Sesquilinear- und quadratische Formen II
Von: Gockel
Datum: So. 04. März 2012 14:42:47
Thema: Mathematik

Sesquilinear- und quadratische Formen II - Basen und der Satz von Witt


Dies soll nun der zweite Artikel sein, in dem wir uns mit den Geometrien auseinandersetzen, die von Sesquilinearformen und quadratischen Formen auf Vektorräumen induziert werden.
Wir werden uns dabei Gedanken darum machen, wie man geschickt Basen wählt. Wir werden uns mit Isometrien und dem Satz von Witt auseinandersetzen. Dazu bauen wir natürlich auf den Resultaten und Definitionen des vorangegangenen Artikels auf.

Inhalt


 

Basen und darstellende Matrizen

Auch, wenn wir im letzten Artikel versucht haben, zur Vollständigkeit auch die Fälle einzubeziehen, in denen der Schiefkörper K nichtkommutativ ist, so wird es uns ab sofort nur noch um den Fall gehen, dass K ein Körper ist.

Darstellungsmatrizen für Sesquilinearformen

Wir werden ab sofort vor allem endlichdimensionale Vektorräume betrachten. Hat man erst einmal eine Basis gewählt, so kann man zu Sesquilinearformen auf endlichdimensionalen Vektorräumen Darstellungsmatrizen definieren, genau wie das für Skalarprodukte bekannt ist:
Definition: Darstellungsmatrizen für Sesquilinearformen
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) define(dot,opimg(*)) Sei (V, blf(\dot,\dot)) ein K\-Vektorraum mit einer Sesquilinearform. Sei weiter \calB:=(b_1, ..., b_n) eine Basis von V. Die Matrix A=\(a_ij\.\)_array(i\,j=1..n) mit a_ij:=blf(b_i,b_j) heißt \darkblue\ array(darstellende Matrix)____\black von blf(\dot,\dot) bzgl. \calB.
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) define(dot,opimg(*)) Ist umgekehrt eine Matrix A und ein Antiautomorphismus \alpha:K\to\ K gegeben, dann ist durch blf(x,y)_A:=x^T*A*\alpha(y) eine \alpha\-Sesquilinearform auf K^n gegeben. Man macht sich leicht klar, dass nach Wahl einer Basis diese beiden Operationen invers zueinander sind und wir auf diese Weise Sesquilinearformen auf endlichdimensionalen Vektorräumen mit quadratischen Matrizen identifizieren können. Wir werden das von Zeit zu Zeit auch tun, es aber bevorzugen, solange es sinnvoll ist, basisfrei arbeiten. Für Darstellungsmatrizen gelten die üblichen Eigenschaften, die man auch aus der linearen Algebra schon (so ähnlich) kennt:
Lemma
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) define(dot,opimg(*)) Sei (V, blf(\dot,\dot)) ein K\-Vektorraum mit einer Sesquilinearform und A=\(a_ij\.\)_array(i\,j=1..n) die Darstellungsmatrix von blf(\dot,\dot) bzgl. eine Basis \calB. Dann gilt: (a) blf(\dot,\dot) ist \(schief\-\)hermitesch <=> A ist \(schief\-\)hermitesch, $ $d.h. A^-^T=A bzw. A^-^T = -A. (b) blf(\dot,\dot) ist alternierend <=> \forall\ i,j: a_ij=-a_ji \and a_ii=0 (c) blf(\dot,\dot) ist nichtentartet <=> A ist invertierbar
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) define(dot,opimg(*)) OBdA nehmen wir an, dass V=K^n und \calB die Standardbasis ist. Dann gilt: blf(x,y)=x^T*A*y^-=sum(x_i*a_ij*(y_j)^-,i\,j=1...n) für alle x,y\in\ K^n. Für (a) heißt das, dass \alpha(blf(y,x))=sum((y_i*a_ij*(x_j)^-)^-,i\,j=1...n)=sum(x_j*(a_ij)^-*(y_i)^-,i\,j=1...n) Wenn nun A \(schief\-\)hermitesch ist, dann ist dieser Ausdruck gleich sum(x_j*(+-a_ji)*(y_i)^-,i\,j=1...n)=+-sum(x_i*a_ij*(y_j)^-,i\,j=1...n)=+-blf(x,y) also die Form \(schief\-\)hermitesch. Ist umgekehrt blf(\dot,\dot) \(schief\-\)hermitesch, so gilt (A^-^T)_ij=(a_ji)^-=blf(e_j,e_i)^-=+-blf(e_i,e_j)=+-a_ij=(+-A)_ij also A^-^T=+-A. \blue\checked Für (b) gehen wir analog vor: Ist blf(\dot,\dot) alternierend, so ist es insbesondere schiefsymmetrisch, also gilt nach (a) schon einmal A^T=-A. Außerdem muss a_ii=blf(e_i,e_i)=0 sein für i=1...n. Ist anders herum a_ij=-a_ji und a_ii=0 für alle i,j=1...n, so gilt: blf(x,x)=sum(x_i*a_ij*x_j,i\,j=1...n) =sum(x_i*a_ij*x_j,ij) =sum(x_i*a_ij*x_j,ij) =0 \blue\checked Für (c) überlegen wir uns folgendes: Ein Vektor v\in\ K^n ist genau dann 0, wenn x^T*v=0 gilt. In einer Richtung ist das klar. Wäre andererseits v_i!=0, so wäre e_i^T*v=v_i!=0. Das nutzen wir nun: blf(\dot,\dot) ist entartet <=> \exists\ y!=0\forall\ x: blf(x,y)=0 <=> \exists\ y!=0\forall x: x^T*A*y^-=0 <=> \exists\ y!=0: A*y^-=0 <=> ker(A)!=0 \blue\ q.e.d.

