Mathematik: Jenseits der quadratischen Ergänzung
Released by matroid on So. 09. Februar 2020 14:17:23
Written by Gerhardus - (340 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)
Jenseits der quadratischen Ergänzung - Wesentliches über die Mathematik von Parabeln

Elementare Beweise für quadratische Funktionen und Parabeln diesseits und jenseits der Schulmathematik: Geometrie, Algebra, Koeffizientenvergleich, Lösungsmethoden, Vieta jumping, Tangenten, Brennpunkt-Eigenschaft, die Parabel als echter Kegelschnitt, Quadratur des Archimedes und Parabeln mit beliebigen Achsen in der x-y-Ebene. Für jeden, der mehr will als die gewöhnlichen Lehrbücher bieten. Mein 13. matheplanet-Artikel des lapidaren Wissens mit über 20 Sätzen. Zum Jenseits bitte hier klicken. Hier geht es weiter zum
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Stern Mathematik: Starker Raucher
Released by matroid on Mo. 19. November 2001 00:01:25
Written by matroid - (13506 x read)
Vermischtes  \(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \)
Stefan Banach war ein starker Raucher (Ja, der mit dem Raum!). Ein Kollege von mir ist auch einer, und der hat immer mindestens 3 Feuerzeuge in der Tasche - nur für den Fall.
Aber Banach lebte in einer Zeit ohne Einweg-Feuerzeuge. In seiner Zeit hatte er vergleichbare Vorsichtsmaßnahmen getroffen. Er hatte nämlich immer 2 Schachteln Streichhölzer dabei - eine in der linken Hosentasche, eine in der rechten. Um eine Zigarette anzuzünden, griff er mit gleicher Wahrscheinlichkeit in eine seiner beiden Hosentaschen, entnahm die dortige Streichholzschachtel und entzündete seine Zigarette. Wenn er eine leere Schachtel gezogen hatte, dann ersetzte er sofort beide Schachteln durch neue, voll gefüllte!
Zündholzschachtel von Matroids Matheplanet

Immer wurden beide Schachteln ersetzt, die eine davon leer, aber was war mit der anderen? In den meisten Fällen wird diese noch einige Hölzer enthalten haben.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die weggeworfene zweite Schachtel noch eine bestimmte Anzahl Hölzer enthalten hat? \(\endgroup\)
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Matheplanet-Award: Verleihung der 18. Matheplanet-Mitglieder-Awards
Released by matroid on So. 26. Januar 2020 15:00:04
Written by matroid - (1254 x read)
Matheplanet-Award  \(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \)
Verleihung
der 18. Matheplanet-Mitglieder-Awards

26. Januar 2020
\(\endgroup\)
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Mathematik: Ramsey-Zahlen
Released by matroid on Mo. 23. Dezember 2019 20:06:37
Written by Triceratops - (366 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Ramsey-Zahlen

Silvester steht vor der Tür. Auf so einer Silvesterparty sehen sich manche Gäste zum ersten mal und kannten sich vorher nur über Ecken. Es gibt also unterschiedlich große Gruppen von einander Bekannten und Gruppen von einander Fremden. Wie groß können diese Gruppen sein? Oder genauer gesagt, wie groß muss die Anzahl der Gäste überhaupt sein, damit es auf jeden Fall eine Gruppe von $n$ Bekannten oder eine Gruppe von $m$ Fremden gibt? (Beides gleichzeitig können wir natürlich nicht erwarten.) Oder gibt es überhaupt so eine Anzahl? Das Theorem von Ramsey sagt, dass es tatsächlich eine solche Anzahl gibt. Die Mindestanzahl von benötigten Gästen wird als Ramsey-Zahl $R(n,m)$ definiert. Bis heute sind nur relativ wenige konkrete Werte von $R(n,m)$ bekannt. Es gilt zum Beispiel $R(4,4)=18$, was bedeutet, dass es auf einer Party mit $18$ Gästen (aber nicht unbedingt auf einer Party mit $17$ Gästen) auf jeden Fall $4$ Bekannte oder $4$ Fremde gibt. Dieser Artikel gibt eine kurze Einführung in Ramsey-Zahlen.

