Physik: Transformationsgleichungen für die kinetische Energie
Released by matroid on So. 03. April 2022 11:13:07
Written by Roland17 - (318 x read)
Physik  \(\begingroup\) Betrachtet wird hier die klassische, nichtrelativistische kinetische Energie W_k = 1/2 m v^2. Zunächst ein Paradox (1): Abb. 1: Ein Pkw, ein Lkw und ein Güterzugwagen mit Pkw fahren nach rechts, abgebildet zu zwei Zeitpunkten; Draufsicht Ein Pkw mit der Masse m fährt auf einer geraden, ebenen Straße mit der Geschwindigkeit v_1=100 km/h (Abb. 1). Dabei hat er die kinetische Energie W_k1=1/2 m 100^2 [ohne (km/h)² ]. Dann beschleunigt er und fährt mit v_2 = 110 km/h auf den vor ihm mit 100 km/h fahrenden Lastwagen auf, also mit der kinetischen Energie W_k2=1/2 m 110^2 . Die Energiedifferenz \Delta W_k=W_k2 -W_k1 =1/2 m(110^2 -100^2)=1/2 m*2100 verrichtet an den beiden Wagen Verformungsarbeit. Parallel zu Straße verläuft eine Eisenbahnlinie (Abb. 1) und dort fährt gerade ein Güterzug mit ebenfalls v_1=100 km/h neben dem Personenwagen her. Auf einem seiner Wagen, der nur aus einer Plattform mit Wänden an den Enden besteht, steht am hinteren Ende auf gleicher Höhe wie der Pkw auf der Straße ein baugleicher Pkw, der parallel zu ersterem in gleicher Weise beschleunigt. Als er gegen die Wand am Ende der Plattform auf Höhe des Lkw prallt, hat er auch gerade die Geschwindigkeit v_2 = 110 km/h erreicht. Dort verrichtet er mit seiner kinetischen Energie die Verformungsarbeit \Delta W_k=W_k2 -W_k1 =1/2 m(10^2 -0^2)=1/2 m*100 . Warum wird beim Pkw auf der Straße scheinbar 21mal mehr Energie frei, obwohl beide ganz parallel nur um 10 km/h beschleunigt haben? Das ist doch paradox. Zur Auflösung des Paradoxes betrachte man zur Vereinfachung ein einziges Fahrzeug, das seine Geschwindigkeit nur verdoppelt. Es habe im mit der Straße verbundenen Bezugs- bzw. Inertialsystem I zunächst die Geschwindigkeit v_1 . Mit ihm sei dann das Inertialsystem I´ verbunden, welches sich gegenüber I mit v_1 bewegt (Abb. 2). \(\endgroup\)
mehr... | 12170 Bytes mehr | 2 Kommentare | Druckbare Version  | Physik


Stern Werkzeuge: Grafiken in Latex
Released by matroid on Mi. 23. Dezember 2009 20:48:43
Written by Ueli - (48829 x read)
Software  \(\begingroup\) Bild

Grafiken und Funktionenplots in LaTeX

Dieser Artikel richtet sich an LaTeX Nutzer, welche ein Dokument mit Grafiken erstellen wollen. Bei den Grafiken werde ich vor allem auf Funktions- und Datenplots eingehen, welche in technischen oder mathematischen Dokumentationen oft einen grossen Anteil ausmachen. Es gibt viele Möglichkeiten ein Bild oder Plot für oder mit LaTeX zu erzeugen. Hier beschränke ich mich auf gnuplot und die LaTeX-Bibliothek TikZ/pgf. Damit können professionelle Resultate erzielt werden, wenn man bereit ist mit etwas Handarbeit nachzuhelfen. Bild

Inhalt

  • Einleitung
  • Grundlagen zu TikZ
  • TikZ in der Ebene
  • TikZ im Raum
  • Gnuplot, Grafiken erstellen
  • Gnuplot, die Ausgabeformate
  • Und weiter?
  • Links und Bücher
  • Installation von gnuplot \(\endgroup\)
  • mehr... | 43510 Bytes mehr | 17 Kommentare | Druckbare Version  | Werkzeuge


    buhs Montagsreport: Jahrtausendproblem gelöst?
    Released by matroid on Fr. 01. April 2022 00:00:24
    Written by buh - (337 x read)
    Bildung  \(\begingroup\) Das Gerno-Logo für buhs Montagsreport Jahrtausendproblem gelöst? Erste echte geometrische Inversion 03869 Duemmer*. Die Zeit der bahnbrechenden Leistungen Einzelner geht weiter! Der seit der Jahrtausendwende als Erbe der Titanen bekannte Gerno Twolte&Team©* hat nach seinen Geniestreichen erneut eine mathematische Sensation, die natürlich an vorderster Stelle***** in der 21. Ausgabe****** der "LCoMath" veröffentlicht wurde, vollbracht: Das regelmäßige Siebeneck** ist \(\endgroup\)
    mehr... | 3602 Bytes mehr | 4 Kommentare | Druckbare Version  | buhs Montagsreport


    Mathematik: Teilbarkeit von Binomialkoeffizienten durch Primzahlen und Primzahlpotenzen
    Released by matroid on Mi. 23. Februar 2022 18:00:03
    Written by Nuramon - (481 x read)
    Mathematik  \(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)

