Mathematik: Ist die Hesse-Matrix die zweite Ableitung?
Released by matroid on Do. 03. November 2022 13:01:26
Written by nzimme10 - (486 x read)
Analysis  \(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}} \newcommand{\rot}{\opn{rot}} \newcommand{\div}{\opn{div}}\)

Ist die Hesse-Matrix die zweite Ableitung?

Neulich im Schwätz hat ein Nutzer die Frage gestellt, ob man ihm helfen könne zu zeigen, dass die 2. Ableitung die Hesse-Matrix ist. Zunächst war ich von der Frage etwas verwundert, habe dann aber geglaubt zu verstehen, was das Anliegen ist und nach einigen Stunden hin und her war der Stand der Dinge, dass das, was ich vorgeschlagen hatte, zu kompliziert wäre und "mit Matrizen alles viel logischer" wäre. Persönlich kann ich nur spekulieren, dass der Wunsch alles mit Matrizen darzustellen nur von fehlendem Verständnis kommen kann. Für konkrete Rechnungen mag das schön sein, aber ich halte es für das konzeptionelle Verständnis nicht nur für unnötig, sondern vor allem für hinderlich. In diesem Artikel möchte ich daher einige Auszüge der mehrdimensionalen Differentialrechnung etwas anders darstellen, als das sonst in den gängigen Lehrbüchern und Lehrveranstaltungen für Studienanfänger getan wird. Natürlich kommen wir auf die Frage zurück, die dem Artikel seinen Namen gegeben hat.
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Stern Mathematik: Apfelmännchen algebraisch
Released by matroid on Fr. 16. Oktober 2015 19:43:06
Written by shadowking - (2971 x read)
Mathematik  \(\begingroup\) \huge{\textsf{Das Apfelmännchen aus algebraischer Sicht}} Wie die Mandelbrotmenge aussieht, brauche ich jemandem, der auf diesen Seiten regelmäßig aktiv ist, nicht mehr zu erklären. Diese äußerst komplizierte fraktale Menge ist zu einem Aushängeschild für die moderne rechnergestützte Mathematik und Algorithmik geworden. Ob ein wissenschaftlicher Themenbereich "populär" wird, ist weniger eine Frage seines Inhalts oder seiner Bedeutung, sondern eine Frage der Reklame. Und dafür hatten Herr Mandelbrot und seine Mitstreiter definitiv die schöneren Bilder produziert - und das in einer Zeit, da Rechenmaschinen noch groß wie Schränke waren und weniger konnten als etwa heute ein Smartphone. Da die numerische Rechenpower heute leicht zu bekommen und kostengünstig ist, siegt allzu oft die schiere Rechnerkraft über eine Betrachtungsweise, die den Phänomenen mit klassischer Mathematik auf den Grund geht. \(\endgroup\)
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Mathematik: Das Pendel (ohne Kleinwinkelnäherung)
Released by matroid on So. 16. Oktober 2022 20:27:34
Written by MontyPythagoras - (651 x read)
Physik  \(\begingroup\)

Das Pendel (ohne Kleinwinkelnäherung)

SchaukelIch weiß nicht so recht, ob dieser Artikel in meine Reihe "Physikalisches Wissen, das keiner braucht" passt, denn tatsächlich kommt die Frage nach der Lösung der Pendelgleichung regelmäßig auf, wenn man die Historie des Matheplaneten durchblättert. Üblicherweise kommt als Antwort die Kleinwinkelnäherung wie aus der Pistole geschossen: $\sin\varphi\approx\varphi$ für $\varphi\approx 0$ und zack! Lineare Differentialgleichung, deren Lösung der ambitionierte Student im Schlaf aufsagen kann. Dabei gibt es eine exakte Lösung, und die Funktionen, die man dafür braucht, sind a) nicht gerade neu und b) in jeder gutsortierten Funktionenbibliothek vieler Programmiersprachen und erst recht in CAS-Systemen vorhanden. Warum also nicht exakt lösen? Weil es leider doch einen Wermutstropfen gibt. Wie könnte es anders sein... Schauen wir uns den Wermutstropfen und die "Workarounds" etwas genauer an. \(\endgroup\)
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Werkzeuge: Octave: 2D- und 3D-Grafik - ein paar Beispiele
Released by matroid on Fr. 12. August 2022 06:47:16
Written by Delastelle - (631 x read)
Informatik  \(\begingroup\) Mit dem kostenlosen Programm Octave kann man 2D- und 3D-Grafiken erstellen. Ich habe hier einige kurze Beispiele um Grafiken zu erzeugen. Im Artikel gibt es Grafiken und den Quelltext zum Erzeugen dieser Grafiken. Man kann einen Überblick bekommen, was mit Octave möglich ist. \(\endgroup\)
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Physik: Gasblasen in Flüssigkeiten
Released by matroid on Sa. 23. Juli 2022 08:30:30
Written by Roland17 - (405 x read)
Physik  \(\begingroup\) Die z.B. in Sekt oder anderen kohlensäurehaltigen Getränken aufsteigenden Serien von Kohlendioxidbläschen weisen häufig eine schöne Regelmäßigkeit auf, welcher in diesem Artikel nachgespürt wird. \(\endgroup\)
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Mathematik: Autokarten 2 - crazy
Released by matroid on Mo. 11. Juli 2022 06:42:16
Written by Delastelle - (162 x read)
Spiele+Rätsel  \(\begingroup\) Ist mein Motorrad besser als deine Lok oder ist mein Flugzeug besser als dein Schiff? Kann man mit "Äpfeln" und "Birnen" spielen und ergibt das ein gutes "Obst"? Wenn man aus 8 verschieden Kartenspielen/Quartetten je die ersten 4 Karten entnimmt, und dann mit den 32 Karten Autokarten spielt, geht das überhaupt? Am Ende wird auch noch ein sinnvolles Kartenspiel behandelt. \(\endgroup\)
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Mathematik: Die Lokalisierung eines geringten Raumes
Released by matroid on Fr. 24. Juni 2022 17:40:56
Written by Triceratops - (405 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Die Lokalisierung eines geringten Raumes