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Mathematik: Anzahl der Abbildungen $f$ mit $f^p = f^q$
Released by matroid on Fr. 13. Dezember 2019 21:45:02
Written by Triceratops - (417 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Anzahl der Abbildungen $f$ mit $f^p=f^q$

Für feste natürliche Zahlen $n,p,q$ bestimmen wir die Anzahl der Abbildungen $f : \{1,\dotsc,n\} \to \{1,\dotsc,n\}$ mit $f^p = f^q$, wobei $f^p$ die $p$-fache Verkettung von $f$ sei. Wir leiten insbesondere für festes $p \geq 2$ und $q=1$ die erzeugende Funktion $\exp(\sum_{d ~\mid~ p-1} \frac{1}{d} (z \cdot \exp(z))^d)$ für die Anzahlen her. Am Ende zeigen wir eine alternative Herleitung auf, die mit kombinatorischen Spezies arbeitet. Das folgende Bild zeigt zum Beispiel eine Abbildung $f$ mit $f^6=f^2$.

<math>
\newcommand{\rdot}{\textcolor{red}{$\bullet$}}
\newcommand{\bdot}{\textcolor{blue}{$\bullet$}}
\begin{tikzpicture}[inner sep=0pt,>=latex]
\node (W1) at (0,1) {\bdot};
\node (W2) at (1,1.8) {\bdot};
\node (W3) at (2,1) {\bdot};
\node (W4) at (1,0.2) {\bdot};
\node (A1) at (-1.1,1) {\rdot};
\node (A2) at (-2,2) {\rdot};
\node (A3) at (-2,0) {\rdot};
\node (B1) at (3.2,2) {\rdot};
\node (B2) at (3.2,0) {\rdot};
\draw [blue,->] (W1) to (W2);
\draw [blue,->] (W2) to (W3);
\draw [blue,->] (W3) to (W4);
\draw [blue,->] (W4) to (W1);
\draw [red,->] (A1) to (W1);
\draw [red,->,bend right=10] (A2) to (A1);
\draw [red,->,bend left=10] (A3) to (A1);
\draw [red,->,bend left=10] (B1) to (W3);
\draw [red,->,bend right=10] (B2) to (W3);
\end{tikzpicture}</math>
\(\endgroup\)
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Mathematik: Ein schwieriges Problem auf der IMO
Released by matroid on So. 08. Dezember 2019 08:36:17
Written by trunx - (1789 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)\(\usepackage{setspace}\)
Auf der Wikipediaseite "Internationale Mathematik-Olympiade" werden die zwei schwersten Probleme genannt, die je auf einer IMO gestellt worden sind. Beide Aufgaben konnten nur von 11 Schülern gelöst werden, einmal (1986) bei insgesamt 210, das zweite Mal (1988) bei insgesamt 268 Teilnehmern.

Während für die erste dieser Aufgaben auch eine Lösung verlinkt wurde, habe ich für die zweite Aufgabe keine Lösung im Internet gefunden (aber auch nicht wirklich intensiv danach gesucht). Da es zudem hieß, dass weder die Mitglieder des Aufgabenausschusses noch von ihnen beauftragte Mathematiker des entsprechenden Fachgebietes (Zahlentheorie) die Aufgabe in 6h lösen konnten, war bei mir das Interesse geweckt.

Die Aufgabe lautete (siehe hier):

Let \(a\) and \(b\) positive integers such that \(ab+1\) divides \(a^2 +b^2\). Show that
\[\frac{a^2 +b^2}{ab+1}\] is the square of an integer.

(dt. lt. wikipedia: Sind \(a\) und \(b\) natürliche Zahlen, sodass \[c=\frac{a^2 +b^2}{ab+1}\] ebenfalls eine natürliche Zahl ist, ist c sogar eine Quadratzahl.)

Ich habe deutlich mehr als 6h für die Lösung gebraucht, aber es hat Spass gemacht. Daher, wer es selbst probieren will, macht jetzt besser den PC aus und rechnet!

