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buhs Montagsreport: Reformation der Reform
Freigegeben von matroid am Mo. 15. Oktober 2018 19:12:51
Verfasst von buh - (171 x gelesen)
Bildung  \(\begingroup\)
Urlogo für buhs Montagsreport
Reformation der Reform

Rechnen durch Raten findet nicht (mehr) statt

 
Berlin. Als ich vor drei Jahren ”Revolution im Matheunterricht” schrieb, fehlten mir letztlich belastbare Untersuchungen, um meine These, der ganze ganzheitliche Erfassungsquark bei 5-6-Jährigen sei kontraproduktiv, wissenschaftlich zu untermauern.
Also durfte Jürgen Reichens* Satz zur Fibel „Jetzt wird über die Kinder die schulische Fremdherrschaft errichtet, und die Kinder müssen sich fortan nicht nur der Familie, sondern auch der Gesellschaft und dem Staat unterwerfen.“** weiterhin das Lesen-durch-Schreiben in D-A-CHs Schulen anrichten. Bis heute. \(\endgroup\)
mehr... | 2981 Bytes mehr | 4 Kommentare | Druckbare Version  | buhs Montagsreport


Mathematik: Der Preis der Freiheit
Freigegeben von matroid am Sa. 06. Oktober 2018 09:22:28
Verfasst von AnnaKath - (444 x gelesen)
Vermischtes  \(\begingroup\)

Der Preis der Freiheit

- Selfish Routing -

Dieser Artikel beschäftigt sich in seinem (überschaubaren) mathematischen Kern mit einem kleinen Satz, der die Ineffizienz eines so genannten "selfish routing algorithm" beschränkt. Es ist aber auch ein Ziel, diese Aussage etwas weiter zu interpretieren und darzulegen, wie man von ganz anderen Fragestellungen motiviert, auf dieses Resultat stoßen kann.

Dies ist eines der Dinge, die ich an der Mathematik so mag; durch die hohe Abstraktion und  präzise Fassung von Begriffen tun sich gelegentlich ungeahnte Anwendungen auf. Auch dies soll der Artikel exemplarisch veranschaulichen. Natürlich mag auch die rein mathematische Aussage interessant sein und wer sich nur dafür interessiert möge die weiteren Ausführungen ignorieren. Um dies zu erleichtern sind die zu überschlagenden Textteile durch einen $\bigstar$ markiert und sogar durch $\bigstar\bigstar$, wenn es sich um eine rein persönliche Bemerkungen handelt.

Zum Titel: Der übliche englische Begriff für das zu Behandelnde lautet "price of anarchy". Auch eine direkte Übersetzung gäbe durchaus wieder, worum es dabei geht, entspricht aber nicht der (persönlichen) Motivation.

Und eine letzte Anmerkung vorweg: Ich schreibe diesen Artikel aus Sicht einer Volkswirtschaftlerin. Diese Disziplin nannte man früher "politische Ökonomie" und so lässt es sich nicht vermeiden, dass man die ein oder andere Aussage eben "politisch" deuten kann.
Dies ist ausdrücklich nicht meine Absicht und wäre eine vorsätzliche Missinterpretation. Leser, die sich in Gefahr sehen, mögen bitte die mit $\bigstar$ markierten Passagen übergehen. \(\endgroup\)
mehr... | 33017 Bytes mehr | 6 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


Werkzeuge: Spielkarten mit LaTeX
Freigegeben von matroid am Mi. 26. September 2018 12:30:14
Verfasst von cis - (324 x gelesen)
Tools  \(\begingroup\)
Spielkarten mit LaTeX

Testbericht zum Paket pst-poker.sty

Bild

Seit 2008 fand man nur ein leicht fehlerhaftes Paket poker.sty des Autors Olaf Encke, der es auf seiner Privathomepage hochgeladen hatte.

Nach langer Zeit einmal wieder über das Thema nachgedacht...