 

Spezielle Basen

Zu den wichtigsten Sätzen der linearen Algebra des ersten oder zweiten Semesters über Skalarprodukte gehören Sätze, die die Wahl von Basen ermöglichen, bzgl. derer eine lineare Abbildung oder ein Skalarprodukt möglichst eine einfache Darstellungsmatrix besitzt. Natürlich sind solche Sätze auch für uns von entscheidender Bedeutung. Wir werden uns daher in diesem Kapitel der geschickten Basiswahl widmen. Im Reellen und Komplexen kann man für jede hermitesche bzw. symmetrische Form Orthogonalbasen finden, an denen sich alles Wesentliche der jeweiligen Form widerspiegelt. Dies funktioniert nicht mehr uneingeschränkt, wenn man beliebige Körper betrachtet. Bei alternierenden Formen ist z.B. klar, dass gar keine Orthogonalbasen existieren können, wenn man eine von 0 verschiedene Form vorliegen hat. Auch bekommt man in Charakteristik 2 Schwierigkeiten mit den quadratischen Formen. Die hyperbolischen Paare liefern dafür Ersatz:
Definition: Hyperbolische Paare, hyperbolische Ebenen
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) define(dot,opimg(*)) Sei V ein K\-Vektorraum, auf dem eine alternierende, hermitesche oder quadratische Form definiert ist. Ein Vektorenpaar (e,f) nennen wir \darkblue\ array(hyperbolisches Paar)____\black||, falls e und f isotrop bzw. singulär sind und blf(e,f)=1 gilt. e und f sind dann linear unabhängig und den von ihnen aufgespannten Unterraum nennen wir eine \darkblue\ (hyperbolische Ebene)____\black||.
Wenn wir eine hermitesche oder alternierende Form auf V gegeben haben und ein hyperbolisches Paar (e,f), dann ist die Darstellungsmatrix der auf Ke+Kf eingeschränkten Form offenbar durch matrix(0,1;-1,0) im alternierenden bzw. matrix(0,1;1,0) im hermiteschen Fall gegeben. Darstellungsmatrizen bzgl. hyperbolischer Paare sind also immer noch recht einfach gestrickt, auch wenn es keine Diagonalmatrizen sind. Es wird sich im Folgenden herausstellen, dass hyperbolische Paare sich hervorragend eignen, um andere Basen zu konstruieren, die sehr gut zu den geometrischen Eigenschaft der jeweiligen Form passen.
Lemma
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) define(dot,opimg(*)) Sei V ein K\-Vektorraum, auf dem eine alternierende, hermitesche oder quadratische Form definiert ist. (a) Ist v\in\ V\\V^\perp isotrop bzw. singulär, so ist v Teil eines $ $hyperbolischen Paars und H=Kv+Kw ist eine hyperbolische Ebene. (b) Ist H<=V eine hyperbolische Ebene, so ist V=H$\perp$H^\perp. (c) Es gibt hyperbolische Ebenen H_1, ..., H_r und einen total anisotropen $ $bzw. total nicht\-singulären Unterraum U, sodass $ $V=H_1|\perp...\perp H_r \perp U \perp V^\perp
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) define(dot,opimg(*)) Sei v\notin\ V^\perp und isotrop. Dann gibt es ein w mit blf(v,w)!=0. Durch Skalierung von w können wir annehmen, dass blf(v,w)=1 ist. Es gilt dann blf(v,w+kv)=1 für alle k\in\ K. Wir wollen nun k so wählen, dass u:=w+kv isotrop ist. array(Fall 1)__: blf(\dot,\dot) ist alternierend Dann ist das bei jedem k\in\ K gegeben, weil alle Vektoren dann isotrop sind. array(Fall 2)__: blf(\dot,\dot) ist hermitesch, aber nicht bilinear \(d.h. $^-!