Nachtrag: Die nachgelieferte Zuendeführung des angekündigten Beweises findet sich im nächsten Abschnitt in blauer Schrift. \(\endgroup\)
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Mathematik: Galois-Verbindungen
Released by matroid on Do. 21. November 2019 22:39:52
Written by Triceratops - (504 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Galois-Verbindungen

Ausgehend von einer einfachen Beobachtung zwischen der Bildmenge und der Urbildmenge gelangen wir zum Begriff einer Galois-Verbindung. Dieser wird in diesem Artikel untersucht. Wir beweisen einfache Eigenschaften von Galois-Verbindungen und geben ein paar einfache Anwendungen an. Insbesondere finden wir damit einen konzeptionellen Beweis für eine ganze Reihe von Charakterisierungen von injektiven bzw. surjektiven Abbildungen. Im letzten Abschnitt zeigen wir dann die Nützlichkeit von Galois-Korrespondenzen auf, wofür der Hauptsatz der Galoistheorie das prominenteste Beispiel ist. Abgesehen von den Beispielen sind für das Verständnis dieses Artikels lediglich Grundbegriffe der Mengenlehre und der Ordnungstheorie nötig.
\(\endgroup\)
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Mathematik: 4-reguläre planare Einheits-Dreieck-Graphen
Released by matroid on Mo. 18. November 2019 21:17:18
Written by Slash - (316 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Wie man 4-reguläre planare Graphen nur aus kongruenten gleichseitigen Dreiecken konstruiert

Lassen sich kongruente gleichseitige Dreiecke in der Ebene ohne Überschneidungen derart aneinanderlegen, dass sich immer genau zwei Ecken berühren ohne dabei größere Dreiecke zu bilden? Und wenn ja, wie viele Dreiecke benötigt man mindestens dafür?

Eine Aufgabe, die mit entsprechendem Material, etwa kleine Dreiecke aus Pappe, sogar Kinder verstehen und angehen können, deren Lösung aber ganz schön raffiniert ist.
\(\endgroup\)
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Offene Fragen: Urknall
Released by matroid on So. 10. November 2019 15:35:22
Written by trunx - (475 x read)
Physik  \(\begingroup\)\(\usepackage{setspace}\)

Der Urknall

Mythischer Anfang


Die Idee des Gewordenseins des Universums ist uralt, in praktisch allen Kulturen gibt es Mythen über einen Anfang der Welt. So beginnt zB. eine rituelle Formel im indogermanischen Schöpfungsmythos:

"Das erfuhr ich unter den Menschen als der Wunder größtes,
dass Erde nicht war, noch Himmel oben,
weder Baum noch Berg noch irgendwas.
Nicht schien die Sonne, nicht leuchtete der Mond,
nicht breitete sich aus das herrliche Meer.
(in der indischen Rigveda folgt:
Weder Sein war damals noch Nichtsein.)
Nichts war - nur geheimnisvoller, tiefer Abgrund."

Dieses Nichts, diese dunkle Leere war kein Vakuum, sondern ein fern jeder Vorstellung mit mächtigen magischen Kräften erfüllter Ort. In der Regel entstanden dort die ersten Riesen oder vorzeitlichen Giganten und die Götter und irgendwann kam es zum Kampf zwischen den beiden, den die Götter gewannen. Aus den Überresten der Giganten erschufen die Götter dann die Welt, so wie wir sie kennen (zB. besteht das Meer oft aus dem Blut eines Riesen) und später auch die Menschen. Die Griechen nannten dieses Nichts das Chaos, im Judentum ist es als Tohuwabohu bekannt.

In der Bibel (AT) beginnt die Sache einfacher: "Am Anfang schuf Gott Himmel und Erde." Gott ist also bereits da und woraus er Himmel und Erde machte, wird nicht erwähnt. Im NT dagegen heisst es "Im Anfang war das Wort." Dieses Wort kann man sich vielleicht besser als Gedanke oder Gedankenblitz denken, sd. der Anfang des Universums in einer besonderen Art Strahlung, dem primären Licht Gottes bestand. Das sekundäre Licht wurde später geschaffen.

Unter den christlichen Gnostikern gab es allerdings eine bezeichnende Idee, aus was Gott die Welt gemacht hat, nämlich aus dem gefallenen Erzengel Lucifer/Satan und seinen Heerscharen. In allem und jedem weltlichen Ding, einschliesslich der Menschen ist lediglich sekundäres Licht, doch durch gute Taten ist Erlösung möglich. Einzig Christus war und brachte das primäre Licht in die Welt.

Nun gut. Machen wir weiter mit Physik. \(\endgroup\)
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Unsere Mathematikaufgabe – Begleitschrift zur 55. Bundesrunde der Mathematik-Olympiade

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