Nun hat das weltbekannte LaTeX-Urgestein Herbert Voß als Überarbeitung von o.g. Paket das brandneue (3. August 2018) Paket pst-poker (CTAN) nachgereicht.
\(\endgroup\)
mehr... | 7100 Bytes mehr | 4 Kommentare | Druckbare Version  | Werkzeuge


Mathematik: Markov Belohnungs-Prozesse
Freigegeben von matroid am Mo. 24. September 2018 09:27:25
Verfasst von LaLe - (343 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)

Von Ameisen zu sicherer künstlicher Intelligenz: Reinforcement Learning

Teil 1: Markov-Belohnungsprozesse

Diese Reihe von drei Artikeln soll einen Überblick über Reinforcement Learning geben, im Deutschen etwa "Bestärkendes Lernen" genannt. Der erste Teil beschäftigt sich mit Markov-Belohnungsprozessen, die man sich als "Reinforcement Learning ohne Lernen" vorstellen kann. Im zweiten Teil stellen wir darauf aufbauend Markov-Entscheidungsprozesse vor. Im dritten Teil werden wir uns schließlich mit der Sicherheit künstlicher Intelligenz (im englischen: AI Safety) befassen und lernen, inwiefern Reinforcement Learning in diesem neuen Forschungsfeld relevant ist.

Das war die Kurzzusammenfassung. Wie passt das alles in einen größeren Rahmen? Künstliche Intelligenz ist in aller Munde und bestimmt immer größere Teile unserer Interaktion mit großen Konzernen. Nicht zu Unrecht machen sich daher viele Menschen Sorgen, ob ihre Daten sicher sind und ihre Persönlichkeitsrechte gewahrt werden. Um diese Probleme soll es aber hier nicht gehen, denn man kann sich überall bestens darüber informieren. Meine Motivation ist es, Einblicke zu geben in das relativ neue Forschungsfeld zur Sicherheit künstlicher Intelligenz, im Englisch auch "AI Safety" genannt. Zusammenfassen lassen sich die Bedenken wie folgt: Wenn Maschinen immer autonomer werden, wenn Reinforcement Learning immer weiter verbreitet ist, und wenn Maschinen in immer komplexeren Umgebungen handeln, dann vergrößert sich damit auch das Potential dieser Maschinen, Schäden anzurichten, selbst wenn die Entwickler beste Intentionen haben. Eine moderne Einführung in konkrete Probleme aus diesem Forschungsfeld, mit einem starken Fokus auf Reinforcement Learning, bietet der Artikel Concrete Problems in AI Safety von Amodei et al.

Dieser Artikel ist im besten Fall nur der erste in einer Reihe von drei. Er gibt eine Einführung in das Thema der Markov-Belohnungsprozesse, und der zweite eine in Reinforcement Learning. Darauf aufbauend können wir im dritten Artikel konkrete Sicherheitsbedenken von Lernverfahren studieren, die auf Reinforcement Learning basieren. Ob es zu diesen weiteren Artikeln kommen wird und ob ich sie auf deutsch, oder nur an anderer Stelle auf Englisch veröffentliche, hängt auch von eurem Interesse an diesem Thema ab. Da das mein erster Artikel ist, ist Feedback aller Art sehr erwünscht! \(\endgroup\)
mehr... | 48781 Bytes mehr | Kommentare? | Druckbare Version  | Mathematik


Mathematik: Konstruktion von Matrixgruppen mit (modularer) Charaktertheorie
Freigegeben von matroid am So. 19. August 2018 21:47:41
Verfasst von Dune - (349 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)
Eine Geschichte, die mich nachhaltig fasziniert hat, ist die Entdeckung der ersten Jankogruppe \( J_1 \). Noch bevor die Existenz dieser sporadischen endlichen einfachen Gruppe definitiv klar war, hatte Janko bereits ihre (modularen) Charaktertafeln in jeder Charakteristik gefunden, und mit diesen Informationen zwei konkrete Matrizen bestimmt, die \( J_1 \) als Untergruppe von \( \mathrm{GL}(7,\mathbb{F}_{11}) \) erzeugen müssen (sofern sie denn überhaupt existiert!). Die tatsächliche Existenz von \( J_1 \) wurde erst später von Ward mit Hilfe eines Computerprogramms bewiesen.