=id\). Dann gilt: blf(w+kv,w+kv)=blf(w,w)+k\.blf(v,w)+blf(w,v)\.k^-+k*blf(v,v)*k^- =blf(w,w)+(k+k^-) Wir müssen k also so wählen, dass k^-+k=-blf(w,w) ist. Sei dafür K_0:=menge(k\in\ K | k=k^-) der Fixkörper von $^-. Die Abbildung tr_(K\|K_0):=k\mapsto\ k+k^- ist eine K_0-lineare Abbilung K\to\ K_0. Das Bild ist also entweder menge(0) oder ganz K_0. Wäre im(tr_(K\|K_0))=0, so wäre 2=1+1=1+1^-=0 => \forall\ k\in\ K: 0=k+k^-=k-k^- => \forall\ k\in\ K: k=k^- \blitz Also ist das Bild gleich dem Fixkörper K_0, in dem auch alle Werte blf(w,w) liegen müssen. Also können wir k so wählen, dass eben genau k+k^-=-blf(w,w) gilt. array(Fall 3)__: Es liegt eine quadratische Form vor. q(w+kv)=q(w)+q(kv)+blf(w,kv)=q(w)+k\.blf(w,v)=q(w)+k Wir können also einfach k:=-q(w) setzen. Nun spannen v und u:=w+kv eine hyperbolische Ebene H auf. \blue\checked makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) Wir zeigen nun V=H\oplus\ H^\senkrechtauf. Sei (e,f) ein hyperbolisches Paar, das die Ebene aufspannt. Sei x=\alpha\.e+\beta\.f\in\ H\cut\ H^\senkrechtauf, dann gilt: 0=blf(x,f)=\alpha*blf(e,f)+\beta*blf(f,f)=\alpha*1 und 0=blf(x,e)=\beta*blf(f,e) Da nun blf(f,e)=cases(-blf(e,f)=-1,alternierende Form;blf(f,e)=blf(e,f)^-=1,hermitesche Form;blf(f,e)=blf(e,f)=1,quadratische Form) ist, folgt daraus \beta=0 => x=0 => H\cut\ H^\senkrechtauf=0. Sei nun x\in\ V beliebig. Dann ist x-blf(x,f)*e-blf(x,e)/blf(f,e)*v \in\ H^\senkrechtauf, also ist wirklich V=H\oplus\ H^\senkrechtauf wie behauptet. \blue\checked makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) Wir wählen ein Komplement W von V^\senkrechtauf in V. Da nun V=W$\senkrechtauf$V^\senkrechtauf gilt, können wir oBdA V=W, d.h. V^\senkrechtauf=0 annehmen und alles für diesen Fall beweisen. Wir induzieren nach dim(V). Für dim(V)=0 ist nichts zu zeigen. Ist dim(V)=1, so ist blf(v,v)!=0 für alle v\in\ V\\\{0\}, da sonst V^\perp!=0 wäre. Also ist V bereits total anisotrop. Für dim(V)>1 unterscheiden wir zwei Fälle: Ist V total anisotrop, so ist wieder alles klar. Gibt es einen isotropen Vektor e_1\in\ V\\\{0\}, so gibt es ein f_1\in\ V mit blf(e_1, f_1)!=0 und nach \ref(a) können wir annehmen, dass (e_1, f_1) ein hyperbolisches Paar ist. Sei H_1 die von e_1 und f_1 erzeugte hyperbolische Ebene. Nach \ref(b) ist dann V=H_1|\perp|H_1^\perp. Per Induktionsannahme gibt es für V^~:=H_1^\perp bereits eine Zerlegung V^~ = H_2|\perp|...|\perp|U|\perp rad(V^~) mit hyperbolischen Ebene H_i und einem total anisotropen Unterraum U. Das Radikal rad(V^~) ist genau der Raum (H_1^\perp)^\perp\cut\ H_1^\perp Da V^\perp=0 ist, gilt H_1^\perp\perp=H_1, d.h. dieser letzte Summand in der orthogonalen direkten Summe ist 0. \blue\ q.e.d.
Wir werden später noch zeigen, dass die Zahl r durch die Form bereits eindeutig bestimmt ist. Dazu werden wir den Satz von Witt beweisen, der uns auch sonst noch gute Dienste leisten wird und wichtige Transivitätsaussagen zur Verfügung stellen wird. makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) define(dot,opimg(*)) Die Aussage (c) kann man auch durch Darstellungsmatrizen ausdrücken. Indem wir für jede hyperbolische Ebene H_i ein hyperbolisches Paar (e_i, f_i)wählen, erhalten wir zusammen mit einer Basis (u_1, ..., u_m) von U und einer Basis (x_1, ..., x_d) von V^\senkrechtauf eine Basis von V, bzgl. derer die Darstellungsmatrix die folgende Blockdiagonalform hat: matrix(\ 0,1,,,,,;\ +-1,0,,,,,;\ ,,\ddots,,,,;\ ,,,0,1,,,;\ ,,,+-1,0,,;\ ,,,,,A,;\ ,,,,,,0\ ) wobei A\in\ K^(m\times\ m) die Darstellungsmatrix von blf(\dot,\dot)_array(\|U\times\ U) bzgl. (u_1, ..., u_m) ist und der Nullblock links unten d\times\ d groß ist.