    Teilbarkeit von Binomialkoeffizienten durch Primzahlen und Primzahlpotenzen

    Die Aussage, dass für eine Primzahl $p$ der Binomialkoeffizient $\binom pk$ für $1\leq k \leq p-1$ durch $p$ teilbar ist, ist für die meisten auf dem Matheplaneten wohl nicht neu. Weniger bekannt dürfte sein, wie man für einen beliebigen Binomialkoeffizienten $\binom nk$ effizient herausfinden kann, mit welchem Rest er durch $p$ teilbar ist, oder wie man die größte Potenz von $p$ findet, die $\binom nk$ teilt. Die Antworten auf diese Fragen liefern die Sätze von Lucas und Kummer, die wir in diesem Artikel herleiten werden. Indem wir auch die Binomialkoeffizenten $\binom {-n}k$ betrachten, werden sich zudem noch weitere Zusammenhänge offenbaren.
    • Definition und erste Teilbarkeitseigenschaften
    • Der Satz von Lucas
    • Eine Symmetrie im Pascalschen Dreieck
    • Die Formel von Legendre
    • Der Satz von Kummer
    • Abschließende Worte
    \(\endgroup\)
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    Mathematik: Die trigonometrische Form der Fibonacci-Zahlen
    Released by matroid on Fr. 04. Februar 2022 20:49:17
    Written by easymathematics - (449 x read)
    Mathematik  \(\begingroup\)\(\newcommand{\ggT}{\mathbb{ggT}}\)

    Die trigonometrische Form der Fibonacci-Zahlen

    In diesem kleinen, kurzen Artikel möchte ich eine besondere Form der Fibonacci-Zahlen vorstellen. \[ F_n = \frac{(-i)^{n+1} 2 \sqrt{5}}{5} \sin\bigl(in \ln(i \phi)\bigr), \] wobei \[ \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \] (goldener Schnitt), \[ i^2 = -1 \] (imaginäre Einheit). Voraussetzungen: – Grundkenntnisse Fibonacci-Zahlen (Binet's Form) – Komplexe Zahlen – Beziehungen zwischen trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen mittels komplexer Zahlen Wir werden diese hier kurz anschneiden. Entscheidend ist: Wie kommt man auf die Idee, nach so einer Form zu suchen? Die Antwort finden wir in der geschlossenen Form der Fibonacci-Zahlen. \(\endgroup\)
    mehr... | 4660 Bytes mehr | 4 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


    buhs Montagsreport: DIDER: Was bringt 2022?
    Released by matroid on Mo. 31. Januar 2022 00:00:24
    Written by buh - (228 x read)
    Bildung  \(\begingroup\) Urlogo für buhs Montagsreport DIDER*: Was bringt 2022? Geht Mathematik ohne Booster? Zinbiel. Und Leere. Und Stille. Und stille Leere. Und hinter Spahnplatten sammeln sich 2211 maskenbewehrte Glückliche mit Genstatus 0-negativ, um der Ankunft des Le beizuwohnen. UND ER ERSCHEINT.
    Vom Märzrausch genesen, von der Suche gerädert, vom Finden berauscht
    - in der Hand das exemplarische Papier, das einzigartig
    die Zukunft vorhersagen kann.
    Und wird. Und buhs MontagsReport ist dabei und berichtet. Und das PAPIER beginnt mit dem Wort: Januar \(\endgroup\)
    mehr... | 5206 Bytes mehr | 2 Kommentare | Druckbare Version  | buhs Montagsreport


    Mathematik: Lösen von Job Shop Problemen Teil 2 - mit dem Programmpaket "LiSA"
    Released by matroid on Fr. 28. Januar 2022 06:42:50
    Written by Delastelle - (143 x read)
    Software  \(\begingroup\) Beim Lösen von Job Shop Problemen stellen sich manche Instanzen (Beispieldaten) als besonders schwierig heraus. Mit dem Programmpaket "LiSA" kann ich das klassische 10x10 MT10 Problem (gestellt von Muth und Thompson 1963) und auch das 15x15 LA40 Problem (gestellt von Lawrence 1984) lösen. Benutzt wurde dabei Branch&Bound. \(\endgroup\)
    mehr... | 15467 Bytes mehr | Kommentare? | Druckbare Version  | Mathematik


    Matheplanet-Award: Verleihung der 20. Matheplanet-Mitglieder-Awards
    Released by matroid on So. 23. Januar 2022 15:00:00
    Written by matroid - (755 x read)
    Matheplanet-Award  \(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
    Verleihung
    der 20. Matheplanet-Mitglieder-Awards
    23. Januar 2022
    \(\endgroup\)
    mehr... | 93105 Bytes mehr | 10 Kommentare | Druckbare Version  | Matheplanet-Award


    Mathematik: Dragster Rennen oder Minimiere eine Funktion von 4 Variablen
    Released by matroid on Sa. 15. Januar 2022 16:54:00
    Written by Delastelle - (342 x read)
    Spiele+Rätsel  \(\begingroup\) David H.Ahl brachte um 1980 2 Bände Basic Computer Spiele heraus. In Band 2 findet sich "Dragster Rennen". Darin werden 4 Parameter eines Rennautos (Dragsters) festgelegt. Ziel ist, damit schneller als das Computer-Auto über die 1/4 Meile (etwas über 400m) in einem Beschleunigungsrennen zu sein. Mich hatte interessiert, wie schnell ein Dragster mit den 4 Parametern überhaupt sein kann. \(\endgroup\)
    mehr... | 10175 Bytes mehr | 3 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


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