Mathematik: Ramsey-Zahlen
Released by matroid on Mo. 23. Dezember 2019 20:06:37
Written by Triceratops - (361 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Ramsey-Zahlen

Silvester steht vor der Tür. Auf so einer Silvesterparty sehen sich manche Gäste zum ersten mal und kannten sich vorher nur über Ecken. Es gibt also unterschiedlich große Gruppen von einander Bekannten und Gruppen von einander Fremden. Wie groß können diese Gruppen sein? Oder genauer gesagt, wie groß muss die Anzahl der Gäste überhaupt sein, damit es auf jeden Fall eine Gruppe von $n$ Bekannten oder eine Gruppe von $m$ Fremden gibt? (Beides gleichzeitig können wir natürlich nicht erwarten.) Oder gibt es überhaupt so eine Anzahl? Das Theorem von Ramsey sagt, dass es tatsächlich eine solche Anzahl gibt. Die Mindestanzahl von benötigten Gästen wird als Ramsey-Zahl $R(n,m)$ definiert. Bis heute sind nur relativ wenige konkrete Werte von $R(n,m)$ bekannt. Es gilt zum Beispiel $R(4,4)=18$, was bedeutet, dass es auf einer Party mit $18$ Gästen (aber nicht unbedingt auf einer Party mit $17$ Gästen) auf jeden Fall $4$ Bekannte oder $4$ Fremde gibt. Dieser Artikel gibt eine kurze Einführung in Ramsey-Zahlen.

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Stern Mathematik: Beweise, immer nur Beweise
Released by matroid on Fr. 22. Februar 2002 00:35:14
Written by matroid - (38776 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \)
Puzzle
Der Sinn des Mathematik-Studiums ist, dass man das Beweisen lernt.
Das geht so vor sich, dass in Vorlesungen, Büchern und manchmal Übungen das Beweisen vorgemacht wird.

Ein Beweis besteht aus einer geschlossenen und lückenlosen Ableitung einer zuvor formulierten Behauptung aus den zugrundeliegenden Axiomen und den gegeben Voraussetzungen.

Die Hilfsmittel beim Beweisen sind:
  1. die Regeln der Logik, als elementare Operationen
  2. Beweistechniken, als zusammengesetzte Operationen aus elementaren Operationen (quasi 'große Moleküle', z.B. die vollständige Induktion oder die Technik des Widerspruchsbeweises).
  3. schon bewiesene Behauptungen allgemeiner Art (z.B. Abschätzen von Ungleichungen, a < b => a+c < b+c).
  4. schon bewiesene Behauptungen des Fachgebiets (Sätze, Hilfssätze, Theoreme, z.B. der Mittelwertsatz der Differentialrechnung)
  5. der Einfallsreichtum des Beweisenden in der Kombination von a.-d.

\(\endgroup\)
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Mathematik: Anzahl der Abbildungen $f$ mit $f^p = f^q$
Released by matroid on Fr. 13. Dezember 2019 21:45:02
Written by Triceratops - (414 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Anzahl der Abbildungen $f$ mit $f^p=f^q$

Für feste natürliche Zahlen $n,p,q$ bestimmen wir die Anzahl der Abbildungen $f : \{1,\dotsc,n\} \to \{1,\dotsc,n\}$ mit $f^p = f^q$, wobei $f^p$ die $p$-fache Verkettung von $f$ sei. Wir leiten insbesondere für festes $p \geq 2$ und $q=1$ die erzeugende Funktion $\exp(\sum_{d ~\mid~ p-1} \frac{1}{d} (z \cdot \exp(z))^d)$ für die Anzahlen her. Am Ende zeigen wir eine alternative Herleitung auf, die mit kombinatorischen Spezies arbeitet. Das folgende Bild zeigt zum Beispiel eine Abbildung $f$ mit $f^6=f^2$.