 

Isometrien

Hat man eine mathematische Struktur definiert, so ist man natürlich auch immer an den strukturerhaltenden Abbildungen interessiert. Wir definieren also:
Definition: Isometrien
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) define(dot,opimg(*)) Seien V,W Vektorräume und f:V\to\ W linear. Sind V und W mit Sesquilinearformen versehen und gilt \forall\ v,v'\in\ V: blf(v,v')_V = blf(f(v),f(v'))_W so nennen wir f eine \darkblue\ Isometrie____\black (V, blf(\dot,\dot)_V)\to(W, blf(\dot,\dot)_W). Sind V und W mit quadratischen Formen versehen und gilt \forall\ v\in\ V: q_V(v) = q_W(f(v)) so heißt f eine Isometrie (V,q_V)\to(W,q_W).
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) define(dot,opimg(*)) Bei einer quadratischen Form impliziert offenbar die zweite Forderung die erste, da wir blf(v,w)=q(v+w)-q(v)-q(w) definiert hatten. Wie schon zu vermuten war, gilt die Umkehrung jedoch nicht, wenn char(K)=2 ist. Man kann einige elementare Eigenschaften mehr oder minder direkt aus den Definitionen ablesen. So gilt z.B. offenbar ker(f)\subseteq\ V^\senkrechtauf. Isometrien sind bei nichtentartetem V also immer injektiv. Die bijektiven Isometrien V->V bilden eine Untergruppe von GL(V), für die wir uns ab jetzt besonders interessieren werden.
Definition: Isometriegruppe
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) define(dot,opimg(*)) Sei (V, blf(\dot,\dot)) ein Vektorraum mit Sesquilinearform. Die Gruppe O(V, blf(\dot,\dot)):=menge(f\in\ GL(V) | f ist eine Isometrie bzgl. blf(\dot,\dot)) <= GL(V) heißt dann die \darkblue\ Isometriegruppe____\black von (V, blf(\dot,\dot)). Falls sich die Sesquilinearform aus dem Kontext ergibt, so schreibt man auch kurz O(V). Ist (V, blf(\dot,\dot)) eine symplektische Geometrie, so wird diese Gruppe auch als Sp(V, blf(\dot,\dot)) bzw. Sp(V) geschrieben und \darkblue\ array(symplektische Gruppe)____\black von V genannt. Ist (V, blf(\dot,\dot)) eine unitäre Geometrie, so wird diese Gruppe auch als U(V, blf(\dot,\dot)) bzw. U(V) geschrieben und \darkblue\ array(unitäre Gruppe)____\black von V genannt. Analog heißt auch für einen Raum (V,q) mit quadratischen Formen die Gruppe O(V,q):=menge(f\in\ GL(V) | f ist eine Isometrie bzgl. q) die Isometriegruppe von (V,q). Ist (V,q) eine orthogonale Geometrie, so nennt man O(V) auch \darkblue\ array(orthogonale Gruppe)____\black von V.
Es stellt sich heraus, dass Isometrien weitere hochinteressante und nützliche Eigenschaften haben. Die für uns wesentliche ist der Satz von Witt, der uns einige Transivitätsaussagen über Isometriegruppen zur Verfügung stellen wird.

