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Mathematik: Der Preis der Freiheit
Freigegeben von matroid am Sa. 06. Oktober 2018 09:22:28
Verfasst von AnnaKath - (679 x gelesen)
Vermischtes  \(\begingroup\)

Der Preis der Freiheit

- Selfish Routing -

Dieser Artikel beschäftigt sich in seinem (überschaubaren) mathematischen Kern mit einem kleinen Satz, der die Ineffizienz eines so genannten "selfish routing algorithm" beschränkt. Es ist aber auch ein Ziel, diese Aussage etwas weiter zu interpretieren und darzulegen, wie man von ganz anderen Fragestellungen motiviert, auf dieses Resultat stoßen kann.

Dies ist eines der Dinge, die ich an der Mathematik so mag; durch die hohe Abstraktion und präzise Fassung von Begriffen tun sich gelegentlich ungeahnte Anwendungen auf. Auch dies soll der Artikel exemplarisch veranschaulichen. Natürlich mag auch die rein mathematische Aussage interessant sein und wer sich nur dafür interessiert möge die weiteren Ausführungen ignorieren. Um dies zu erleichtern sind die zu überschlagenden Textteile durch einen $\bigstar$ markiert und sogar durch $\bigstar\bigstar$, wenn es sich um eine rein persönliche Bemerkungen handelt.

Zum Titel: Der übliche englische Begriff für das zu Behandelnde lautet "price of anarchy". Auch eine direkte Übersetzung gäbe durchaus wieder, worum es dabei geht, entspricht aber nicht der (persönlichen) Motivation.

Und eine letzte Anmerkung vorweg: Ich schreibe diesen Artikel aus Sicht einer Volkswirtschaftlerin. Diese Disziplin nannte man früher "politische Ökonomie" und so lässt es sich nicht vermeiden, dass man die ein oder andere Aussage eben "politisch" deuten kann.
Dies ist ausdrücklich nicht meine Absicht und wäre eine vorsätzliche Missinterpretation. Leser, die sich in Gefahr sehen, mögen bitte die mit $\bigstar$ markierten Passagen übergehen. \(\endgroup\)
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Stern Mathematik: Ein wenig Geometrie
Freigegeben von matroid am Mi. 15. Dezember 2004 23:33:46
Verfasst von Zaos - (5231 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)
Ein wenig Geometrie

In diesem Artikel möchte ich Euch, liebe Planetarier, einige schöne Anwendungen der Topologie in der Geometrie und auch im Alltag vorstellen. Als "Höhepunkt" werde ich die Frage beantworten, ob es immer möglich ist, dass man ein belegtes Brötchen, ganz egal wie die Teile aufeinander liegen, gerecht aufteilen kann, das heißt, dass man einen geraden Schnitt machen kann, so dass alle drei Komponenten des Brötchens gleichzeitig in zwei massengleiche Teile geschnitten werden.

Dabei sollte man sich nicht vorher schon durch den Begriff "Topologie" abschrecken lassen. Ich werde keine schweren Details aufführen, sondern eher anschaulich argumentieren. Auf diese Weise möchte ich euch Einblicke in die Welt der geometrischen Topologie vermitteln. \(\endgroup\)
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Werkzeuge: Spielkarten mit LaTeX
Freigegeben von matroid am Mi. 26. September 2018 12:30:14
Verfasst von cis - (507 x gelesen)
Tools  \(\begingroup\)
Spielkarten mit LaTeX

Testbericht zum Paket pst-poker.sty

Bild

Seit 2008 fand man nur ein leicht fehlerhaftes Paket poker.sty des Autors Olaf Encke, der es auf seiner Privathomepage hochgeladen hatte.

Nach langer Zeit einmal wieder über das Thema nachgedacht...

Nun hat das weltbekannte LaTeX-Urgestein Herbert Voß als Überarbeitung von o.g. Paket das brandneue (3. August 2018) Paket pst-poker (CTAN) nachgereicht.
\(\endgroup\)
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Mathematik: Markov Belohnungs-Prozesse
Freigegeben von matroid am Mo. 24. September 2018 09:27:25
Verfasst von LaLe - (520 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)

Von Ameisen zu sicherer künstlicher Intelligenz: Reinforcement Learning

Teil 1: Markov-Belohnungsprozesse

Diese Reihe von drei Artikeln soll einen Überblick über Reinforcement Learning geben, im Deutschen etwa "Bestärkendes Lernen" genannt. Der erste Teil beschäftigt sich mit Markov-Belohnungsprozessen, die man sich als "Reinforcement Learning ohne Lernen" vorstellen kann. Im zweiten Teil stellen wir darauf aufbauend Markov-Entscheidungsprozesse vor. Im dritten Teil werden wir uns schließlich mit der Sicherheit künstlicher Intelligenz (im englischen: AI Safety) befassen und lernen, inwiefern Reinforcement Learning in diesem neuen Forschungsfeld relevant ist.

