\) gibt es mittlerweile eine Vielzahl von mehr oder weniger schweren Berechnungsmethoden. Hier soll eine besonders leichte vorgestellt werden.

Ausgangspunkt der Berechnung ist die Idee, den Flächeninhalt des Einheitskreises (bzw. eines Viertels davon) mittels Riemannscher Summe und nachfolgender Grenzwertbildung zu ermitteln. Diesen Ansatz habe ich mit einem interessierten Schüler der Klasse 9 diskutiert, ihn auch ermutigt, die Rechnung zu Ende zu führen, wozu es leider nicht gekommen ist. Dennoch ist der Artikel so geschrieben, dass er für interessierte Schüler verständlich ist.

Wer möchte, bricht an dieser Stelle mit der Lektüre ab und probiert es gern selbst. Das Ergebnis ist zunächst eine sublinear, also langsam konvergierende Reihe, die man aber umformen kann in eine linear konvergente Reihe (mittels Konvergenzbeschleunigung, die ebenfalls vorgestellt wird). \(\endgroup\)
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Stern Physik: MontyPythagoras Wunderbare Welt Der Schwerkraft
Released by matroid on Sa. 19. Januar 2019 23:47:20
Written by MontyPythagoras - (690 x read)
Physik  \(\begingroup\)
And now for something completely differential

S


chwerkraft ist wohl die erste Kraft, mit der jeder Mensch in seinem Leben Erfahrungen macht. Meistens negative, nämlich bei seinen ersten Versuchen, ihr zu trotzen und aufrecht zu gehen, wie es sich für einen Homo sapiens gehört. Trotzdem hat es sehr lange gebraucht, bis die dahinter stehenden, mathematischen Gesetzmäßigkeiten erkannt wurden, und zwar durch den oben etwas gestresst wirkenden Sir Isaac Neutonne in seiner berühmten, 1687 erschienenen Schrift Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Übrigens nicht in der heute gebräuchlichen, expliziten Formel, die entstand erst fast 200 Jahre später. Ein Apfel soll bei der Entdeckung auch eine entscheidende Rolle gespielt haben, aber das ist wohl nur Mythos.
Während wohl jeder wissenschaftsaffine Mensch die berühmte Formel kennt (vielleicht die zweitberühmteste nach $E=mc^2$), möchte ich in diesem Artikel aus meiner Reihe "Physikalisches Wissen, das keiner braucht" einige sich daraus ergebende Schlussfolgerungen zum Besten geben, die offenkundig weniger bekannt sind.
Gleichzeitig ist der Artikel auch zu einer kleinen Hommage an die berühmte und für mich namensstiftende Komikertruppe geworden. \(\endgroup\)
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Stern Mathematik: Ein schöner Grenzwert
Released by matroid on Do. 08. Februar 2018 16:04:56
Written by Wauzi - (1128 x read)
Analysis  \(\begingroup\)

Grenzwertbetrachtungen mit der Zahl e



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