 

Der Satz von Witt

Um den Satz von Witt beweisen zu können, benötigen wir das folgende äußerst einfach Lemma, das wir aber häufig anwenden werden:
Lemma
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) Seien V=U\oplus\ W und V'=U'\oplus\ W' Vektorräume mit einer Sesquilinear\- oder quadratischen Form. Sind f:U->U' und g:W->W' Isometrien und gilt \forall\ u\in\ U, w\in\ W: blf(u,w)=blf(f(u),g(w)) \and blf(w,u)=blf(g(w),f(u)) so ist h:=f\oplus\ g:=u+w\mapsto\ f(u)+g(w) eine Isometrie V->V'.
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) Naja, der Beweis schreibt sich von selbst. Für beliebige u,u'\in\ U, w,w'\in\ W ist: \align\ blf(h(u+w),h(u'+w'))><=blf(f(u)+g(w),f(u')+g(w')) ><=blf(f(u),f(u'))+blf(f(u),g(w'))+blf(g(w),f(u'))+blf(g(w),g(w')) ><=blf(u,u')+blf(u,w')+blf(w,u')+blf(w,w') ><=blf(u+w,u'+w') bzw. \breakalign\ q(h(u+w))><=q(f(u)+g(w)) ><=q(f(u))+q(g(w))+blf(f(u),g(w)) ><=q(u)+q(w)+blf(u,w) ><=q(u+w) Das war zu zeigen. \blue\ q.e.d.
Damit kommen wir zur eigentlich wichtigen Fortsetzbarkeitsaussage: Dem Satz von Witt.
Satz von Witt
Sei V endlichdimensional, U<=V und f: U->V eine injektive Isometrie. Dann existiert eine bijektive Isometrie f^^: V->V mit f^^\|U=f genau dann, wenn f(U\cut\ V^\senkrechtauf)=f(U)\cut\ V^\senkrechtauf ist.
Existiert so ein f^^, dann muss natürlich f^^(V^\senkrechtauf)=V^\senkrechtauf sein => f(U\cut\ V^\senkrechtauf)=f(U)\cut\ V^\senkrechtauf. Die umgekehrte Richtung wird uns deutlich mehr Schwierigkeiten bereiten. Wir werden von den allgemeinen Voraussetzungen schrittweise Spezialfälle abspalten. array(Schritt 1)__ Zunächst zeigen wir, dass man V^\senkrechtauf\subseteq\ U annehmen kann. Dazu wählen wir ein gemeinsames Komplement W von U\cut\ V^\senkrechtauf und f(U)\cut\ V^\senkrechtauf innerhalb von V^\senkrechtauf. Das geht, da U\cut\ V^\senkrechtauf und f(U)\cut\ V^\senkrechtauf die gleiche Dimension haben. => U+V^\senkrechtauf=U\oplus\ W, f(U)+V^\senkrechtauf=f(U)\oplus\ W Durch f'\|U:=f und f'\|W=id_W erhalten wir nach dem Lemma \(Man beachte V^\senkrechtauf\supseteq\ W !\) eine bijektive Isometrie, die f fortsetzt. Wir können und werden also im weiteren Verlauf V^\senkrechtauf\subseteq\ U und V^\senkrechtauf\subseteq\ f(U) annehmen. array(Schritt 2)__ Wir werden im weiteren Verlauf durch Induktion nach dim(U\/V^\senkrechtauf) argumentieren. Als Induktionsanfang betrachten wir den Fall, dass V^\senkrechtauf=U ist. Wählen wir irgendein Komplement W von V^\senkrechtauf in V, so können wir wieder mit f^^\|V^\senkrechtauf=f und f^^\|W=id_W eine Fortsetzung erhalten. makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) array(Schritt 3)__ Sei nun also dim(U\/V^\senkrechtauf)>0. Die Induktionsannahme ist, dass die Aussage für alle U' mit V^\senkrechtauf<=U'V, die f\|H fortsetzt. Die Isometrie g:=f^~^(-1)\.f: U\to\ V ist nun auf H die Identität. Könnten wir g zu g^^ auf ganz V fortsetzen, so wäre f^~\.g^^ eine Fortsetzung von f. Wir nehmen also für den weiteren Beweis an, dass f die Hyperebene H punktweise fest lässt. Wenn f sogar ganz U festlässt, dann ist natürlich id_V eine Fortsetzung von f. Also nehmen wir außerdem an, dass dies nicht der Fall ist. array(Schritt 4)__ Wir setzen P:=im(f-id_U). Da H=ker(f-id_U) Kodimension 1 in U hat, muss dim(P)=1 sein. Sind u,v\in\ U beliebig, so gilt: \align\ blf(f(u),f(v)-v)><=blf(f(u),f(v))-blf(f(u),v) ><=blf(u,v)-blf(f(u),v) ><=blf(u-f(u),v) ><=-blf(f(u)-u,v) \breakalign\stopalign Aus dieser Gleichungskette folgt zunächst, dass H\subseteq\ P^\senkrechtauf ist. Außerdem folgt damit U\subseteq\ P^\senkrechtauf<=>f(U)\subseteq\ P^\senkrechtauf. Nehmen wir zuerst U opimg(\subseteq)^/ P^\senkrechtauf und U opimg(\subseteq)^/ P^\senkrechtauf an. Dann gilt U\cut\ P^\senkrechtauf=f(U)\cut\ P^\senkrechtauf=H, da H in U,f(U) und P^\senkrechtauf enthalten ist, der Schnitt aber nach Annahme nicht U bzw. f(U) ist. Wir wählen dann ein Komplement W von H in P^\senkrechtauf. Es gilt dann V=U\oplus\ W, denn U\cut\ W\subseteq\ U\cut\ (P^\senkrechtauf\cut\ W)=H\cut\ W=menge(0). Weiter ist U+W\supseteq\ H+W=P^\senkrechtauf und, da U\\P^\senkrechtauf!=\0 ist, folgt daraus U+W=V \(man beachte dim(P^\senkrechtauf)>=dim(V)-1\). Für die Elemente von W gilt nun: \forall\ w\in\ W, u\in\ U: blf(w,f(u)-u)=0 => blf(w,f(u))=blf(w,u) da W\subseteq\ P^\senkrechtauf=im(f-id_U)^\senkrechtauf ist. Damit können wir f^^ wieder durch f^^\|W:=id_W und f^^\|U=f definieren, wobei wir erneut das Lemma von oben benutzen. makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) array(Schritt 5)__ Der zweite Fall ist U\subseteq\ P^\senkrechtauf und f(U)\subseteq\ P^\senkrechtauf. Ist U!