Mathematik: Die Taylorentwicklung mit linearer Algebra verstehen
Released by matroid on Mi. 01. Juli 2020 18:12:01
Written by Vercassivelaunos - (179 x read)
Analysis  \(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Die Grundidee der Ableitung einer Funktion $f$ ist, dass die Ableitung eine lineare Näherung von $f$ darstellen soll. In der Analysis 1 tut sie dies für gewöhnlich in Form der Tangentensteigung. Die Ableitung ist die Steigung einer (affin) linearen Funktion, deren Graph sich an den von $f$ anschmiegt. In der Analysis 2 wird das Konzept der linearen Näherung auf mehrere Dimensionen ausgeweitet und gleichzeitig verstärkt: Die totale Ableitung $\D f$ einer Funktion ist jetzt im wahrsten Sinne des Wortes eine lineare Abbildung, die in einem gewissen Sinne $f$ gut nähert. Ihre Darstellungsmatrix ist die bekannte Jacobimatrix. Wir werden im Folgenden sehen, dass die Taylorentwicklung eine Verallgemeinerung dieses Konzepts der linearen Näherung darstellt. Wir werden dabei feststellen, dass auch höhere Ableitungen in mehrdimensionalen Räumen in der Sprache der linearen Algebra beschrieben werden können, wenn man höhere Ableitungen von Funktionen mehrerer Variablen als Multilinearformen interpretiert. Wir wollen ein tieferes Verständnis für die Taylorentwicklung auch in mehreren Dimensionen entwickeln und werden bemerken, dass die mehrdimensionale und die eindimensionale Taylorentwicklung gar nicht so verschieden sind. Wir werden dabei in der theoretischen Beschreibung vollständig auf Multiindizes, Multinomialkoeffizienten und partielle Ableitungen verzichten. Nebenbei können wir die Definition höherer Ableitungen auch noch erweitern.
Am Schluss werden einige beispielhafte Taylorentwicklungen in 2d berechnet und graphisch dargestellt. \(\endgroup\)
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Mathematik: Lineare Algebra mit dem Austauschverfahren
Released by matroid on Do. 04. Juni 2020 17:16:25
Written by lewis - (432 x read)
Lineare Algebra  \(\begingroup\)
Das Austauschverfahren ist ein allgemeines — inzwischen leider vernachlässigtes — Werkzeug der Linearen Algebra. Mit entsprechenden Anpassungen kann man damit
  • einen Basiswechsel durchführen,
  • den Rang einer Matrix ablesen,
  • Matrizen invertieren,
  • lineare Gleichungssysteme und Matrizengleichungen lösen,
  • Determinanten berechnen,
  • und Eigenvektoren finden.
\(\endgroup\)
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Stern Mathematik: Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat
Released by matroid on Sa. 06. März 2010 00:35:51
Written by Florian - (17725 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)


Welche natürlichen Zahlen lassen sich als Summe zweier Quadrate ganzer Zahlen schreiben?


Mit dieser Fragestellung beschäftigt sich der vorliegende Artikel. Manche Zahlen wie zum Beispiel 13=2²+3² lassen sich als Summe von zwei Quadraten schreiben, während die Zahl 7 keine solche Darstellung besitzt. Wir werden uns Schritt für Schritt an eine Antwort heranarbeiten und diese beweisen. Das Schwierigste dabei ist es, zu zeigen, dass eine Primzahl der Form 4k+1 eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten besitzt.

Für diesen schwierigen Teil werden wir drei Beweise kennenlernen. Den ersten veröffentlichten Beweis von Euler, den kürzesten Beweis von Zagier und den meiner Meinung nach einfachsten Beweis von Thue. Thues Beweis ist auch recht kurz, verwendet aber im Gegensatz zu Zagiers Beweis noch einen Hilfssatz. Wir werden weiters auch einen kurzen Blick auf die Geschichte dieses Satzes und seiner Beweisideen werfen.

Der Artikel ist für interessierte Schüler und Studienanfänger gedacht. Wir benutzen nur elementare Mathematik der ersten beiden Semester. Unser Hauptaugenmerk liegt darauf, wie ein und dasselbe Resultat mit unterschiedlichsten Methoden bewiesen werden kann. Dazu haben wir uns den Beweis des oben genannten Satzes ausgesucht, welchen Hardy als "eines der schönsten Resultate der Zahlentheorie" bezeichnet hat.

