Wie Differentialformen alles schöner und einfacher machen

Wir schreiben das Jahr 2022. Man findet im Internet einen alten Artikel des Mathematikers Jean Dieudonné und liest von einer "Perversion der schönsten Ideen von Graßmann". Tristan Needham spricht in seinem exzellenten Buch "Visual Differential Geometry and Forms" von einem jahrhundertlangen "Skandal" ohne Aussicht auf Besserung. Was wohl passiert sein mag? Konkret geht es sowohl Dieudonné als auch Needham um die Vektoranalysis im $\mathbb R^3$. Der "Skandal" dabei ist, dass es spätestens seit dem Jahre 1940 eine schönere, wesentlich allgemeinere und oftmals sehr viel einfachere Theorie gibt: die Differentialgeometrie mit Élie Cartan's Differentialformen. Dennoch arbeiten viele (vor allem) Physiker auch heute noch regelmäßig mit der "Perversion, die die Vektoranalysis ist". Der noch verrücktere "Skandal" ist, dass viele Physikstudenten und auch Mathematikstudenten im Laufe ihres Studiums manchmal gar keinen und oft nur sehr wenig Kontakt mit Differentialformen haben. (Zumindest ist das die Erfahrung, die ich regelmäßig mache.) Dieser Artikel möchte einen Beitrag dazu leisten, das zu ändern. Wir betrachten die schöne und einfache Theorie der Differentialformen auf dem $\mathbb R^n$ und zeigen, warum diese Theorie alles schöner und einfacher macht. Zum Abschluss demonstrieren wir diese Behauptung auch an den Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik. Dieser Artikel richtet sich in erster Linie an Physikstudenten. \(\endgroup\)

Tensoren und Tensorfelder in der Differentialgeometrie

Ein Tensor ist ein Objekt, das wie ein Tensor transformiert. In etwa das ist die Definition in manchen Physikbüchern oder einführenden Vorlesungen. Diese "Definition" eignet sich zwar um Berechnungen durchführen zu können, aber wirklich verstehen kann man sie (zumindest am Anfang) nicht. Wenn man sich mit der Differentialgeometrie beschäftigt stellt man schnell fest, dass man in der Regel kein globales kanonisches Koordinatensystem mehr hat. Auf Mannigfaltigkeiten können daher nur Konzepte definiert werden, die unabhängig von den gewählten (lokalen) Koordinaten sind, die also intrinsisch definiert sind. Viele der Konzepte der Differentialgeometrie sind dafür gemacht, die Mittel der linearen und multilinearen Algebra darauf anzuwenden. Tensoren und Tensorfelder, das wird sich zeigen, sind dann genau die mathematischen Objekte, die diese koordinatenunabhängige Beschreibung verschiedener Eigenschaften möglich machen. Dieser Artikel möchte einen Beitrag zum Verständnis dieser Konzepte aus Sicht der Differentialgeometrie leisten.

Ist die Hesse-Matrix die zweite Ableitung?

Neulich im Schwätz hat ein Nutzer die Frage gestellt, ob man ihm helfen könne zu zeigen, dass die 2. Ableitung die Hesse-Matrix ist. Zunächst war ich von der Frage etwas verwundert, habe dann aber geglaubt zu verstehen, was das Anliegen ist und nach einigen Stunden hin und her war der Stand der Dinge, dass das, was ich vorgeschlagen hatte, zu kompliziert wäre und "mit Matrizen alles viel logischer" wäre. Persönlich kann ich nur spekulieren, dass der Wunsch alles mit Matrizen darzustellen nur von fehlendem Verständnis kommen kann. Für konkrete Rechnungen mag das schön sein, aber ich halte es für das konzeptionelle Verständnis nicht nur für unnötig, sondern vor allem für hinderlich. In diesem Artikel möchte ich daher einige Auszüge der mehrdimensionalen Differentialrechnung etwas anders darstellen, als das sonst in den gängigen Lehrbüchern und Lehrveranstaltungen für Studienanfänger getan wird. Natürlich kommen wir auf die Frage zurück, die dem Artikel seinen Namen gegeben hat.