<math>
\newcommand{\rdot}{\textcolor{red}{$\bullet$}}
\newcommand{\bdot}{\textcolor{blue}{$\bullet$}}
\begin{tikzpicture}[inner sep=0pt,>=latex]
\node (W1) at (0,1) {\bdot};
\node (W2) at (1,1.8) {\bdot};
\node (W3) at (2,1) {\bdot};
\node (W4) at (1,0.2) {\bdot};
\node (A1) at (-1.1,1) {\rdot};
\node (A2) at (-2,2) {\rdot};
\node (A3) at (-2,0) {\rdot};
\node (B1) at (3.2,2) {\rdot};
\node (B2) at (3.2,0) {\rdot};
\draw [blue,->] (W1) to (W2);
\draw [blue,->] (W2) to (W3);
\draw [blue,->] (W3) to (W4);
\draw [blue,->] (W4) to (W1);
\draw [red,->] (A1) to (W1);
\draw [red,->,bend right=10] (A2) to (A1);
\draw [red,->,bend left=10] (A3) to (A1);
\draw [red,->,bend left=10] (B1) to (W3);
\draw [red,->,bend right=10] (B2) to (W3);
\end{tikzpicture}</math>
\(\endgroup\)
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Mathematik: Ein schwieriges Problem auf der IMO
Released by matroid on So. 08. Dezember 2019 08:36:17
Written by trunx - (1710 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)\(\usepackage{setspace}\)
Auf der Wikipediaseite "Internationale Mathematik-Olympiade" werden die zwei schwersten Probleme genannt, die je auf einer IMO gestellt worden sind. Beide Aufgaben konnten nur von 11 Schülern gelöst werden, einmal (1986) bei insgesamt 210, das zweite Mal (1988) bei insgesamt 268 Teilnehmern.

Während für die erste dieser Aufgaben auch eine Lösung verlinkt wurde, habe ich für die zweite Aufgabe keine Lösung im Internet gefunden (aber auch nicht wirklich intensiv danach gesucht). Da es zudem hieß, dass weder die Mitglieder des Aufgabenausschusses noch von ihnen beauftragte Mathematiker des entsprechenden Fachgebietes (Zahlentheorie) die Aufgabe in 6h lösen konnten, war bei mir das Interesse geweckt.

Die Aufgabe lautete (siehe hier):

Let \(a\) and \(b\) positive integers such that \(ab+1\) divides \(a^2 +b^2\). Show that
\[\frac{a^2 +b^2}{ab+1}\] is the square of an integer.

(dt. lt. wikipedia: Sind \(a\) und \(b\) natürliche Zahlen, sodass \[c=\frac{a^2 +b^2}{ab+1}\] ebenfalls eine natürliche Zahl ist, ist c sogar eine Quadratzahl.)

Ich habe deutlich mehr als 6h für die Lösung gebraucht, aber es hat Spass gemacht. Daher, wer es selbst probieren will, macht jetzt besser den PC aus und rechnet!

Nachtrag: Die nachgelieferte Zuendeführung des angekündigten Beweises findet sich im nächsten Abschnitt in blauer Schrift. \(\endgroup\)
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Mathematik: Galois-Verbindungen
Released by matroid on Do. 21. November 2019 22:39:52
Written by Triceratops - (497 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Galois-Verbindungen

Ausgehend von einer einfachen Beobachtung zwischen der Bildmenge und der Urbildmenge gelangen wir zum Begriff einer Galois-Verbindung. Dieser wird in diesem Artikel untersucht. Wir beweisen einfache Eigenschaften von Galois-Verbindungen und geben ein paar einfache Anwendungen an. Insbesondere finden wir damit einen konzeptionellen Beweis für eine ganze Reihe von Charakterisierungen von injektiven bzw. surjektiven Abbildungen. Im letzten Abschnitt zeigen wir dann die Nützlichkeit von Galois-Korrespondenzen auf, wofür der Hauptsatz der Galoistheorie das prominenteste Beispiel ist. Abgesehen von den Beispielen sind für das Verständnis dieses Artikels lediglich Grundbegriffe der Mengenlehre und der Ordnungstheorie nötig.
\(\endgroup\)
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Mathematik: 4-reguläre planare Einheits-Dreieck-Graphen
Released by matroid on Mo. 18. November 2019 21:17:18
Written by Slash - (313 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Wie man 4-reguläre planare Graphen nur aus kongruenten gleichseitigen Dreiecken konstruiert

Lassen sich kongruente gleichseitige Dreiecke in der Ebene ohne Überschneidungen derart aneinanderlegen, dass sich immer genau zwei Ecken berühren ohne dabei größere Dreiecke zu bilden? Und wenn ja, wie viele Dreiecke benötigt man mindestens dafür?

