Mathematik: Limes-Skizzen und ihre Modell-Kategorien
Released by matroid on Sa. 20. März 2021 11:04:58
Written by Triceratops - (157 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Limes-Skizzen und ihre Modell-Kategorien

Üblicherweise studiert man universelle Eigenschaften von Objekten innerhalb einer festen Kategorie. Weil aber unter geeigneten Größenannahmen auch Kategorien eine Kategorie bilden (genauer gesagt, eine $2$-Kategorie), kann man auch universelle Eigenschaften von Kategorien selbst untersuchen. Wir beschäftigen uns hier ausschließlich mit kovollständigen Kategorien. Konkret fragen wir uns also, wie sich die kostetigen Funktoren von typischen Kategorien wie zum Beispiel $\mathbf{Mon}$ oder $\mathbf{Pos}$ in eine beliebige kovollständige Kategorie $\mathcal{C}$ klassifizieren lassen. Viele Kategorien aus der Praxis lassen sich als die Kategorie $\mathbf{Mod}(\mathscr{S})$ der Modelle einer Limes-Skizze $\mathscr{S}$ darstellen. Wir werden diese Konzepte in diesem Artikel vorstellen und damit unser Hauptresultat, die universelle Eigenschaft $\mathrm{Hom}_c(\mathbf{Mod}(\mathscr{S}),\mathcal{C}) \simeq \mathbf{Mod}_{\mathcal{C}}(\mathscr{S}^{\mathrm{op}})$ beweisen. Sie besagt im Wesentlichen, dass $\mathbf{Mod}(\mathscr{S})$ das universelle Beispiel einer kovollständigen Kategorie mit einem Modell von $\mathscr{S}^{\mathrm{op}}$ ist. Dann schauen wir uns einige Beispiele wie etwa $\mathrm{Hom}_c(\mathbf{Mon},\mathcal{C}) \simeq \mathbf{CoMon}(\mathcal{C})$ genauer an.
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Stern Mathematik: Überschallmusik
Released by matroid on So. 24. April 2016 12:23:23
Written by MontyPythagoras - (1026 x read)
Physik  \(\begingroup\)

Überschallmusik


ÜberschallknallIn meiner soeben ins Leben gerufenen Artikelreihe "Physikalisches Wissen, das keiner braucht" möchte ich hier die hörbaren Ergebnisse eines Gedankenexperiments präsentieren, und zwar, wie es sich anhört, wenn sich eine Musik spielende Schallquelle mit Überschallgeschwindigkeit am Hörer vorbeibewegt.
Es ist allgemein bekannt, dass sich bei einer sich bewegenden Schallquelle die Tonhöhe für den ruhenden Beobachter verändert, wenn sich die Schallquelle auf den Beobachter zu oder von ihm weg bewegt. Verantwortlich dafür ist der sogenannte Doppler-Effekt. Innerhalb des Schallkegels gibt es aber noch einen weiteren, interessanten Effekt, nämlich die Umkehr des Schalls. Der Schall, der quasi von der Schallquelle abgehängt wurde, trifft nämlich "rückwärts" beim Beobachter ein, wenn die Schallquelle schon am Beobachter vorbeigeflogen ist.
Diesen Effekt habe ich in diesem Artikel berechnet und natürlich auch in Form von MP3-Sound-Files hörbar gemacht. \(\endgroup\)
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buhs Montagsreport: Unser Planet
Released by matroid on Do. 18. März 2021 00:00:00
Written by buh - (162 x read)
Matroids Matheplanet  \(\begingroup\)
Jubilogo in buhs Montagsreport
Unser Planet

20 Jahre - 88 Millionen


Zinbiel: Tiefschwarze Stille. Tonlose Dunkelheit.
Es ist null Uhr.
Achtzehnter März.
DA!
Ein Lichtpunkt an der Stirnwand, blass zunächst, dann langsam, ganz langsam heller werdend. Der Punkt wird ein Bild:

20 von hinten

Eine Kadenz in 3B* erklingt, an allen Wänden flammen Monitore auf, und die 32 Seniolos**
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buhs Montagsreport: Goldbach oder Collatz gelöst?
Released by matroid on Mo. 08. März 2021 00:00:04
Written by Leonardo_ver_Wuenschmi - (359 x read)
Matroids Matheplanet  \(\begingroup\)
Reverses Urlogo für buhs Montagsreport
Goldbach oder Collatz gelöst?