Viel Vergnügen.
\(\endgroup\)
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Physik: Domino Day
Released by matroid on So. 31. Mai 2020 21:15:15
Written by MontyPythagoras - (464 x read)
Physik  \(\begingroup\)

Domino Day


Domino AnimationIn meiner nicht enden wollenden Artikelreihe "Physikalisches Wissen, das keiner braucht" möchte ich mich dieses Mal mit dem erstaunlich komplexen physikalischen Phänomen des Dominoeffektes befassen, und zwar soll berechnet werden, mit welcher Geschwindigkeit sich das Umfallen der Dominosteine fortpflanzt. Vor langer Zeit gab es hier auf dem Matheplaneten schon einmal einen Thread zu dem Thema, der aber über ein paar anfängliche Überlegungen nicht hinaus kam. Also bestmögliche Voraussetzungen, um beim nächsten Mal, wenn jemand vom Dominoeffekt anfängt, mit Klugscheißerwissen zu glänzen! \(\endgroup\)
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buhs Montagsreport: Die Hydra von Strigidia
Released by matroid on Mo. 27. April 2020 00:00:39
Written by Leonardo_ver_Wuenschmi - (437 x read)
Bildung  \(\begingroup\)
Urlogo für buhs Montagsreport
Die Hydra von Strigidia

Ein reverses Märchen*


Ruhe***. Bei meinen Forschungen in der Bibliothek zu Fibona fand ich in einer Sammlung alter Geschichten auch die folgende Sage:

Im Hafen von Strigidia steht die Statue einer Hydra.
Blassblau thront sie auf einer Säule mitten im Hafenbecken.
Im Hafen tummeln sich die roten Boote der Fischer, die blauen Clipper derer, die nach R-Folgen jagen, und die gelben Pontons derer,
\(\endgroup\)
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Mathematik: Calculating sequence element a(16) of OEIS A108235
Released by matroid on Sa. 18. April 2020 18:31:10
Written by StrgAltEntf - (855 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)
Abstract

The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) lists under the identifier A108235 the following sequence:

$a(n)=$ Number of partitions of $\{1,2,...,3n\}$ into $n$ triples $(X,Y,Z)$ each satisfying $X+Y=Z$.

The following values can be found there (status on Apr 18 2020)
n       a(n)
1          1
2          0
3          0
4          8
5         21
6          0
7          0
8       3040
9      20505
10         0
11         0
12  10567748
13 103372655
14         0
15         0

For example, $a(4)=8$, and there are the following eight partitions of set $\{1,2,...,12\}$.
No. 1 (1 5 6) (2 8 10) (3 9 12) (4 7 11)
No. 2 (1 5 6) (2 9 11) (3 7 10) (4 8 12)
No. 3 (1 6 7) (2 10 12) (3 8 11) (4 5 9)
No. 4 (1 8 9) (2 10 12) (3 4 7) (5 6 11)
No. 5 (1 9 10) (2 4 6) (3 8 11) (5 7 12)
No. 6 (1 10 11) (2 5 7) (3 6 9) (4 8 12)
No. 7 (1 11 12) (2 6 8) (3 7 10) (4 5 9)
No. 8 (1 11 12) (2 7 9) (3 5 8) (4 6 10)

Now we are happy to announce that we can add two more members to this sequence. The following holds.
\[a(16)=142664107305\]
\[a(17)=1836652173363\]
Furthermore, we were able to calculate the member \(a'(43)\) for the related sequence A002849.
\[a'(43)=16852166906\]


\(\endgroup\)
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Mathematik: Lösen von Linearen Optimierungsproblemen mit Java
Released by matroid on Di. 07. April 2020 21:44:30
Written by Delastelle - (311 x read)
Software  \(\begingroup\)
Im Rahmen meiner Diplomarbeit habe ich im Jahr 2001 C/C++ Programme von Robert J.Vanderbei zur Linearen Optimierung in Java implementiert. Kern sind 2 LP-Löser - ein Simplexartiges Verfahren und ein Innere-Punkt-Verfahren.
Damit kann man schnell kleine, mittlere und auch große Optimierungsprobleme lösen. \(\endgroup\)
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buhs Montagsreport: Neues MileLight der Forschung
Released by matroid on Mi. 01. April 2020 00:00:21
Written by buh - (385 x read)
Matroids Matheplanet  \(\begingroup\)
Das Gerno-Logo für buhs Montagsreport
Neues MileLight der Forschung
Subtraktion endgültig kommutativ


03869 Duemmer*. Noch immer ist die Welt nicht perfekt.
Noch immer fehlen Beweise.
Noch ist Hoffnung.
Unermüdlich forschen und wirken Gerno Twolte**&Team©, um der Mathematik ein Stück weiter den Weg zu ebnen.
Und wieder einmal ist es soweit: Der Erbe der Titanen, der Plotter der Smartboardrunde, der unermüdliche Rächer der Inversen hat ein weiteres MileLight**** in harter Teamarbeit bewiesen:

Die Subtraktion ist kommutativ*!

Unglaublich, aber wahr: Was niemand bisher für möglich hielt, konnten Gerno Twolte&Team© \(\endgroup\)
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buhs Montagsreport: n.n..n…neunzehn
Released by matroid on Mo. 16. März 2020 07:55:09
Written by buh - (408 x read)
Matroids Matheplanet  \(\begingroup\)
Logo mit Schein für buhs Montagsreport
n.n..n…neunzehn

Eine Corona ohne Corona


Berlin*.Nein, nicht noch ein Corona-Report mit "Rasierwasser hilft vermutlich gegen Fibrosen"; "Putin hat Tramp L. das Xiaoha-Virus geklaut" oder "Haaaaaferflocken‼ Nur noch wenige Tüten im Angebot‼"; aber ein Corona-Report aus aktuellem Anlass: \(\endgroup\)
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Buchbesprechung

Siegert, Joachim
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