Mathematik: Ausdehnen von algebraischen Gleichungen
Released by matroid on So. 12. Juli 2020 21:52:37
Written by Triceratops - (509 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Ausdehnen von algebraischen Gleichungen

Der Satz von Cayley-Hamilton aus der linearen Algebra ist ein schönes Beispiel dafür, dass man einen Satz über komplexe Matrizen mit einem formalen Argument auf Matrizen über kommutativen Ringen verallgemeinern kann. In diesem Artikel soll das allgemeine Prinzip dahinter erklärt werden. Als Beispiele dafür besprechen wir die Multiplikativität von Determinanten, den Entwicklungssatz von Laplace, die Brahmagupta–Fibonacci-Identität und die Vier-Quadrate-Formel von Euler, die Vandermonde-Identität, die Formel für das charakteristische Polynom eines Matrixproduktes und eben den Satz von Cayley-Hamilton.
\(\endgroup\)
mehr... | 22263 Bytes mehr | 2 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


Stern Mathematik: Kategorientheorie
Released by matroid on Mo. 15. März 2004 22:07:42
Written by Zaos - (19437 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)
Im Laufe eines Mathematikstudiums begegnen einem Studenten viele, zum Teil verschiedenartige Strukturen: Gruppen, Körper und Vektorräume in der Linearen Algebra, Stetigkeit und Konvergenz (in metrischen Räumen), differenzierbare Strukturen (in normierten Vektorräumen) in der Analysis. Später begegnen einem noch weitere algebraische Strukturen wie Ringe und Moduln, und andere haben mit Sigma Algebren und Maßräumen in der Stochastik zu tun.
Die Kategorientheorie ist ein Gebiet der Mathematik, das die Gemeinsamkeiten all dieser Strukturen in Worte fasst und die strukturellen Unterschiede anhand der Wechselwirkungen unter diesen Strukturen (Kategorien genannt) zu erfassen versucht.
Vom Wesen her ist sie sehr abstrakt, aber wie viele abstrakte Theorien, ist auch diese meiner Meinung nach höchst elegant.

Mit diesem Artikel will Ich einen Einblick in die Sprache der Kategorientheorie geben. \(\endgroup\)
mehr... | 12804 Bytes mehr | 22 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


Stern Mathematik: Die Taylorentwicklung mit linearer Algebra verstehen
Released by matroid on Mi. 01. Juli 2020 18:12:01
Written by Vercassivelaunos - (432 x read)
Analysis  \(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\)
Die Grundidee der Ableitung einer Funktion $f$ ist, dass die Ableitung eine lineare Näherung von $f$ darstellen soll. In der Analysis 1 tut sie dies für gewöhnlich in Form der Tangentensteigung. Die Ableitung ist die Steigung einer (affin) linearen Funktion, deren Graph sich an den von $f$ anschmiegt. In der Analysis 2 wird das Konzept der linearen Näherung auf mehrere Dimensionen ausgeweitet und gleichzeitig verstärkt: Die totale Ableitung $\D f$ einer Funktion ist jetzt im wahrsten Sinne des Wortes eine lineare Abbildung, die in einem gewissen Sinne $f$ gut nähert. Ihre Darstellungsmatrix ist die bekannte Jacobimatrix. Wir werden im Folgenden sehen, dass die Taylorentwicklung eine Verallgemeinerung dieses Konzepts der linearen Näherung darstellt. Wir werden dabei feststellen, dass auch höhere Ableitungen in mehrdimensionalen Räumen in der Sprache der linearen Algebra beschrieben werden können, wenn man höhere Ableitungen von Funktionen mehrerer Variablen als Multilinearformen interpretiert. Wir wollen ein tieferes Verständnis für die Taylorentwicklung auch in mehreren Dimensionen entwickeln und werden bemerken, dass die mehrdimensionale und die eindimensionale Taylorentwicklung gar nicht so verschieden sind. Wir werden dabei in der theoretischen Beschreibung vollständig auf Multiindizes, Multinomialkoeffizienten und partielle Ableitungen verzichten. Nebenbei können wir die Definition höherer Ableitungen auch noch erweitern.
Am Schluss werden einige beispielhafte Taylorentwicklungen in 2d berechnet und graphisch dargestellt. \(\endgroup\)
mehr... | 31677 Bytes mehr | Kommentare? | Druckbare Version  | Mathematik


Mathematik: Lineare Algebra mit dem Austauschverfahren
Released by matroid on Do. 04. Juni 2020 17:16:25
Written by lewis - (533 x read)
Lineare Algebra  \(\begingroup\)
Das Austauschverfahren ist ein allgemeines — inzwischen leider vernachlässigtes — Werkzeug der Linearen Algebra. Mit entsprechenden Anpassungen kann man damit
  • einen Basiswechsel durchführen,
  • den Rang einer Matrix ablesen,
  • Matrizen invertieren,
  • lineare Gleichungssysteme und Matrizengleichungen lösen,
  • Determinanten berechnen,
  • und Eigenvektoren finden.
\(\endgroup\)
mehr... | 13921 Bytes mehr | 4 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


Stern Physik: Domino Day
Released by matroid on So. 31. Mai 2020 21:15:15
Written by MontyPythagoras - (599 x read)
Physik  \(\begingroup\)