Jedem kommutativen Ring $R$ kann man einen lokalgeringten Raum $\mathrm{Spec}(R)$ zuordnen, das Spektrum von $R$. Die Punkte dieses Raumes sind die Primideale $\mathfrak{p} \subseteq R$, die Strukturgarbe erfüllt $ \mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(R),\mathfrak{p}} = R_{\mathfrak{p}}$. In diesem Artikel werden wir diese Konstruktion auf geringte Räume verallgemeinern. Es handelt sich um eine "topologische Ausdehnung" des Spektrum eines kommutativen Ringes. Eine Variante dieser Konstruktion ermöglicht es, das relative Spektrum einer Garbe von Algebren sowie Faserprodukte von lokalgeringten Räumen zu konstruieren. Die topologischen Räume und Strukturgarben kann man hierbei konkret hinschreiben. Diese Konstruktionen sind also allgemeiner und trotzdem konkreter als die in der algebraischen Geometrie üblichen Verklebekonstruktionen im Spezialfall von Schemata.
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Mathematik: Rubbellose
Released by matroid on So. 05. Juni 2022 17:04:01
Written by Delastelle - (358 x read)
Spiele+Rätsel  \(\begingroup\) Eine Form des Glücksspiels sind Rubbellose. Ich habe selbst mal erlebt wie jemand in Frankreich bei einer Lotterie "Banco" - einem Rubbellos - einen Gewinn von 500 Francs (damals Jahr 1992 ca.140 DM oder umgerechnet ca.70 Euro) erspielt hat. Mich hat interessiert, wie bei aktuellen Lotterien das Gewinnverhältnis für ein Los bei Einsatz eines Euro ist. Ich habe 8 Rubbellose für 1 bis 10 Euro pro Stück verglichen. \(\endgroup\)
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Mathematik: Ist das Mathe-Abi wirklich so "schwer"?
Released by matroid on Fr. 27. Mai 2022 18:46:26
Written by easymathematics - (1604 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)\(\newcommand{\ggT}{\mathbb{ggT}}\)

Das Mathe-Abi

Jedes Jahr das Gleiche in vielerlei Hinsicht

Vor einigen Wochen stand das Mathe-Abi vor der Tür. Für die Meisten eine reine Qual, vielleicht auch für Dich. Ich möchte dieses Thema auch auf dem Mathe-Planeten ansprechen. Um was geht es? Jedes Jahr ist auch in den Medien zu hören, dass Mathe-Abi sei dieses Jahr schwer gewesen. Dabei gibt es auch noch Abstufungen, die an dieser Stelle nicht wichtig sind. Ich versuche "schwer" zu definieren und wünsche mir, dass gerade Schüler einsehen, dass ich im Kern richtig liege. Ebenfalls möchte ich versuchen zu erklären, woran das liegt und was Du dagegen unternehmen kannst. Es mag hart klingen, aber das Kernproblem ist eine schlechte bis falsche Vorbereitung und wenig bis gar kein Grundverständnis für mathematische Konzepte, Methoden und Ideen. Ziel: konstruktive Diskussion, andere Meinungen einholen und vor allem Euch, liebe Schüler, aufzeigen, dass man das "schwer" mit einfachen Mitteln zu einem "war ja voll einfach" umformen kann. :) Um die ganze Geschichte verständlich aufzurollen, müssen wir allerdings zunächst über grundlegende Dinge sprechen. 1. "Das war voll schwer!" - Aber was genau? Und warum? 2. Mathematik - Wird da nicht gerechnet? 3. Das Problem der Schüler 4. Wie werde ich besser? Ein zweiter Teil ist ebenfalls geplant. \(\endgroup\)
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