=f(U), so wählen wir u\in\ U\\H und v\in\ f(U)\\H. Damit ist X=span(u+v) ein Komplement von U und f(U) in U+f(U). Ist dann W ein Komplement von U+f(U) in P^\senkrechtauf, so ist S:=W+X ein Komplement von U und f(U) in P^\senkrechtauf: P^\senkrechtauf=U\oplus\ S=f(U)\oplus\ S Wir haben wieder blf(s,f(u)-u)=0 => blf(s,f(u))=blf(s,u) für alle s\in\ S, u\in\ U, weil wie oben S\subseteq\ P^\senkrechtauf=im(f-id_U)^\senkrechtauf gilt. Also können wir f auf P^\senkrechtauf fortsetzen. Die so erhaltene Fortsetzung ist auf jeden Fall die Identität auf der Hyperebene H\oplus\ S. Das erlaubt es uns, für den Rest des Beweises U=f(U)=P^\senkrechtauf anzunehmen. Ist P^\senkrechtauf=V, so sind wir damit also fertig. Das heißt, wir können und werden zusätzlich P^\senkrechtauf!=V annehmen, was dann insbesondere dim(U)=dim(V)-1 impliziert. array(Schritt 6)__ Fassen wir zunächst noch einmal die bisher gemachten Annahmen und die Folgerungen daraus zusammen, die wir im letzten Schritt benutzen werden: \ll(*)V^\senkrechtauf<=U, dim(U)=dim(V)-1 \ll(*)f:U->V ist eine injektive Isometrie mit f(V^\senkrechtauf)=V^\senkrechtauf \ll(*)P:=im(f-id_U), dim(P)=1 \ll(*)U=f(U)=P^\senkrechtauf => P\subseteq\ P^\senkrechtauf makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) Sei P=span(u) und v\in\ U derart, dass u=f(v)-v ist. Ist blf(opimg(*),opimg(*)) die Polarisation einer quadratischen Form q, so gilt: q(u)=q(f(v))+q(-v)+blf(f(v),-v)=2q(v)-blf(f(v),v) Wegen blf(v,f(v)-v)=0 folgt also blf(f(v),v)=blf(v,v) => q(u)=2q(v)-blf(v,v)=0. Also ist u singulär. Wenn wir eine alternierende oder hermitesche Form vorliegen haben, ist u wegen P\subseteq\ P^\senkrechtauf sowieso isotrop. Da P^\senkrechtauf!=V, ist u\notin\ V^\senkrechtauf, d.h. wir können ein w\in\ V finden, sodass (u,w) ein hyperbolisches Paar ist. Es muss dann zwangsläufig w\notin\ U sein, da U auf P senkrecht steht. Wir bezeichnen mit L die von u und w erzeugt hyperbolische Ebene. Wir haben bereits bewiesen, dass für hyperbolische Ebenen V=L\oplus\ L^\senkrechtauf gilt. Es ist w^\senkrechtauf\cut\ U=w^\senkrechtauf\cut\ u^\senkrechtauf=L^\senkrechtauf, also vor allem L^\senkrechtauf\subseteq\ U. Setze Y:=f(L^\senkrechtauf)\subseteq\ U. Es ist natürlich V^\senkrechtauf<=L^\senkrechtauf und wegen f(V^\senkrechtauf)=V^\senkrechtauf also auch V^\senkrechtauf<=Y. L^\senkrechtauf hat die Kodimension 2 in V, also hat Y das auch. Außerdem ist w\notin\ U, d.h. w\notin\ Y. Kw+Y ist damit eine Hyperebene von V, die V^\senkrechtauf enthält, jedoch nicht f(u), denn wäre f(u)=\lambda*w+f(x) für ein \lambda\in\ K, x\in\ L^\senkrechtauf, so folgte \lambda*w=f(u-x)\in\ f(U)=U. Für \lambda!=0 folgt daraus der Widerspruch w\in\ U. Für \lambda=0 folgt f(u)=f(x) => u=x\in\ L^\senkrechtauf, was ebenfalls ein Widerspruch ist. Da Y eine Hyperebene von V ist, die V^\senkrechtauf enthält, gilt Kw+Y=w'^\senkrechtauf für ein passendes w' nach einem Satz über orthogonale Komplemente aus dem letzten Artikel. Es gilt blf(f(u),w')!=0, denn sonst wäre f(u)\in\ w'^\senkrechtauf=Kw+Y entgegen der eben gewonnenen Erkenntnis. Außerdem ist f(u) isotrop, weil u isotrop ist. Wir haben im Lemma über hyperbolische Paare einmal nachgewiesen, dass man jetzt eine Linearkombination w'' von f(u) und w' finden kann, sodass w'' isotrop und (f(u),w'') ein hyperbolisches Paar ist. Wir bezeichnen mit L'=K*f(u)+Kw''=K*f(u)+Kw' die zugehörige hyperbolische Ebene. Es gilt U=u^\senkrechtauf => f(U)\subseteq\ f(u)^\senkrechtauf. Da aber f(u)\notin\ V^\senkrechtauf ist \(denn wir wissen u\notin\ V^\senkrechtauf, f(V^\senkrechtauf)=V^\senkrechtauf und f injektiv\), muss f(u)^\senkrechtauf die Kodimension 1 haben und damit muss U=f(U)=f(u)^\senkrechtauf gelten. Jetzt gilt L'^\senkrechtauf=f(u)^\senkrechtauf\cut\ w'^\senkrechtauf $ $\void\void\void da L'=K*f(u)+Kw' $ $ =U\cut\ (Kw+Y) $ $ $da U=f(u)^\senkrechtauf und w'^\senkrechtauf=Kw+Y $ $ =Y $ $ $ $ $ $ $ $ $\void\void\ da Y\subseteq\ U und w\notin\ U $ $ =f(L^\senkrechtauf) $ $ $ $ $ \void\void\void\void nach Definition Wir definieren jetzt die Isometrie f^^:V\to\ V, indem wir die Zerlegung V=L\oplus\ L^\senkrechtauf und das Lemma verwenden. f^^(u):=f(u), f^^(w)=w'' definiert eine Isometrie L=Ku+Kw\to\ K*f(u)+Kw'=L', weil (u,w) und (f(u),w'') hyperbolische Paare sind. f^^\|L^\senkrechtauf=f\|L^\senkrechtauf ist die Einschränkung einer Isometrie. Weil f(L^\senkrechtauf)=L'^\senkrechtauf ist, sind die Voraussetzungen des Lemmas erfüllt und f^^ ist die Isometrie, die wir die ganze Zeit schon suchen. \blue\ q.e.d.
Ist V^\senkrechtauf={0}, so ist die Voraussetzung an f natürlich trivial, sodass jede Isometrie von einem Unterraum auf ganz V fortgesetzt werden kann. Da wir in den Artikeln über die klassischen Gruppen nur nicht\-entartete Formen betrachten werden, wird dies also der Regelfall sein.