Domino Day


Domino AnimationIn meiner nicht enden wollenden Artikelreihe "Physikalisches Wissen, das keiner braucht" möchte ich mich dieses Mal mit dem erstaunlich komplexen physikalischen Phänomen des Dominoeffektes befassen, und zwar soll berechnet werden, mit welcher Geschwindigkeit sich das Umfallen der Dominosteine fortpflanzt. Vor langer Zeit gab es hier auf dem Matheplaneten schon einmal einen Thread zu dem Thema, der aber über ein paar anfängliche Überlegungen nicht hinaus kam. Also bestmögliche Voraussetzungen, um beim nächsten Mal, wenn jemand vom Dominoeffekt anfängt, mit Klugscheißerwissen zu glänzen! \(\endgroup\)
mehr... | 22031 Bytes mehr | 4 Kommentare | Druckbare Version  | Physik


buhs Montagsreport: Die Hydra von Strigidia
Released by matroid on Mo. 27. April 2020 00:00:39
Written by Leonardo_ver_Wuenschmi - (514 x read)
Bildung  \(\begingroup\)
Urlogo für buhs Montagsreport
Die Hydra von Strigidia

Ein reverses Märchen*


Ruhe***. Bei meinen Forschungen in der Bibliothek zu Fibona fand ich in einer Sammlung alter Geschichten auch die folgende Sage:

Im Hafen von Strigidia steht die Statue einer Hydra.
Blassblau thront sie auf einer Säule mitten im Hafenbecken.
Im Hafen tummeln sich die roten Boote der Fischer, die blauen Clipper derer, die nach R-Folgen jagen, und die gelben Pontons derer,
\(\endgroup\)
mehr... | 4455 Bytes mehr | 8 Kommentare | Druckbare Version  | buhs Montagsreport


Mathematik: Calculating sequence element a(16) of OEIS A108235
Released by matroid on Sa. 18. April 2020 18:31:10
Written by StrgAltEntf - (939 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)
Abstract

The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) lists under the identifier A108235 the following sequence:

$a(n)=$ Number of partitions of $\{1,2,...,3n\}$ into $n$ triples $(X,Y,Z)$ each satisfying $X+Y=Z$.

The following values can be found there (status on Apr 18 2020)
n       a(n)
1          1
2          0
3          0
4          8
5         21
6          0
7          0
8       3040
9      20505
10         0
11         0
12  10567748
13 103372655
14         0
15         0

For example, $a(4)=8$, and there are the following eight partitions of set $\{1,2,...,12\}$.
No. 1 (1 5 6) (2 8 10) (3 9 12) (4 7 11)
No. 2 (1 5 6) (2 9 11) (3 7 10) (4 8 12)
No. 3 (1 6 7) (2 10 12) (3 8 11) (4 5 9)
No. 4 (1 8 9) (2 10 12) (3 4 7) (5 6 11)
No. 5 (1 9 10) (2 4 6) (3 8 11) (5 7 12)
No. 6 (1 10 11) (2 5 7) (3 6 9) (4 8 12)
No. 7 (1 11 12) (2 6 8) (3 7 10) (4 5 9)
No. 8 (1 11 12) (2 7 9) (3 5 8) (4 6 10)

Now we are happy to announce that we can add two more members to this sequence. The following holds.
\[a(16)=142664107305\]
\[a(17)=1836652173363\]
Furthermore, we were able to calculate the member \(a'(43)\) for the related sequence A002849.
\[a'(43)=16852166906\]


\(\endgroup\)
mehr... | 25436 Bytes mehr | 7 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


Mathematik: Lösen von Linearen Optimierungsproblemen mit Java
Released by matroid on Di. 07. April 2020 21:44:30
Written by Delastelle - (392 x read)
Software  \(\begingroup\)
Im Rahmen meiner Diplomarbeit habe ich im Jahr 2001 C/C++ Programme von Robert J.Vanderbei zur Linearen Optimierung in Java implementiert. Kern sind 2 LP-Löser - ein Simplexartiges Verfahren und ein Innere-Punkt-Verfahren.
Damit kann man schnell kleine, mittlere und auch große Optimierungsprobleme lösen. \(\endgroup\)
mehr... | 11286 Bytes mehr | Kommentare? | Druckbare Version  | Mathematik


buhs Montagsreport: Neues MileLight der Forschung
Released by matroid on Mi. 01. April 2020 00:00:21
Written by buh - (433 x read)
Matroids Matheplanet  \(\begingroup\)
Das Gerno-Logo für buhs Montagsreport
Neues MileLight der Forschung
Subtraktion endgültig kommutativ


03869 Duemmer*. Noch immer ist die Welt nicht perfekt.
Noch immer fehlen Beweise.
Noch ist Hoffnung.
Unermüdlich forschen und wirken Gerno Twolte**&Team©, um der Mathematik ein Stück weiter den Weg zu ebnen.
Und wieder einmal ist es soweit: Der Erbe der Titanen, der Plotter der Smartboardrunde, der unermüdliche Rächer der Inversen hat ein weiteres MileLight**** in harter Teamarbeit bewiesen:

Die Subtraktion ist kommutativ*!

Unglaublich, aber wahr: Was niemand bisher für möglich hielt, konnten Gerno Twolte&Team© \(\endgroup\)
mehr... | 2999 Bytes mehr | 5 Kommentare | Druckbare Version  | buhs Montagsreport


[Weitere 8 Artikel] [Neueste Artikel] [Eine Auswahl von 'Best-Of'-Artikeln]
 

  
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]