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Mathematik: Auf der Suche nach 3.A7 (Teil 1/2)
Freigegeben von matroid am Mo. 25. März 2019 21:35:51
Verfasst von Dune - (297 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)
Wir betrachten folgende Matrixgruppe mit Einträgen aus dem endlichen Körper $\mathbb{F}_{25} = \mathbb{F}_5(\zeta)$, wobei $\zeta$ eine primitive dritte Einheitswurzel sei.

\( 3.A_7 = \left\langle
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1+4 \zeta & 3+3\zeta & 3 \zeta\\
3 \zeta & 4+3\zeta & 3+4\zeta\\
\zeta & 1+\zeta & 1+\zeta
\end{pmatrix}
\right\rangle \)

Bei dieser Gruppe der Ordnung 7560, die auf den ersten Blick völlig willkürlich aussieht, handelt es sich tatsächlich um eine spannende Ausnahmegruppe! Wir sehen hier die dreifache Überlagerung der alternierenden Gruppe $A_7$, welche um 1911 von Issai Schur entdeckt wurde (allerdings als ($6 \times 6$)-Matrixgruppe über $\mathbb{C}$). Diese zweiteilige Artikelreihe wird sich mit der Frage beschäftigen, wie man systematisch auf obige Matrizen kommt. Wir werden von einer abstrakten Definition der Gruppe $3.A_7$ ausgehend zeigen, dass sie - sofern sie überhaupt existiert - zwangsläufig von diesen beiden Matrizen erzeugt werden muss. Insbesondere beweisen wir so ihre Existenz und Eindeutigkeit auf einen Schlag.

In diesem ersten Teil werden wir zunächst alle Konjugationsklassen und einige Untergruppen der $3.A_7$ (einschließlich aller Sylowgruppen) identifizieren. Von den Charaktertafeln dieser Untergruppen ausgehend werden wir mit Hilfe der Induktionsformel die Charaktertafel der $3.A_7$ bestimmen. An dieser Stelle werden wir sehen, dass die Gruppe über Körpern der Charakteristik $0$ bestenfalls als ($6 \times 6$)-Matrixgruppe realisiert werden kann. Im zweiten Teil werden wir die modulare Charaktertafel der $3.A_7$ in Charakteristik 5 und damit unter anderem den Brauer-Charakter einer irreduziblen Darstellung $3.A_7 \to \mathrm{GL}(3,\mathbb{F}_{25})$ bestimmen. Dieser Charakter wird uns dann letztendlich auf obige Matrizen führen. \(\endgroup\)
mehr... | 45908 Bytes mehr | Kommentare? | Druckbare Version  | Mathematik


Stern Mathematik: Gruppentheorie mit GAP
Freigegeben von matroid am Mo. 20. Februar 2006 12:23:27
Verfasst von Stefan_K - (7649 x gelesen)
Tools  \(\begingroup\)
gap>

Gruppentheorie mit GAP

GAP ist ein Computeralgebra-System, welches sich insbesondere für gruppentheoretische Berechnungen eignet. Der Name GAP steht für Groups, Algorithms, Programming, womit der Zweck der Software bereits charakterisiert ist.

Dieser Artikel verfolgt die Absicht, GAP kurz vorzustellen und anhand einiger Beispiele dessen Nutzen anzudeuten, etwa im Finden von Inspirationen, Ersparen von mechanischem Rechnen, Lösungenentwurf und in der Ergebniskontrolle. Er soll weder Lehrbuch noch Einführung ersetzen, vielmehr werden am Artikelende Verweise auf Web-Ressourcen und Dokumentationen gegeben.

Vorausgesetzt werden Kenntnisse der Gruppentheorie, später auch etwas Wissen aus der Darstellungstheorie endlicher Gruppen. \(\endgroup\)
mehr... | 31712 Bytes mehr | 2 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


buhs Montagsreport: Endlich erwachsen
Freigegeben von matroid am Mo. 18. März 2019 00:03:56
Verfasst von buh - (380 x gelesen)
Matroids Matheplanet  \(\begingroup\)
Gratulationslogo für buhs Montagsreport
Endlich erwachsen

…oder doch noch pubertär?


Matheplanet, überall. Es ist geschehen – heute um 0:00:00 Uhr wurde der Matheplanet offiziell*/**erwachsen.
Unser Planet hat in diesen 18 Jahren einiges erlebt, vielleicht auch durchgemacht; infolge einiger Erfahrungen in diesen 18 Jahren neige ich auch partiell zum Begriff „erduldet“. Aber so ist das, wenn sich ein junges Leben anschickt, eine Idee zur materiellen Gewalt machen zu wollen: Euphorie am Anfang, Intelligenz, Kraft und investierte Zeit ohne Grenzen, ein Gefühl nicht endenden Glücks ob der Mitstreiter, die am gleichen Strang ziehen (und sogar in die gleiche Richtung!).


