Mathematik: Hüllenoperatoren
Released by matroid on Mi. 21. April 2021 13:00:05
Written by Triceratops - (439 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Hüllenoperatoren

Mit Hüllenoperatoren lassen sich verschiedene Begriffe von Erzeugendensystemen (erzeugte Untergruppe, erzeugte $\sigma$-Algebra, konvexe Hülle, erzeugte Topologie, uvm.) und entsprechender abgeschlossener Mengen vereinheitlichen. Wir schauen uns auch die Rekursion an, welche die erzeugte Struktur schrittweise erzeugt. Bei Verknüpfungen unendlicher Stelligkeit wie zum Beispiel $\sigma$-Algebren ist sogar eine transfinite Rekursion nötig.
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Stern Mathematik: Differentialgleichungen
Released by matroid on Sa. 08. November 2003 12:56:28
Written by pendragon302 - (389453 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)


  Differentialgleichungen




Dieser, mein fünfter Artikel handelt von Differentialgleichungen. Ich möchte euch zeigen, wie man bestimmte Formen von Differentialgleichungen löst. Bevor man sich ans Lösen einer Differentialgleichung macht, sollte man die DGL erst einmal klassifizieren.
Dazu hat Eckard in seinem Readme.First etwas schönes geschrieben. Dort findet man auch Beispiele zu den in meinem Artikel behandelten Differentialgleichungen, aber auch ein Blick in das Forum Differentialgleichungen kann nicht schaden.

pdf-Version des Artikels

Inhalt:



Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

y'=g(x)
Hier

y'+f(x)*y=g(x)
Hier
Nichtlineare Differentialgleichungen erster Ordnung

y'=g(y)
Hier

y'=f(x)*g(y)
Hier

y'=f(a*x+b*y+c)
Hier

y'=g((a*x+b*y+c)/(d*x+e*y+f))
Hier

Bernoulli\-DGL:| y'+g(x)*y+h(x)*y^a=0
Hier

Ricatti\-DGL:| y'+g(x)*y+y^2=k(x)
Hier

Exakte DGL:| P(x,y)*dx+Q(x,y)*dy=0
Hier

Integrierender Faktor (Eulerscher Multiplikator)
Hier
Parametrisierung

x=g(y')
Hier

y=g(y')
Hier

Clairaut\-DGL:|y=x*y'+g(y')
Hier

d'Alembert\-DGL:|y=x*f(y')+g(y')
Hier
Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung
Konstante Koeffizienten

a_n\.y^((n))+a_(n-1)\.y^((n-1))+...+a_2\.y''+a_1\.y'+a_0=g(x)
Hier
Eulersche Differentialgleichung

a_n\.x^n\.y^((n))+a_(n-1)\.x^(n-1)\.y^((n-1))+...+a_2\.x^2\.y''+a_1\.x\.y'+a_0=0
Hier
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Mathematik: Auf der Suche nach einer guten Strategie für das Spiel Isola auf dem 6x8 Brett
Released by matroid on So. 18. April 2021 21:29:31
Written by Delastelle - (198 x read)
Mathematik  \(\begingroup\) Die nachfolgenden Ideen sind nicht gänzlich neu ich möchte sie aber einmal in einem Artikel zusammenfassen. Ich habe 3 Rot-Isola-Strategien jeweils 10000 mal gegen 3 Blau-Isola-Strategien spielen lassen. Ich sehe Fortschritte in den Strategien, bin aber vom Ziel: "Wer gewinnt Isola Rot oder Blau?" noch einiges entfernt. \(\endgroup\)
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Mathematik: Wachstumsfunktionen in der Anwendung
Released by matroid on Do. 08. April 2021 00:00:50
Written by Ueli - (373 x read)
Analysis  \(\begingroup\)

Einleitung

Die berühmteste Gleichung dürfte zur Zeit diejenige für das exponentielle Wachstum sein. Ob wir wollen oder nicht, Tag für Tag sehen wir die Kurven der Corona Neuinfektionen. Es soll hier aber nicht zentral um die Krankheit gehen, sondern um verschiedenen Anwendungen der Wachstumsgleichungen und deren Darstellungen. Daher habe ich Beispiele aus verschiedenen Gebieten betrachtet, die oft kontrovers diskutiert werden. Neben der Immunologie habe ich das Bevölkerungswachstum und die Hubbert-Linearisierung gewählt. Letztere Anwendung ist ein wichtiges Werkzeug zur Abschätzung von Ressourcen (bzw. Reserven). Alle Beispiele beziehen sich auf ein beschränktes Wachstum, wie es in der realen Welt üblich ist. Die Frage lautet oft, wo denn die Grenzen dieses Wachstums liegen. Durch Extrapolationen mit einfachen Modellen können solche Grenzen geschätzt werden. Zudem geht es mir darum grundlegende Begriffe und Formeln vorzustellen, in Themen die oft in der öffentlichen Diskussion auftauchen. Eine mathematische Einführung in die Wachstumsfunktionen findet sich in diesem Artikel von Diophant. \(\endgroup\)
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Mathematik: Nachtrag zum Pi-Tag: Der Fehler von Archimedes
Released by matroid on Mo. 05. April 2021 20:51:12
Written by easymathematics - (510 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)\(\newcommand{\ggT}{\mathbb{ggT}}\)