Unerklärliche Hektik im MM


Zinbiel. Im Marthermatischen Museum zu Zinbiel herrscht derzeit große
Unruhe: Sichtfenster werden abgedunkelt, Trennwände umgestellt, vom
Eingang an werden GlaSchWas* angeordnet. Im Bereich
"Sonderausstellungen", in dem derzeit noch aus dem "Ganz Schwarzen
Loch" unsichtbare dunkle Materie sprudelt, scheint sich trotz der schweren
Zeiten***ein Totalumbau anzubahnen. Unmengen an Kabeln, Leuchten,
Monitoren und Tapeten werden angeliefert. Wilde Spekulationen schießen
durch die reversianische Presse.
Welche Sensation soll hier präsentiert werden?? \(\endgroup\)
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Mathematik: Über die Adjunktion von Wurzeln
Released by matroid on Sa. 20. Februar 2021 08:27:16
Written by Triceratops - (251 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Über die Adjunktion von Wurzeln

Eine beliebte Aufgabe aus der Algebra ist es, den Grad und die Galoisgruppe von Erweiterungen der Form $\IQ(\sqrt{p},\sqrt{q},\dotsc)$ für konkrete Beispiele von Primzahlen $p,q,\dotsc$ zu bestimmen, zum Beispiel von $\IQ(\sqrt{2},\sqrt{3})$. Außerdem soll oftmals ein primitives Element und dessen Minimalpolynom gefunden werden. In diesem Artikel behandeln wir allgemeiner Erweiterungen der Form $K(\sqrt{\Delta})$ eines Körpers $K$ der Charakteristik $\neq 2$ für beliebige Untergruppen $\Delta \subseteq K^{\times}$. Es handelt sich um einen relativ einfachen Spezialfall der Kummertheorie, nämlich für den Exponenten $2$.
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Mathematik: Die radiale Brachistochrone: Think big
Released by matroid on Mo. 01. Februar 2021 22:06:00
Written by MontyPythagoras - (520 x read)
Physik  \(\begingroup\)

Die radiale Brachistochrone: Think big


Brachistochrone AnimationIn meiner Artikelreihe "Physikalisches Wissen, das keiner braucht" möchte ich mich diesmal mit dem beliebten Brachistochronen-Problem befassen. Mit dieser Problemstellung haben sich schon vor mehr als drei Jahrhunderten bekannte Wissenschaftler wie Bernoulli, Leibniz und Newton im homogenen Gravitationsfeld befasst. Also sowohl der betrachtete Körper als auch die Wissenschaftler befanden sich im homogenen Gravitationsfeld - letztere zumindest näherungsweise.
Die Lösung dieses Problems, also die schnellstmögliche Fallkurve zwischen zwei Punkten im homogenen Gravitationsfeld ist bekanntermaßen die Zykloide. Auch hier auf dem Matheplaneten hat es dazu schon Artikel gegeben, z.B. hier.
Getreu dem Motto "Think big" habe ich mich dagegen damit beschäftigt, wie die Brachistochrone in einem radialen Schwerefeld wie dem eines Planeten aussieht. Dazu war auch im Internet nicht all zu viel zu finden, außer dem Artikel in der Quellenangabe, dessen Autoren sich alle Mühe gegeben haben, das Problem möglichst kompliziert aussehen zu lassen. Es geht aber auch deutlich übersichtlicher. \(\endgroup\)
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Mathematik: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
Released by matroid on Fr. 29. Januar 2021 08:31:10
Written by easymathematics - (961 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)\(\newcommand{\ggT}{\mathbb{ggT}}\)

Der logische Zusammenhang zwischen
dem Sinussatz und dem Kosinussatz



Hallo,
in diesem Artikel soll es um folgende Fragestellung(en) gehen.

(1) Lässt sich der Sinussatz mit Hilfe des Kosinussatzes beweisen?
(2) Lässt sich der Kosinussatz mit Hilfe des Sinussatzes beweisen?
(3) Sind beide Sätze sogar äquivalent?

Die Antwort: Beide Sätze sind äquivalent.

Anmerkung: Wir reden hier von Dreiecken in der Ebene.

Der Beweis ist, wie man erwarten darf, simpel.
Die Aussage als solche dennoch erwähnenswert. \(\endgroup\)
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Matheplanet-Award: Verleihung der 19. Matheplanet-Mitglieder-Awards
Released by matroid on So. 24. Januar 2021 15:00:00
Written by matroid - (1088 x read)
Matheplanet-Award  \(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Verleihung
der 19. Matheplanet-Mitglieder-Awards

24. Januar 2021
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Mathematik: Über Berührungen und Ableitungen
Released by matroid on Di. 19. Januar 2021 06:36:43
Written by Triceratops - (279 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Über Berührungen und Ableitungen

In dem Buch 'Grundzüge der modernen Analysis' von Dieudonné wird der Begriff der Differenzierbarkeit einer Funktion zwischen normierten Räumen sehr anschaulich und geometrisch mithilfe einer Berührungsrelation eingeführt. Die Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt wird dadurch definiert, dass sie dort von einer affin-linearen Funktion berührt wird. Leider taucht diese Relation dort nur kurz in der Definition auf und wird nicht weiter benutzt, und andere Quellen verwenden ohnehin einen eher rechnerischen Zugang. In diesem Artikel möchte ich die Berührungsrelation in den Vordergrund stellen und die Ableitungsregeln, insbesondere die Kettenregel, konzeptionell aus entsprechenden Eigenschaften der Berührungsrelation ableiten. Schließlich gibt es auch noch eine kategorientheoretische Einordnung der ganzen Theorie.
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