Das war die Kurzzusammenfassung. Wie passt das alles in einen größeren Rahmen? Künstliche Intelligenz ist in aller Munde und bestimmt immer größere Teile unserer Interaktion mit großen Konzernen. Nicht zu Unrecht machen sich daher viele Menschen Sorgen, ob ihre Daten sicher sind und ihre Persönlichkeitsrechte gewahrt werden. Um diese Probleme soll es aber hier nicht gehen, denn man kann sich überall bestens darüber informieren. Meine Motivation ist es, Einblicke zu geben in das relativ neue Forschungsfeld zur Sicherheit künstlicher Intelligenz, im Englisch auch "AI Safety" genannt. Zusammenfassen lassen sich die Bedenken wie folgt: Wenn Maschinen immer autonomer werden, wenn Reinforcement Learning immer weiter verbreitet ist, und wenn Maschinen in immer komplexeren Umgebungen handeln, dann vergrößert sich damit auch das Potential dieser Maschinen, Schäden anzurichten, selbst wenn die Entwickler beste Intentionen haben. Eine moderne Einführung in konkrete Probleme aus diesem Forschungsfeld, mit einem starken Fokus auf Reinforcement Learning, bietet der Artikel Concrete Problems in AI Safety von Amodei et al.

Dieser Artikel ist im besten Fall nur der erste in einer Reihe von drei. Er gibt eine Einführung in das Thema der Markov-Belohnungsprozesse, und der zweite eine in Reinforcement Learning. Darauf aufbauend können wir im dritten Artikel konkrete Sicherheitsbedenken von Lernverfahren studieren, die auf Reinforcement Learning basieren. Ob es zu diesen weiteren Artikeln kommen wird und ob ich sie auf deutsch, oder nur an anderer Stelle auf Englisch veröffentliche, hängt auch von eurem Interesse an diesem Thema ab. Da das mein erster Artikel ist, ist Feedback aller Art sehr erwünscht! \(\endgroup\)
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Mathematik: Konstruktion von Matrixgruppen mit (modularer) Charaktertheorie
Freigegeben von matroid am So. 19. August 2018 21:47:41
Verfasst von Dune - (433 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)
Eine Geschichte, die mich nachhaltig fasziniert hat, ist die Entdeckung der ersten Jankogruppe \( J_1 \). Noch bevor die Existenz dieser sporadischen endlichen einfachen Gruppe definitiv klar war, hatte Janko bereits ihre (modularen) Charaktertafeln in jeder Charakteristik gefunden, und mit diesen Informationen zwei konkrete Matrizen bestimmt, die \( J_1 \) als Untergruppe von \( \mathrm{GL}(7,\mathbb{F}_{11}) \) erzeugen müssen (sofern sie denn überhaupt existiert!). Die tatsächliche Existenz von \( J_1 \) wurde erst später von Ward mit Hilfe eines Computerprogramms bewiesen.

In diesem Artikel möchte ich Jankos Ansatz anhand eines sehr viel einfacheren Beispiels demonstrieren. Wir betrachten hier die symmetrische Gruppe \( S_5 \). Indem wir alle (modularen) Charaktertafeln dieser Gruppe aufstellen, werden wir zeigen, dass sich die \( S_5 \) als Untergruppe in der \( \mathrm{GL}(4,\mathbb{K}) \) bezüglich jedem beliebigen Körper \( \mathbb{K} \) wiederfindet. Darüber hinaus werden wir zeigen, dass die \( S_5 \) genau dann als Untergruppe von \( \mathrm{GL}(3,\mathbb{K}) \) auftritt, wenn \( \mathbb{K} \) ein Körper der Charakteristik 5 ist. Mit Hilfe eines entsprechenden Charakters werden wir auf systematische Weise eine zur \( S_5 \) isomorphe Untergruppe der \( \mathrm{GL}(3,\mathbb{F}_5) \) konstruieren.

