Das Erweiterungsproblem von Gruppen

Eines der grundlegendsten Paradigmen der Gruppentheorie besteht darin, eine Gruppe mit gegebenem Normalteiler zu untersuchen, indem man die Gruppen und separat betrachtet, um von ihren Eigenschaften wiederum Rückschlüsse auf die Struktur von zu ziehen. Für viele Fragestellungen funktioniert dieses Vorgehen wunderbar. Zum Beispiel lässt sich zeigen, dass auflösbar ist, indem man die Auflösbarkeit von und beweist. Es ist daher eine naheliegende Frage, wie viel wir wirklich über aussagen können, wenn wir und ganz genau kennen.

Es ist keineswegs so, dass durch und eindeutig bestimmt ist. Im Allgemeinen gibt es für vorgegebene Gruppen und viele Gruppen , die einen zu isomorphen Normalteiler besitzen, sodass der zugehörige Quotient isomorph zu ist - allen voran das direkte Produkt . Man spricht bei solchen Gruppen von Erweiterungen von um . Die Klassifikation aller Erweiterungen (für spezielle Arten von Gruppen und ) ist bis heute Gegenstand aktiver Forschung.

In diesem Artikel möchte ich eine wohlbekannte Charakterisierung aller Erweiterungen einer Gruppe um eine abelsche Gruppe vorstellen und anschließend zeigen, wie sich der Satz von Schur-Zassenhaus als einfache Folgerung daraus ergibt. Dieser Satz besagt, dass jeder Hall-Normalteiler einer endlichen Gruppe ein Komplement besitzt.