Nachtrag zum Pi-Tag: Der Fehler von Archimedes

In diesem Artikel soll es - anlässlich des Pi-Tags - um einen historischen Meilenstein in der Mathemtatik gehen. Aber "Fehler" und "Archimedes" in einer Überschrift? Wenn jemand 250 v. C. nur mit Stift und Papier die ein oder andere Nachkommastelle von Pi berechnet, können wir dann von "Fehler" reden? Ja! Aber in einem anderen Sinne. Es soll darum gehen ein Gefühl dafür zu bekommen, wie aufwendig sein Vorhaben gewesen sein muss, um diese faszinierende Präzision (bezogen auf seine Zeit) zu bekommen. Vorweg: Der exakte Wert seines 96-Ecks (einbeschrieben) lautet: \[ 48 \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} }} = 3,141031...\] Die Näherung von Archimedes: \[ 3,140845... \] Anders gesagt: Der relative Fehler bezogen auf sein 96-Eck liegt knapp unter 0,006 %. Der relative Fehler zu \(\pi\) liegt knapp über 0,02. Wir wollen in diesem Zusammenhang versuchen, folgende zwei Fragen zu klären. a) Wie konnte Archimedes Rundungsfehler nahezu vermeiden? b) In welcher Zeit ist diese Leistung bei einem gemütlichen Kaffee zu schaffen? Reden wir von Stunden? Von Tagen? Von Wochen? Ja, der Pi-Tag liegt bereits eine gewisse Zeit zurück. Ich bin frischer Vater und da klappen dann solche Planungen dann doch nicht, wie man es möchte. Um Gottes Willen, besser später als nie. Ich freue mich, wenn Ihr mich auf dieser historischen Reise begleitet. \(\endgroup\)
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Mathematik: ein Beitrag zur Lösung des Isola-Spiels für kleinere Bretter als 6x8
Released by matroid on So. 04. April 2021 13:02:05
Written by Delastelle - (129 x read)
Spiele+Rätsel  \(\begingroup\) Momentan arbeite ich an einer Betaversion eines Programms zur Erzeugung einer Endspieldatenbank für das Spiel Isola für Bretter bis 4x5 Felder (alle Felder drückbar). Ich habe Ergebnisse für Bretter der Größe 2x3, 3x3, 3x4, 4x4 und 4x5. Eine Überprüfung der Richtigkeit der Ergebnisse steht noch aus. \(\endgroup\)
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buhs Montagsreport: Ein reverses Phänomen
Released by Leonardo_ver_Wuenschmi on Mo. 22. März 2021 00:00:14
Written by Leonardo_ver_Wuenschmi - (240 x read)
Matroids Matheplanet  \(\begingroup\) Reverses Urlogo für buhs Montagsreport Ein reverses Phänomen Existiert die schwere Zeit? Ruhe.Vor einiger Zeit erzählte mir der Bibliothekar von Fibona eine sehr merkwürdige Geschichte: Unter seinen Büchern habe er eine sehr alte und merkwürdige Schwarte, die von "schwerer Zeit" in Fibona berichtet, gefunden. Das erschien mir äußerst interessant, und so begleitete ich ihn zurück nach Fibona, lieh mir das Werk aus und las es in einem Stück. Noch heute bin ich beeindruckt, aber auch verwirrt: Es soll, so berichtet die Schwarte, vor vielen Jahren in Fibona das Phänomen der sogenannten "schweren Zeit" aufgetreten sein. Schwere Zeit? \(\endgroup\)
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Mathematik: Limes-Skizzen und ihre Modell-Kategorien
Released by matroid on Sa. 20. März 2021 11:04:58
Written by Triceratops - (246 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Limes-Skizzen und ihre Modell-Kategorien

Üblicherweise studiert man universelle Eigenschaften von Objekten innerhalb einer festen Kategorie. Weil aber unter geeigneten Größenannahmen auch Kategorien eine Kategorie bilden (genauer gesagt, eine $2$-Kategorie), kann man auch universelle Eigenschaften von Kategorien selbst untersuchen. Wir beschäftigen uns hier ausschließlich mit kovollständigen Kategorien. Konkret fragen wir uns also, wie sich die kostetigen Funktoren von typischen Kategorien wie zum Beispiel $\mathbf{Mon}$ oder $\mathbf{Pos}$ in eine beliebige kovollständige Kategorie $\mathcal{C}$ klassifizieren lassen. Viele Kategorien aus der Praxis lassen sich als die Kategorie $\mathbf{Mod}(\mathscr{S})$ der Modelle einer Limes-Skizze $\mathscr{S}$ darstellen. Wir werden diese Konzepte in diesem Artikel vorstellen und damit unser Hauptresultat, die universelle Eigenschaft $\mathrm{Hom}_c(\mathbf{Mod}(\mathscr{S}),\mathcal{C}) \simeq \mathbf{Mod}_{\mathcal{C}}(\mathscr{S}^{\mathrm{op}})$ beweisen. Sie besagt im Wesentlichen, dass $\mathbf{Mod}(\mathscr{S})$ das universelle Beispiel einer kovollständigen Kategorie mit einem Modell von $\mathscr{S}^{\mathrm{op}}$ ist. Dann schauen wir uns einige Beispiele wie etwa $\mathrm{Hom}_c(\mathbf{Mon},\mathcal{C}) \simeq \mathbf{CoMon}(\mathcal{C})$ genauer an.
\(\endgroup\)
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buhs Montagsreport: Unser Planet
Released by matroid on Do. 18. März 2021 00:00:00
Written by buh - (207 x read)
Matroids Matheplanet  \(\begingroup\) Jubilogo in buhs Montagsreport Unser Planet 20 Jahre - 88 Millionen Zinbiel: Tiefschwarze Stille. Tonlose Dunkelheit. Es ist null Uhr. Achtzehnter März. DA! Ein Lichtpunkt an der Stirnwand, blass zunächst, dann langsam, ganz langsam heller werdend. Der Punkt wird ein Bild:
20 von hinten
Eine Kadenz in 3B* erklingt, an allen Wänden flammen Monitore auf, und die 32 Seniolos** \(\endgroup\)
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