In diesem Artikel möchte ich Jankos Ansatz anhand eines sehr viel einfacheren Beispiels demonstrieren. Wir betrachten hier die symmetrische Gruppe \( S_5 \). Indem wir alle (modularen) Charaktertafeln dieser Gruppe aufstellen, werden wir zeigen, dass sich die \( S_5 \) als Untergruppe in der \( \mathrm{GL}(4,\mathbb{K}) \) bezüglich jedem beliebigen Körper \( \mathbb{K} \) wiederfindet. Darüber hinaus werden wir zeigen, dass die \( S_5 \) genau dann als Untergruppe von \( \mathrm{GL}(3,\mathbb{K}) \) auftritt, wenn \( \mathbb{K} \) ein Körper der Charakteristik 5 ist. Mit Hilfe eines entsprechenden Charakters werden wir auf systematische Weise eine zur \( S_5 \) isomorphe Untergruppe der \( \mathrm{GL}(3,\mathbb{F}_5) \) konstruieren.

Dieser Artikel richtet sich an alle, die ein klein wenig Vorwissen aus der herkömmlichen Darstellungstheorie endlicher Gruppen mitbringen und noch eine Motivation für die Beschäftigung mit der (noch viel spannenderen!) modularen Darstellungstheorie suchen. \(\endgroup\)
mehr... | 40867 Bytes mehr | 2 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


Stern Mathematik: Starker Raucher
Freigegeben von matroid am Mo. 19. November 2001 00:01:25
Verfasst von matroid - (12665 x gelesen)
Vermischtes  \(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}}\newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)
Stefan Banach war ein starker Raucher (Ja, der mit dem Raum!). Ein Kollege von mir ist auch einer, und der hat immer mindestens 3 Feuerzeuge in der Tasche - nur für den Fall.
Aber Banach lebte in einer Zeit ohne Einweg-Feuerzeuge. In seiner Zeit hatte er vergleichbare Vorsichtsmaßnahmen getroffen. Er hatte nämlich immer 2 Schachteln Streichhölzer dabei - eine in der linken Hosentasche, eine in der rechten. Um eine Zigarette anzuzünden, griff er mit gleicher Wahrscheinlichkeit in eine seiner beiden Hosentaschen, entnahm die dortige Streichholzschachtel und entzündete seine Zigarette. Wenn er eine leere Schachtel gezogen hatte, dann ersetzte er sofort beide Schachteln durch neue, voll gefüllte!
Zündholzschachtel von Matroids Matheplanet

Immer wurden beide Schachteln ersetzt, die eine davon leer, aber was war mit der anderen? In den meisten Fällen wird diese noch einige Hölzer enthalten haben.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die weggeworfene zweite Schachtel noch eine bestimmte Anzahl Hölzer enthalten hat? \(\endgroup\)
mehr... | 6246 Bytes mehr | 7 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


Physik: Urknall vs. Big Bang
Freigegeben von matroid am So. 12. August 2018 00:53:54
Verfasst von Hans-Juergen - (422 x gelesen)
Physik  \(\begingroup\)
Im Thread über die gestohlene Fields-Medaille erwähnt Bernhard den "Dichterwettbewerb im Sommerloch" früherer Jahre. Im Folgenden erlaube ich mir  – unpoetisch – diesen Betrag für das besagte "Loch":