18 Kerzen

\(\endgroup\)
mehr... | 2653 Bytes mehr | 7 Kommentare | Druckbare Version  | buhs Montagsreport


Informatik: Lösen eines Rundreiseproblems(TSP) durch 96 Städte mittels Ameisenalgorithmus
Freigegeben von matroid am Fr. 15. März 2019 12:05:24
Verfasst von Delastelle - (249 x gelesen)
Informatik  \(\begingroup\)
Im Artikel werden mehrere Näherungslösungen zu einem symmetrischen Rundreiseproblem (TSP)
durch 96 französische Städte ("Tour de France" oder TSP96) mittels eines Ameisenalgorithmus berechnet.
In meinem Notizbuch habe ich die entsprechenden Grafiken und Programme seit 2011 liegen. \(\endgroup\)
mehr... | 11207 Bytes mehr | 5 Kommentare | Druckbare Version  | Informatik


buhs Montagsreport: Übungen zur Logik 10*
Freigegeben von matroid am Mo. 25. Februar 2019 00:00:22
Verfasst von buh - (441 x gelesen)
Bildung  \(\begingroup\)
Urlogo für buhs Montagsreport
Übungen zur Logik 10*

Schlauer werden ohne Chef


Berlin. Nach langer Pause muss ich mal wieder ein Logik-Rätsel offenbaren. Allerdings fürchte ich, dass es für die Masse der Hochqualifizierten, die hier immer nur über mathematische(r) Logik* logieren, reichlich leicht sein wird, weswegen ich es auch fachgerecht aufbereitet habe.
Gemäß vorherrschenden Konventionen zur SATZ-Struktur beginnen wir mit den Voraussetzungen:

\(\endgroup\)
mehr... | 3736 Bytes mehr | 7 Kommentare | Druckbare Version  | buhs Montagsreport


Mathematik: Über die elementaren Wachstumsmodelle
Freigegeben von matroid am Mo. 18. Februar 2019 19:11:22
Verfasst von Diophant - (645 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)

1. Einleitung


Dieser Artikel richtet sich hauptsächlich an Schülerinnen und Schüler im Rahmen der Vorbereitung auf das Abitur. Es wird aus diesem Grunde versucht, die vorgetragenen Sachverhalte möglichst anschaulich darzustellen, auf akademische Strenge wird aus dem gleichen Grund verzichtet.

Die Beschäftigung mit Wachstums- bzw. Zerfallsvorgängen stellt einen der am häufigsten gewählten Anwendungsbereiche der Analysis für Prüfungsaufgaben im Rahmen deutscher Abiturprüfungen dar.

Bei der Bearbeitung von Aufgaben zu diesem Thema haben wir es in erster Linie mit zwei Problemen zu tun. Zum einen fällt das Erkennen der Art des Wachstums- bzw. des Zerfallsprozesses aus der Beschreibung eines Vorgangs heraus oftmals schwer, zum anderen ist auch der Zusammenhang zwischen Wachstumsvorgang und der entsprechenden Funktionsgleichung weit weniger ersichtlich als beispielsweise bei der Anwendung der Parabelgleichung für den schiefen Wurf oder der Sinus- bzw. der Kosinusfunktion zur Beschreibung harmonischer Schwingungsvorgänge. Dies gilt insbesondere für das beschränkte und in noch stärkerem Maße für das logistische Wachstum. Um hier Abhilfe zu schaffen, rückt ein Instrument der Analysis in den Blickpunkt, welches im Rahmen der Schulmathematik erfahrungsgemäß viel zu kurz kommt: Die Differentialgleichung.

In diesem Artikel sollen vier elementare Wachstumsmodelle vorgestellt werden:

  • Lineares Wachstum
  • Exponentielles Wachstum
  • Beschränktes Wachstum
  • Logistisches Wachstum
\(\endgroup\)
mehr... | 32319 Bytes mehr | 5 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


Matheplanet-Award: Verleihung der 17. Matheplanet-Mitglieder-Awards
Freigegeben von matroid am So. 27. Januar 2019 15:00:01
Verfasst von matroid - (1189 x gelesen)
Matheplanet-Award  \(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}} \)
Verleihung
der 17. Matheplanet-Mitglieder-Awards