 

Anwendungen

Der Satz von Witt hat vielfältige Anwendungen für uns. Zum einen zeigt er, dass genügend viele Isometrien existieren und dass wir bei der Definition von geeigneten Abbildungen beinahe freie Hand haben, die einzigen Einschränkungen, denen wir uns unterwerfen müssen, sind die die offensichtlichen: Linearität und die Erhaltung der betrachteten Form auf dem Teil von V, der uns interessiert. Dies hat unter Anderem zur Folge, dass in nichtentarteten Geometrien alle isotropen Vektoren gleichberechtigt sind. Ganz ähnlich sind hyperbolische Paare unter einander völlig gleichberechtigt etc. Das werden wir in den folgenden Sätzen immer wieder ausnutzen. Weiterhin zeigt uns der Satz von Witt, dass eine hermitsche, alternierende bzw. quadratische Form auf einem (endlichdimensionalen) Vektorraum gewisse Invarianten definiert:
Satz/Definition 5
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) define(dot,opimg(*)) Sei (V, blf(\dot,\dot)) bzw. (V, q) ein K\-Vektorraum mit hermitscher, alternierender oder quadratischer Form und G=O(V) seine Isometriegruppe. Dann gilt: (a) G operiert transitiv auf $ $\(a_1\.\) menge(v\in\ V\\V^\perp | blf(v,v)=a) bzw. menge(v\in\ V\\V^\perp | q(v)=a) für$alle$a\in\ K. $ $\(a_2\.\) den hyperbolischen Paaren $ $\(a_3\.\) den maximal total isotropen Unterräumen von V. Insbesondere ist die Dimension aller maximalen totel isotropen Unterräume gleich und somit eine Invariante von (V, blf(\dot,\dot)) bzw. (V,q). Sie wird als \darkblue\ array(Witt\-Index)____\black des Raums bezeichnet. (b) Es sei V nichtentartet (d.h. V^\perp=menge(0)). Betrachte eine Zerlegung $ $der Form $ $V=H_1 \perp H_2 \perp ... \perp H_r \perp U $ $mit hyperbolischen Ebenen H_i und einem total anisotropen Unterraum$U. $ $Es gilt dann: $ $\(b_1\.\) r ist eindeutig durch V bestimmt. $ $\(b_2\.\) Der Isomorphietyp von U ist eindeutig durch V bestimmt. $ $\(b_3\.\) r ist der Witt\-Index von V.
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) Alle Aussagen von a. folgen mehr oder minder direkt aus dem Satz von Witt. Wenn v und v' Vektoren auf V\\V^\perp mit blf(v,v)=a=blf(v',v') bzw. q(v)=a=q(v') sind, dann setze U:=Kv, U':=Kv' und definiere g: U\to\ U' durch g(v):=v'. Weil v,v'\notin\ V^\perp sind, ist U\cut\ V^\perp=U'\cut\ V^\perp=0, d.h. g erfüllt die Voraussetzungen des Satzes von Witt. Also lässt sich g zu einer Isometrie g^^: V\to\ V ausdehnen, d.h. es gibt ein g^^\in\ G mit g^^(v)=v' wie gewünscht. Sind (e,f) und (e',f') zwei hyperbolische Paare, so setze U:=Ke+Kf, U':=Ke'+Kf' und definiere g:U\to\ U' durch g(e):=e', g(f):=f'. Das ist eine Isometrie U\to\ U' und weil U und U' hyperbolische Ebenen sind, gilt wieder U\cut\ V^\perp=U'\cut\ V^\perp=0. Also gibt es erneut nach dem Satz von Witt ein g^^\in\ G, das diese Isometrie fortsetzt, also insbesondere (e,f) auf (e',f') abbildet. Sind U und U' total isotrope Unterräume und ist oBdA dim(U)<=dim(U'), so ist jede injektive lineare Abbildung g:U\to\ U' eine Isometrie. Wenn U und U' maximal total isotrop sind, dann muss V^\perp\subseteq\ U sein, denn andernfalls wäre U+V^\perp ein echt größerer, total isotroper Unterraum. Analog ist auch V^\perp\subseteq\ U'. Damit sind die Voraussetzungen des Satzes von Witt erfüllt und g lässt sich fortsetzen zu einer Isometrie g^^: V\to\ V. W:=g^^^(-1)(U') ist dann ein total isotroper Unterraum mit U\subseteq\ W\subseteq\ V. Wenn U also maximal total isotrop war, dann ist U=W, d.h. g^^ bildet U auf U' ab. \blue\checked Auch der Teil (b) ist nicht sonderlich schwer, wenn man den Satz von Witt erstmal hat. Sind V=H_1 \perp H_2 \perp ... \perp H_r \perp U und V=H'_1 \perp H'_2 \perp ... \perp H'_r' \perp U' zwei solche Zerlegungen, etwa mit r<=r', dann setze W:=H_1\oplus...\oplus\ H_r und W':=H'_1\oplus...\oplus\ H_r Man kann Isometrien H_i\to\ H'_i \(bilde einfach hyperbolische Paare aufeinander ab\) für 1<=i<=r zu einer Isometrie g: W\to\ W' zusammensetzen. Wegen V^\perp=0 lässt sich der Satz von Witt anwenden und wir erhalten eine Isometrie g^^:V\to\ V, die g fortsetzt. Insbesondere ist dann g^^(U) total anisotrop, weil U das ist. Nun ist aber U=W^\perp, d.h. g^^(U)=g^^(W)^\perp=W'^\perp=H'_(r+1)\oplus...\oplus\ H'_r'\oplus\ U'. Weil g^^(U) nun aber total anisotrop ist, kann es keine hyperbolischen Ebenen in g^^(U) geben, also muss r=r' und g^^(U)=U' sein. Das zeigt \(b_1\.\) und \(b_2\.\). Sind (e_i, f_i) hyperbolische Paare in H_i, so ist W:=\span|menge(e_i | 1<=i<=r) ein total isotroper Unterraum, denn die e_i stehen paarweise aufeinander senkrecht und sind isotrop, also ist jede Linearkombination von ihnen isotrop. Angenommen, W wäre nicht maximal total isotrop. Dann gäbe es ein x\in\V\\W, sodass W+Kx total isotrop wäre. Weil man nun die Zerlegung V=H_1 \perp H_2 \perp ... \perp H_r \perp U = W\oplus U \oplus \span|menge(f_i | 1<=i<=r) hat, kann man dabei o.B.d.A. annehmen, dass x eine Linearkombination von f_i und Elementen von U ist: x=sum(\lambda_i*f_i,i=1,r)+u Wenn W+Kx wirklich total isotrop ist, so gilt: 0=blf(e_i,x)=blf(e_i,\lambda_i*f_i)=\lambda_i d.h. x=u. Nun muss aber x selbst isotrop sein und U ist total anisotrop, d.h. x=0. \blitz \blue\ q.e.d.
Eine weitere Konsequenz ist z.B. ein sehr einfacher Beweis des Trägheitssatzes von Sylvester:
Trägheitssatz von Sylvester
Sei V ein endlichdimensionaler \IR\-Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform \beta: V\times\ V->\IR. Die Anzahlen positiver und negativer Eigenwerte einer Darstellungsmatrix von \beta hängt nicht von der gewählten Basis ab.
Jede Darstellungsmatrix A von \beta ist symmetrisch, da \beta symmetrisch ist. Also sind sie alle orthogonal diagonalisierbar, wie uns der Spektralsatz verrät, d.h. es gibt Matrix Q mit: Q^(-1)*A*Q=Q^T*A*Q=matrix(\l_1,,;,\ddots,;,,\l_n)=D Wegen Q^T*A*Q=D ist D die Darstellungsmatrix von \beta bzgl. der Basis, die aus den Spalten von Q gebildet wird. In anderen Worten: Ist A eine Darstellungsmatrix von B bzgl. irgendeiner Basis, so können wir eine Eigenbasis \(b_i\.\)_(i=1..n) von A finden, dass \beta(b_i, b_j)=0 für i!=j und \beta(b_i, b_i)=\lambda_i für die Eigenwerte \lambda_i von A. Wir können dabei sofort annehmen, dass \lambda_1>=\lambda_2>=...>=\lambda_r>0>\lambda_s>=\lambda_(s+1)>=...>=\lambda_n für gewisse Indizes r

 