Urknall vs. Big Bang

In den zwanziger Jahren des vorigen Jahrhunderts wurde festgestellt, dass astronomische Objekte, die mit den damaligen Fernrohren nur nebelhaft zu erkennen waren, sich immer weiter vom irdischen Beobachter entfernen, was als die "Flucht der Spiralnebel" bezeichnet wurde. Man schloss daraus, dass nicht nur sie, sondern alle Himmelskörper früher enger beisammen waren. Das sollte so weit gegangen sein, dass sie anfangs einen einzigen kleinen, sehr dichten und heißen Körper bildeten, der scherzhaft "kosmisches Ei" genannt wurde. Seine Größe wird bis heute manchmal mit der einer Pampelmuse verglichen. Meistens aber nehmen die Kosmologen einen Punkt mit unendlicher Dichte und Temperatur an, obwohl diese der Physik an sich fremd sind. Irgendwann, so wurde weiter vermutet, explodierte das kosmische Ei, und aus seinen Trümmern entstanden alle Sterne und Galaxien, aus denen das jetzige Universum besteht.

Diese "Explosion" wurde im Englischen "Big Bang" genannt, d. h. einfach nur "Großer Knall", während es damit im Deutschen anders aussieht. Hier hat sich der Ausdruck "Urknall" eingebürgert, wodurch eine bestimmte Denkrichtung entstand: Da die Vorsilbe "Ur" wie bei Urwald, Urmensch, Urvogel u. ä. etwas beschreibt, das als erstes da war und keinen Vorgänger hat, bezeichnet der Begriff "Urknall" nicht nur besagte angenommene Explosion, sondern gleichzeitig auch den Anfang des Universums, was beim Wort "Big Bang" nicht automatisch vorausgesetzt wird.

Man glaubte sogar, und viele glauben immer noch daran, angenähert den Zeitpunkt des vermeintlichen "Urknalls" angeben zu können, und damit auch, wann das Universum entstand. Das soll vor ca. 13,7 Milliarden Jahren gewesen sein. (Nach anderen Angaben könnten es auch 14,5 Mrd. Jahre sein, vgl. hier, Fußnote.)

In einem YouTube-Video, das dieser Thematik gewidmet ist, vermeidet Herr Professor Harald Lesch den Ausdruck "Urknall" und verwendet statt dessen den weniger verfänglichen englischen Begriff; doch behauptet auch er, wie es die Urknall-Theoretiker tun, dass das Universum ungefähr fünfzehn Milliarden Jahre alt ist.

Professor Lesch kann nicht verstehen, dass es Menschen gibt (angeblich "vierzig Prozent der Bundesbürger" nach einer Emnid-Umfrage), die fragen, was vor dem Big Bang war. Er meint, dass mit diesem einfach Alles entstand: nicht nur die Sterne, Galaxien usw., sondern auch die Naturgesetze, der Raum und die Zeit. Deshalb ließe sich die Frage, was davor war, gar nicht erst stellen.

Trotzdem geht er in dem Video auf sie ein und argumentiert temperamentvoll "mit Händen und Füßen", wie er selber sagt. Dabei schwingt Unsicherheit mit. "Verzweifelt" fragt der Professor: "Wie soll ich Ihnen das jetzt erklären?". Minutenlang redet er bildhaft von "Erbsensuppe", später auch, dem andächtig lauschenden Publikum einzelne Brocken aus dem Vokabular der Quantentheorie hinwerfend, von "Badeschaum", wobei er sich die Bemerkung "Vielleicht hat der liebe Gott gebadet" nicht verkneifen kann. Am Ende seines Vortrags kommt er zu der wenig überraschenden Feststellung, dass sich manches, wie zum Beispiel die Liebe, naturwissenschaftlich nicht erklären lässt.

Nicht erwähnt wird in dem Video ein anderes Gedankenmodell, bei dem es durchaus sinnvoll ist zu fragen, was vor einem Big Bang war: das pulsierende oder oszillierende Universum. Dieses dehnt sich abwechselnd aus und zieht sich wieder zu einem Punkt zusammen, wobei es jedesmal "knallt". Träfe diese Vorstellung zu, dann wäre der Big Bang, von dem die meisten annehmen, er sei der einzige gewesen, in Wirklichkeit der vorläufig letzte in einer vielleicht unendlich langen Reihe; das Universum hätte keinen Anfang und kein Ende.