Dieser Artikel richtet sich an alle, die ein klein wenig Vorwissen aus der herkömmlichen Darstellungstheorie endlicher Gruppen mitbringen und noch eine Motivation für die Beschäftigung mit der (noch viel spannenderen!) modularen Darstellungstheorie suchen. \(\endgroup\)
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Physik: Urknall vs. Big Bang
Freigegeben von matroid am So. 12. August 2018 00:53:54
Verfasst von Hans-Juergen - (552 x gelesen)
Physik  \(\begingroup\)
Im Thread über die gestohlene Fields-Medaille erwähnt Bernhard den "Dichterwettbewerb im Sommerloch" früherer Jahre. Im Folgenden erlaube ich mir – unpoetisch – diesen Betrag für das besagte "Loch":

Urknall vs. Big Bang

In den zwanziger Jahren des vorigen Jahrhunderts wurde festgestellt, dass astronomische Objekte, die mit den damaligen Fernrohren nur nebelhaft zu erkennen waren, sich immer weiter vom irdischen Beobachter entfernen, was als die "Flucht der Spiralnebel" bezeichnet wurde. Man schloss daraus, dass nicht nur sie, sondern alle Himmelskörper früher enger beisammen waren. Das sollte so weit gegangen sein, dass sie anfangs einen einzigen kleinen, sehr dichten und heißen Körper bildeten, der scherzhaft "kosmisches Ei" genannt wurde. Seine Größe wird bis heute manchmal mit der einer Pampelmuse verglichen. Meistens aber nehmen die Kosmologen einen Punkt mit unendlicher Dichte und Temperatur an, obwohl diese der Physik an sich fremd sind. Irgendwann, so wurde weiter vermutet, explodierte das kosmische Ei, und aus seinen Trümmern entstanden alle Sterne und Galaxien, aus denen das jetzige Universum besteht.
\(\endgroup\)
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Physik: Die Bernoulli-Gleichung in rotierenden Systemen
Freigegeben von matroid am Di. 24. Juli 2018 17:13:07
Verfasst von Liverpool - (740 x gelesen)
Physik  \(\begingroup\)


Stellen wir uns doch mal einem simplen Problem aus der Strömungsmechanik:
Gegeben sei ein Rasensprenger mit abgewinkelten Armen.
Durch eine Pumpe wird ein Volumenstrom durch die Leitungen gezwängt, aufgrund der Drallerhaltung beginnt der Rasensprengerkopf zu drehen, sobald der Wasserstrahl in den abgewinkelten Rohrteil eintritt und zwangsweise um die Kurve gelenkt wird.

Nun möchten wir irgendwelche Systemeigenschaften herausfinden, z.B. welche Enddrehgeschwindigkeit vom Sprenger eingenommen wird bei bekanntem Reibmoment.
Der Lösungsweg ist ein simpler: Wir benutzen die Bernoulli-Gleichung unter Zuhilfenahme von Randbedingungen, sowie die Kontinuitätsgleichung.
Mit dem erhaltenen Druck- und Geschwindigkeitsfeld ist nun alles ermittelbar: Alle Kräfte, Momente und somit auch die Endwinkelgeschwindigkeit.

Jedoch liegt der Teufel im Detail, der Rechenweg ist richtig, jedoch ist in diesem Fall die klassisch definierte Bernoulligleichung unbrauchbar.
\(\endgroup\)
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Mathematik: Einstieg für Laien in die Finanzmathematik
Freigegeben von matroid am Do. 26. April 2018 17:14:18
Verfasst von Gerhardus - (702 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)
Einstieg für Laien in die Finanzmathematik