27. Januar 2019
\(\endgroup\)
mehr... | 113998 Bytes mehr | 21 Kommentare | Druckbare Version  | Matheplanet-Award


Physik: MontyPythagoras Wunderbare Welt Der Schwerkraft
Freigegeben von matroid am Sa. 19. Januar 2019 23:47:20
Verfasst von MontyPythagoras - (510 x gelesen)
Physik  \(\begingroup\)
And now for something completely differential

S


chwerkraft ist wohl die erste Kraft, mit der jeder Mensch in seinem Leben Erfahrungen macht. Meistens negative, nämlich bei seinen ersten Versuchen, ihr zu trotzen und aufrecht zu gehen, wie es sich für einen Homo sapiens gehört. Trotzdem hat es sehr lange gebraucht, bis die dahinter stehenden, mathematischen Gesetzmäßigkeiten erkannt wurden, und zwar durch den oben etwas gestresst wirkenden Sir Isaac Neutonne in seiner berühmten, 1687 erschienenen Schrift Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Übrigens nicht in der heute gebräuchlichen, expliziten Formel, die entstand erst fast 200 Jahre später. Ein Apfel soll bei der Entdeckung auch eine entscheidende Rolle gespielt haben, aber das ist wohl nur Mythos.
Während wohl jeder wissenschaftsaffine Mensch die berühmte Formel kennt (vielleicht die zweitberühmteste nach $E=mc^2$), möchte ich in diesem Artikel aus meiner Reihe "Physikalisches Wissen, das keiner braucht" einige sich daraus ergebende Schlussfolgerungen zum Besten geben, die offenkundig weniger bekannt sind.
Gleichzeitig ist der Artikel auch zu einer kleinen Hommage an die berühmte und für mich namensstiftende Komikertruppe geworden. \(\endgroup\)
mehr... | 28750 Bytes mehr | 5 Kommentare | Druckbare Version  | Physik


Mathematik: Der Preis der Freiheit
Freigegeben von matroid am Sa. 06. Oktober 2018 09:22:28
Verfasst von AnnaKath - (697 x gelesen)
Vermischtes  \(\begingroup\)

Der Preis der Freiheit

- Selfish Routing -

Dieser Artikel beschäftigt sich in seinem (überschaubaren) mathematischen Kern mit einem kleinen Satz, der die Ineffizienz eines so genannten "selfish routing algorithm" beschränkt. Es ist aber auch ein Ziel, diese Aussage etwas weiter zu interpretieren und darzulegen, wie man von ganz anderen Fragestellungen motiviert, auf dieses Resultat stoßen kann.

Dies ist eines der Dinge, die ich an der Mathematik so mag; durch die hohe Abstraktion und präzise Fassung von Begriffen tun sich gelegentlich ungeahnte Anwendungen auf. Auch dies soll der Artikel exemplarisch veranschaulichen. Natürlich mag auch die rein mathematische Aussage interessant sein und wer sich nur dafür interessiert möge die weiteren Ausführungen ignorieren. Um dies zu erleichtern sind die zu überschlagenden Textteile durch einen $\bigstar$ markiert und sogar durch $\bigstar\bigstar$, wenn es sich um eine rein persönliche Bemerkungen handelt.

Zum Titel: Der übliche englische Begriff für das zu Behandelnde lautet "price of anarchy". Auch eine direkte Übersetzung gäbe durchaus wieder, worum es dabei geht, entspricht aber nicht der (persönlichen) Motivation.

Und eine letzte Anmerkung vorweg: Ich schreibe diesen Artikel aus Sicht einer Volkswirtschaftlerin. Diese Disziplin nannte man früher "politische Ökonomie" und so lässt es sich nicht vermeiden, dass man die ein oder andere Aussage eben "politisch" deuten kann.
Dies ist ausdrücklich nicht meine Absicht und wäre eine vorsätzliche Missinterpretation. Leser, die sich in Gefahr sehen, mögen bitte die mit $\bigstar$ markierten Passagen übergehen. \(\endgroup\)
mehr... | 33008 Bytes mehr | 6 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


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Wurzel e.V. (Herausgeber)
Unsere Mathematikaufgabe – Begleitschrift zur 55. Bundesrunde der Mathematik-Olympiade

Rezensiert von cyrix:
Vom 12. bis 15. Juni 2016 richtete der Wurzel e. V. mit verschiedenen Partnern die Bundesrunde der 55. Mathematik-Olympiade in Jena aus. Dabei konnte den knapp 200 Wettbewerbsteilnehmern sowie den ca. 200 Korrektoren, Koordinatoren, der Wettbewerbsleitung, den Helfern und Organi ... [mehr...]
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