Selber denke ich dazu: wenn in dem Video gesagt wird, dass die Naturgesetze die Folge des Big Bang waren, ist das eine willkürliche Setzung. Das Umgekehrte ist ebenso denkbar: der Big Bang war eine Folge der Naturgesetze. Sie waren vor ihm da; er fand in ihrem Rahmen statt; sie bewirkten ihn. Bei dieser Betrachtungsweise ist das Unverständnis Professor Leschs gegenüber den oben erwähnten "vierzig Prozent" nicht angebracht.

Denkbar ist vieles, Wahres und Falsches. Deshalb bin ich keineswegs der Ansicht, dass es ein oszillierendes Universum wirklich gibt. Weder für dieses noch für das Ein-Urknall-Modell, wie ich das von Herrn Professor Lesch bevorzugte einmal nennen möchte, gibt es den direkten experimentellen Beweis, nur indirekte Indizien und mehr oder weniger zahlreiche Ad-hoc-Annahmen, siehe dazu z. B. hier, S. 660ff.

Hans-Jürgen

\(\endgroup\)
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Physik: Die Bernoulli-Gleichung in rotierenden Systemen
Freigegeben von matroid am Di. 24. Juli 2018 17:13:07
Verfasst von Liverpool - (547 x gelesen)
Physik  \(\begingroup\)


Stellen wir uns doch mal einem simplen Problem aus der Strömungsmechanik:
Gegeben sei ein Rasensprenger mit abgewinkelten Armen.
Durch eine Pumpe wird ein Volumenstrom durch die Leitungen gezwängt, aufgrund der Drallerhaltung beginnt der Rasensprengerkopf zu drehen, sobald der Wasserstrahl in den abgewinkelten Rohrteil eintritt und zwangsweise um die Kurve gelenkt wird.

Nun möchten wir irgendwelche Systemeigenschaften herausfinden, z.B. welche Enddrehgeschwindigkeit vom Sprenger eingenommen wird bei bekanntem Reibmoment.
Der Lösungsweg ist ein simpler: Wir benutzen die Bernoulli-Gleichung unter Zuhilfenahme von Randbedingungen, sowie die Kontinuitätsgleichung.
Mit dem erhaltenen Druck- und Geschwindigkeitsfeld ist nun alles ermittelbar: Alle Kräfte, Momente und somit auch die Endwinkelgeschwindigkeit.

Jedoch liegt der Teufel im Detail, der Rechenweg ist richtig, jedoch ist in diesem Fall die klassisch definierte Bernoulligleichung unbrauchbar.
\(\endgroup\)
mehr... | 12137 Bytes mehr | 13 Kommentare | Druckbare Version  | Physik


buhs Montagsreport: Wo ist Paul?
Freigegeben von matroid am Mi. 13. Juni 2018 20:15:48
Verfasst von buh - (442 x gelesen)
Bildung  \(\begingroup\)
Urlogo für buhs Montagsreport
WO ist PAUL?*

Muss ich alles alleine machen?

 
Vor der ersten Halbzeitpause. Kaum sind vier Jährchen vorbei, ist schon wieder Zeit für Kathrinchen, der ich schon nach 2006 und vor den guten Ratschlägen ein Denkmal gesetzt hatte. Diesmal erklärt sie uns beim ZDF den Zusammenhang von Plattenhart und den Plattenbauten von Moskau, während die Schlaumeier*** zu Hause in Badens Spielbank bleiben und die Ergebnisse unter sich auszocken \(\endgroup\)
mehr... | 2246 Bytes mehr | 7 Kommentare | Druckbare Version  | buhs Montagsreport


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