Die ersten vier Kapitel sind Basiswissen der Schule. Der Text danach entstand aus zwei Kursen über Finanzmathematik für Laien, die erstmals im Winter 2017/2018 im Bildungsforum Dortelweil e.V. in Bad Vilbel stattfanden, dank der Geschichten aus dem Leitfaden-Buch Bernd Luderer, Mathe, Märkte und Millionen, 2013 (siehe Literaturliste L5) und dank des vorliegenden Lehrtextes, der das benötigte Wissen möglichst einfach erklärt. Nur der Abschnitt 7.3 und das Kapitel 9 erfordern Differenzialrechnung und Oberstufen-Stochastik.
Das Äquivalenzprinzip erlaubt, künftige Zahlungen mit gegenwärtigen zu vergleichen, abhängig vom Zinsmodell. Modelle spielen in der Finanzmathematik eine große Rolle, ihre Stärken und Schwächen werden untersucht. So ist auch das No-Arbitrage-Prinzip notwendig für jedes Modell, auch wenn Börsianer etwas anderes glauben.
Die erwähnten Modelle können den Finanzmarkt organisieren und bewerten. Modellieren heißt hier nicht, Gleichungen aufzustellen, sondern mit den Regeln der Produkte ein System auf Prinzipien aufzubauen. Der wirkliche Finanzmarkt ist aber völlig anders als die Modelle.
Der Lehrtext liegt hier als pdf-Datei vor. Aufmerksame Leser, Kritik und Fehlerhinweise sind stets willkommen.

Inhalt
1. Beispiele für das Rechnen mit prozentualen Proportionen
2. Einfache Zinsrechnung
3. Zinseszinsrechnung (8. Schuljahr)
4. Über Potenzen und Logarithmen (9. Schuljahr)
4.1 Die Umkehrfunktion
4.2 Stetige Verzinsung
4.3 Durchschnittliche und logarithmierte Rendite
5. Das Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik
5.1 Äquivalenz von Zahlungsströmen
5.2 Höhere Rendite dank Vorschusszinsen
5.3 Effektivzinssatz laut gesetzlicher Preisangabenverordnung (PAngV)
5.4 Unterschiedliche Zinsperioden
6. Vergleich von monatlicher und jährlicher Rate bei einfacher Verzinszung
7. Vergleich von jährlichen Zahlungen mit einer Einmalzahlung beim Zinseszins
7.1 Kursformel einer Anleihe
7.2 Annuitätenkredit
7.3 Risikokennzahl und Duration
8. Zinsstrukturen und Forward Rates als Derivate von Spot Rates
8.1. Vereinbarung über einen zukünftigen Zinssatz (FRA)
8.2. Das No-Arbitrage-Prinzip
8.3. Zins-Swaps
9. Optionsscheine
9.1. Basiswissen
9.2. Der Weg zum Black-Scholes-Modell: Die Option als Portfolio
9.3. Stochastische Aktienmodelle
10. Literaturliste


\(\endgroup\)
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Mathematik: Das arithmetische Mittel und freie Mittelpunkt-Algebren
Freigegeben von matroid am Mi. 11. April 2018 09:55:02
Verfasst von Triceratops - (401 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)
Das arithmetische Mittel und freie Mittelpunkt-Algebren

Dieser Artikel hat sich aus der Frage motiviert, welche Rechenregeln das arithmetische Mittel $$\overline{m}(a,b) = \frac{a+b}{2}$$reeller Zahlen erfüllt. Man erkennt relativ schnell
$$\overline{m}(a,a)=a, \quad \overline{m}(a,b)=\overline{m}(b,a).$$Es gilt auch
$$\overline{m}(\overline{m}(a,b),\overline{m}(a',b'))= \overline{m}(\overline{m}(a,a'),\overline{m}(b,b')),$$weil beide Seiten $(a+b+a'+b')/4$ sind. Zwar erfüllt $\overline{m}$ auch weitere Relationen wie z.B. $\overline{m}(\lambda \cdot a,\lambda \cdot b) = \lambda \cdot \overline{m}(a,b)$, aber hierbei wird die Skalarmultiplikation $\cdot$ genutzt, welche also eigentlich eine weitere Operation darstellt. Wir möchten uns aber auf die Operation $\overline{m}$ beschränken. Tatsächlich kann man zeigen, dass $\overline{m}$ keine weiteren Relationen erfüllt; natürlich abgesehen von denen, die aus den genannten Relationen folgen, wie etwa
$$\overline{m}(a,\overline{m}(b,c)) = \overline{m}(\overline{m}(a,b),\overline{m}(a,c)).$$Mit dem Begriff der Mittelpunkt-Algebra und insbesondere der Struktur von freien Mittelpunkt-Algebren lässt sich diese Aussage genauer fassen und auch beweisen. Für das allgemeine arithmetische Mittel
$$\overline{m}(a_1,\dotsc,a_q) = (a_1+\cdots+a_q)/q$$kann man dann genauso vorgehen.
\(\endgroup\)
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