Mathematik: Ein einfacher Beweis für den Hauptsatz der Galoistheorie
Released by matroid on So. 20. Dezember 2020 06:01:00
Written by Triceratops - (538 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Ein einfacher Beweis für den Hauptsatz der Galoistheorie

Ich habe mir einen einfachen Beweis für den Hauptsatz der Galoistheorie überlegt. Er kommt gänzlich ohne Dimensionsargumente aus. Die eine Hälfte des Beweises ergibt sich letztlich aus Grundlagen über Homomorphismen in einen algebraischen Abschluss, wohingegen die andere Hälfte auf einem kombinatorischen Resultat basiert, nämlich dass ein Körper nicht als Vereinigung von endlich vielen echten Teilkörpern geschrieben werden kann. Ich setze nur Grundbegriffe von Körpererweiterungen als bekannt voraus und stelle ebenfalls die benötigten Grundlagen von separablen und normalen Erweiterungen vor.
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Stern Mathematik: Das Erweiterungsproblem von Gruppen
Released by matroid on Do. 21. August 2014 21:44:28
Written by Dune - (1928 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Das Erweiterungsproblem von Gruppen

Eines der grundlegendsten Paradigmen der Gruppentheorie besteht darin, eine Gruppe <math>G</math> mit gegebenem Normalteiler <math>N</math> zu untersuchen, indem man die Gruppen <math>N</math> und <math>G/N</math> separat betrachtet, um von ihren Eigenschaften wiederum Rückschlüsse auf die Struktur von <math>G</math> zu ziehen. Für viele Fragestellungen funktioniert dieses Vorgehen wunderbar. Zum Beispiel lässt sich zeigen, dass <math>G</math> auflösbar ist, indem man die Auflösbarkeit von <math>N</math> und <math>G/N</math> beweist. Es ist daher eine naheliegende Frage, wie viel wir wirklich über <math>G</math> aussagen können, wenn wir <math>N</math> und <math>G/N</math> ganz genau kennen.

Es ist keineswegs so, dass <math>G</math> durch <math>N</math> und <math>G/N</math> eindeutig bestimmt ist. Im Allgemeinen gibt es für vorgegebene Gruppen <math>N</math> und <math>Q</math> viele Gruppen <math>G</math>, die einen zu <math>N</math> isomorphen Normalteiler besitzen, sodass der zugehörige Quotient isomorph zu <math>Q</math> ist - allen voran das direkte Produkt <math>N \times Q</math>. Man spricht bei solchen Gruppen von Erweiterungen von <math>Q</math> um <math>N</math>. Die Klassifikation aller Erweiterungen (für spezielle Arten von Gruppen <math>N</math> und <math>Q</math>) ist bis heute Gegenstand aktiver Forschung.

In diesem Artikel möchte ich eine wohlbekannte Charakterisierung aller Erweiterungen einer Gruppe <math>Q</math> um eine abelsche Gruppe <math>N</math> vorstellen und anschließend zeigen, wie sich der Satz von Schur-Zassenhaus als einfache Folgerung daraus ergibt. Dieser Satz besagt, dass jeder Hall-Normalteiler einer endlichen Gruppe ein Komplement besitzt.
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buhs Montagsreport: 4. Advent
Released by matroid on Mo. 21. Dezember 2020 19:09:37
Written by Leonardo_ver_Wuenschmi - (255 x read)
Adventskalender  \(\begingroup\)
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4. Advent

 


Ruhe. Stille liegt auf der Rückseite des Matheplaneten. Stille und Friede. Der Himmel sieht aus, als versuche er, dieses seltsame Jahr zu vertreiben.

Winterstimmung

Selbst die Bäume achten auf Abstand. \(\endgroup\)
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Physik: Die Entstehung und Natur von Wasserwellengruppen
Released by matroid on So. 13. Dezember 2020 19:29:11
Written by Roland17 - (258 x read)
Physik  \(\begingroup\)
Einleitung:

Das bestehende Modell für die Erklärung der Wellengruppen in Wasser (s. Abb. 1) von Kelvin (ehemals Thomson, 1887), ist unvollkommen, denn es behauptet für alle Wellenschleppen einen Öffnungswinkel von 2∙19,47° (s. Anhang, Abb. 9.6) und dass die Gruppengeschwindigkeit halb so groß wie die Phasengeschwindigkeit sei. Satellitenaufnahmen bei Google Maps zeigen aber, dass diese Winkel meistens kleiner, sogar viel kleiner, jedenfalls aber unterschiedlich sind (Abb. 9.1 – 9.5)
Rabaud und Moisy (1) modifizierten ausgehend von Satellitenbildern die Theorie 2013 dahingehend, dass der Öffnungswinkel für kleine Geschwindigkeiten (z.B. von Segelschiffen) konstant 19,5° betrage, bei höheren Geschwindigkeiten aber abnehme.
Beide Modelle erklären Wellengruppen mit der Interferenz von sehr vielen Teilwellen unterschiedlicher Wellenlängen und mit der Dispersion in Wasser (2), was zu der halben Gruppengeschwindigkeit (3) und dem federartigen Ausfächern an den Rändern der Schleppe (s. Abb. 9.5) führe. Dem liegt aber eine starke Vereinfachung zugrunde, nämlich die Beschränkung auf den ersten Summanden einer Taylor-Reihe (3). Es handelt sich also um eine Näherung an die Wirklichkeit.
Außerdem fehlen Erklärungen für die Entstehung der vielen Teilwellen unterschiedlicher Wellenlänge, für die Entstehung der Wellengruppen aus der Bugwelle des Wellenerregers und am Heck des Erregers und für die Wellen hinter dem Erreger (s. Abb. 1). Vor allem fehlt eine Beschreibung und Erklärung der Bewegung der Wasserteilchen in der Wellengruppe. All dies wird im Folgenden versucht.