Eine Aufgabe, die mit entsprechendem Material, etwa kleine Dreiecke aus Pappe, sogar Kinder verstehen und angehen können, deren Lösung aber ganz schön raffiniert ist.
\(\endgroup\)
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Offene Fragen: Urknall
Released by matroid on So. 10. November 2019 15:35:22
Written by trunx - (466 x read)
Physik  \(\begingroup\)\(\usepackage{setspace}\)

Der Urknall

Mythischer Anfang


Die Idee des Gewordenseins des Universums ist uralt, in praktisch allen Kulturen gibt es Mythen über einen Anfang der Welt. So beginnt zB. eine rituelle Formel im indogermanischen Schöpfungsmythos:

"Das erfuhr ich unter den Menschen als der Wunder größtes,
dass Erde nicht war, noch Himmel oben,
weder Baum noch Berg noch irgendwas.
Nicht schien die Sonne, nicht leuchtete der Mond,
nicht breitete sich aus das herrliche Meer.
(in der indischen Rigveda folgt:
Weder Sein war damals noch Nichtsein.)
Nichts war - nur geheimnisvoller, tiefer Abgrund."

Dieses Nichts, diese dunkle Leere war kein Vakuum, sondern ein fern jeder Vorstellung mit mächtigen magischen Kräften erfüllter Ort. In der Regel entstanden dort die ersten Riesen oder vorzeitlichen Giganten und die Götter und irgendwann kam es zum Kampf zwischen den beiden, den die Götter gewannen. Aus den Überresten der Giganten erschufen die Götter dann die Welt, so wie wir sie kennen (zB. besteht das Meer oft aus dem Blut eines Riesen) und später auch die Menschen. Die Griechen nannten dieses Nichts das Chaos, im Judentum ist es als Tohuwabohu bekannt.

In der Bibel (AT) beginnt die Sache einfacher: "Am Anfang schuf Gott Himmel und Erde." Gott ist also bereits da und woraus er Himmel und Erde machte, wird nicht erwähnt. Im NT dagegen heisst es "Im Anfang war das Wort." Dieses Wort kann man sich vielleicht besser als Gedanke oder Gedankenblitz denken, sd. der Anfang des Universums in einer besonderen Art Strahlung, dem primären Licht Gottes bestand. Das sekundäre Licht wurde später geschaffen.

Unter den christlichen Gnostikern gab es allerdings eine bezeichnende Idee, aus was Gott die Welt gemacht hat, nämlich aus dem gefallenen Erzengel Lucifer/Satan und seinen Heerscharen. In allem und jedem weltlichen Ding, einschliesslich der Menschen ist lediglich sekundäres Licht, doch durch gute Taten ist Erlösung möglich. Einzig Christus war und brachte das primäre Licht in die Welt.

Nun gut. Machen wir weiter mit Physik. \(\endgroup\)
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Mathematik: Ein paar Ideen zu einer Philosophie der Zeit
Released by matroid on Do. 31. Oktober 2019 21:08:51
Written by trunx - (688 x read)
Vermischtes  \(\begingroup\)\(\usepackage{setspace}\)

Ein paar Ideen zu einer Philosophie der Zeit



Aus verständlichen Gründen sind philosophische Themen auf dem MP nicht so gern gesehen. Anders als bei mathematischen bzw. physikalischen Aufgabenstellungen kommt man prinzipiell nicht zu einem klaren Ergebnis, sondern verbleibt stets im mitunter äußerst undurchdringlichen Dickicht der Meinungen.

Dennoch mache ich hier mal eine Ausnahme, schließlich bedarf jede Wissenschaft der Philosophie. Trotz ihres spekulativen Charakters liefert die Philosophie letztlich plausible Annahmen über unsere Welt, die wissenschaftliches Denken und Arbeiten erst ermöglichen.

Auch der vorliegende Text handelt von solchen plausiblen Annahmen, nämlich über die Zeit und was daraus folgt. \(\endgroup\)
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Mathematik: Branch&Bound und Backtracking angewendet auf mehrere Probleme
Released by matroid on Mo. 09. September 2019 20:27:28
Written by Delastelle - (414 x read)
Informatik  \(\begingroup\)
Branch&Bound und Backtracking werden angewendet auf
1. Sudoku
2. Rundreiseproblem (TSP)
3. Jobschop-Scheduling
4. ein Problem des Euler-Wettbewerbs (crack-free walls)
5. zur Lösung von Labyrinthen
und
6. zur Lösung von Erfüllbarkeitsproblemen (SAT genauer 3SAT)

Fortran-Programme werden zur Lösung der Probleme verwendet.

\(\endgroup\)
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