Abb. 1: Wellenschleppe einer Ente

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Physik: Die Gruppengeschwindigkeit von Wasserwellen
Released by matroid on Di. 08. Dezember 2020 20:50:40
Written by Roland17 - (323 x read)
Physik  \(\begingroup\)
Einleitung

Wie ist die Gruppengeschwindigkeit der keilförmigen Wellenschleppe hinter einem Well-Erreger, z.B. einem Boot, Schiff oder Wasservogel (s. Abb. 1 und 4), zu berechnen bzw. wovon hängt sie wie ab?


Abb. 1: Boot mit Wellenschleppe (1)

Allgemein gilt: fed-Code einblenden

Dabei ist fed-Code einblenden die Gruppengeschwindigkeit, also die Geschwindigkeit, mit welcher sich die V-förmige Wellengruppe jeweils senkrecht zu ihren beiden Fronten ausbreitet. k ist die Wellenzahl k=2π/λ , c ist die Phasengeschwindigkeit (in der Mitte) der Wellen in der Wellengruppe, λ deren Wellenlänge.
Nach (2) gilt für Schwerewellen in Wasser: fed-Code einblenden \(\endgroup\)
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buhs Montagsreport: DULLELER*: So ward es.
Released by matroid on Mo. 07. Dezember 2020 00:00:37
Written by buh - (219 x read)
Matroids Matheplanet  \(\begingroup\)
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DULLELER*: So ward es.

Wird es so gewesen sein?


Zinbiel. Alles hat ein Ende.
Das Jahr.
Die Bachblütentherapie.
Das Wort zum Sonntag.

Dass Trump, die reellen Zahlen und die Viren es nicht finden, spricht nicht dagegen.

2020 hat ein Ende. Und in der Zeit direkt davor, wenn auf leergefegten Märkten einsame Glühweinpanscher von abstandsuchenden eseltreibenden Punkern angerufen werden: „Wirfste mal'n Euro?“, wenn der Onlinegutschein alternativloses Weihnachtsgeschenk wird und im Dezemberwind die Kurve flattert, wenn der kleine Geist die große Einfachheit anruft, dann ist die Zeit der apokalyptischen Rückschau, die Zeit des Blicks auf die Visionen und deren Eintritt; Zeit also für buhs MontagsReport, die Realität mit der Wirklichkeit zu vereinen und zu zeigen, dass der Le Recht (oder recht?) hatte. \(\endgroup\)
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Mathematik: Grundlagen der linearen Algebra über F_1
Released by matroid on Fr. 20. November 2020 14:29:42
Written by Triceratops - (347 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Grundlagen der linearen Algebra über $\mathbb{F}_1$

Es gibt verschiedene Definitionen eines "Körpers mit einem Element", notiert mit $\IF_1$. In diesem Artikel stellen wir die wohl einfachste davon vor und betreiben etwas lineare Algebra darüber: Ein $\IF_1$-Vektorraum ist ganz einfach eine punktierte Menge, und $\IF_1$ ist $(\{0,1\},0)$. Lineare Algebra über $\IF_1$ ist also eng mit Kombinatorik verwandt, und viele Konstruktionen aus der gewöhnlichen linearen Algebra lassen sich nun kombinatorisch deuten und vereinfachen. Aber auch umgekehrt: so können wir etwa den Binomialkoeffizienten $\smash{\binom{n}{k}}$ als die Anzahl der $k$-dimensionalen Unterräume eines $n$-dimensionalen $\IF_1$-Vektorraumes definieren, womit wir eine Brücke zur kombinatorischen Definition der $q$-Binomialkoeffizienten schlagen, über die ich kürzlich hier geschrieben habe.
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Mathematik: Ein paar Worte zum Computerprogramm Zillions of Games
Released by matroid on Mo. 26. Oktober 2020 22:03:44
Written by Delastelle - (404 x read)
Software  \(\begingroup\)
Um das Jahr 1999 erschien das Computerspiel "Zillions of Games".
Mit ihm kann man eine Vielzahl von Brettspielen spielen.
Durch Regelfiles und Suchbaumtechniken kann man gegen den Computer spielen. \(\endgroup\)
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Mathematik: Einführung in q-Binomialkoeffizienten
Released by matroid on Di. 20. Oktober 2020 06:42:45
Written by Triceratops - (495 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Einführung in $q$-Binomialkoeffizienten

Ausgehend von der kombinatorischen Fragestellung, wieviele Unterräume ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper $\IF_q$ hat, schauen wir uns $q$-Binomialkoeffizienten $\smash{\binom{n}{k}_q}$ genauer an. Man kann sie als eine Verfeinerung der gewöhnlichen Binomialkoeffizienten ansehen: es sind nämlich Polynome in $q$, deren Koeffizientensumme $\smash{\binom{n}{k}}$ ist. Neben der allgemeinen Definition und einigen Rechenregeln charakterisieren wir sie auch mit einem nicht-kommutativen Binomialsatz und beweisen verschiedene kombinatorische Interpretationen ihrer Koeffizienten.
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