Symmetrische Bilinearformen in Charakteristik Zwei

Wir haben uns für quadratische Formen zu interessieren begonnen, weil ich behauptet habe, dass die Alternative - symmetrische Bilinearformen - nur Charakteristiken ungleich 2 das "richtige" Konzept sind. Wir wollen uns nun anschauen, was eigentlich schief geht bei Bilinearformen in Charakteristik Zwei.
Satz: Isometriegruppen von symmetrischen Bilinearformen in Charakteristik 2
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) define(dot,opimg(*)) Sei char(K)=2 und (V, blf(\dot,\dot)) ein K\-Vektorraum mit einer nichtausgearteten symmetrischer Bilinearform. Dann definiere W:=menge(v\in\ V | blf(v,v)=0). Es gilt: (a) W ist ein Unterraum. Jede Isometrie f\in\ O(V) bildet rad(W) und W $ $in sich selbst ab. f induziert auf rad(W) und V\/W die Identität. (b) Setze W^-:=W\/rad(W). Der Homomorphismus $ $ cases(O(V)\to\ Sp(W^-);f\mapsto\ f^-) $ $der jedem f die induzierte Abbildung zuordnet, ist surjektiv $ $und der Kern ist nilpotent von Nilpotenzklasse <=2. (c) Ist K perfekt, d.h. K=menge(k^2 | k\in\ K), so ist $ $dim$V\/W<=1 und dim$rad(W)<=1 mit dim$V\/W+dim$rad(W)==dim$V$\(mod$2\)
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) define(dot,opimg(*)) a. Zunächst überzeugt man sich schnell davon, dass W tatsächlich ein Unterraum von V ist. Ist f\in\ O(V) und v\in\ V beliebig, so gilt weiter: blf(f(v)+v,f(v)+v) = blf(f(v),f(v))+2*blf(f(v),v)+blf(v,v) =blf(v,v)+0+blf(v,v) =0 => f(v)+v\in\ W Falls also v\in\ W war, dann ist auch f(v)\in\ W. Außerdem ist f(v)==v mod W, d.h. f induziert auf V\/W die Identität. Ist x\in\ rad(W), d.h. \forall\ w\in\ W: blf(x,w)=0, so gilt für alle v\in\ V: blf(f(x)+x,v) = blf(f(x),v)+blf(x,v) =blf(x,f^(-1)(v))+blf(x,v) =blf(x,f^(-1)(v)+v) =0 Die letzte Gleichung gilt, das, wie eben gesehen, f^(-1)(v)+v\in\ W und x\in\ rad(W) ist. Da blf(\dot,\dot) nichtentartet und v\in\ V beliebig ist, folgt f(x)+x=0 => f(x)=x. Also ist f auf rad(W) ebenfalls die Identität. b. Wenn wir also eine Basis \(b_\alpha\.\)_(0<=\alpha<\delta) mit \delta=dim(V) wählen, sodass \(b_\alpha\.)_(0<=\alpha<\beta) eine Basis von rad(W) und \(b_\alpha\.\)_(0<=\alpha<\gamma) eine Basis W wäre mit \beta<=\gamma<\delta, dann ergäbe sich also für jedes f\in\ O(V) eine Blockdreiecksmatrix bzgl. dieser Basis: matrix(1,X,Y;,A_f,Z;,,1) A_f ist dabei die Darstellungsmatrix von f^-: W^-\to\ W^- bzgl. der Basis \(\.(b_\alpha)^-\)_(\beta<=\alpha<\gamma). Der Kern des Homomorphismus f\mapsto\ f^- besteht also bzgl. dieser Basis aus Blockdreicksmatrizen der Form matrix(1,X,Y;,1,Z;,,1) und eine Standardrechnung zeigt, dass die Gruppe aller solcher Matrizen nilpotent der Nilpotenzklasse <=2 ist. Machen wir uns Gedanken um das Bild dieses Homomorphismus. Da f die Bilinearform auf V erhält, erhält f natürlich auch die induzierte Form blf((w_1)^-,(w_2)^-):=blf(w_1,w_2) auf W^-. Dass diese wohldefiniert und nichtentartete ist, haben wir uns schon einmal überlegt. Nach Definition von W ist es außerdem eine alternierende Form, sodass wir in der Tat erhalten, dass O(V) nach Sp(W^-) geschickt wird. Ist nun g\in\ Sp(W^-) beliebig, so können wir g zu einer Abbildung f:W\to\ W heben, die auf rad(W) die Identität induziert. Das geht etwa, indem wir ein Komplement U von rad(W) in W wählen und einen Isomorphismus U<->W^- benutzen, um eine Abbildung U\to\ U zu bekommen, die dann zusammen mit id_array(\|rad(W)) eine Abbildung f: W\to\ W ergibt. Da nun nach Konstruktion f(w)^-=g(w^-) gilt, folgt: blf(f(w_1),f(w_2))=blf((f(w_1))^-,(f(w_2))^-) =blf(g((w_1)^-),g((w_2)^-)) =blf((w_1)^-,(w_2)^-) =blf(w_1,w_2) Nach dem Satz von Witt können wir f zu einer Isometrie von ganz V fortsetzen und haben damit das gesuchte Urbild von g gefunden. c. Weil K perfekt ist, ist die Frobeniusabbildung F:=x\mapsto\ x^2 ein Automorphismus von K. Die Abbildung cases(V\to\ K;v\mapsto\ blf(v,v)) ist dann F\-semilinear: blf(v+w,v+w)=blf(v,v)+2*blf(v,w)+blf(w,w)=blf(v,v)+blf(w,w) blf(av,av)=a^2*blf(v,v)=F(a)*blf(v,v) Nach Definition ist W der Kern dieser Abbildung. V\/W ist also zum Bild \(semilinear\) isomorph. Das Bild ist ein K\-Unterraum von K, also ein\- oder nulldimensional. Daher ist dim$V\/W<=1 wie behauptet. Wenn dim$V\/W=0 ist, dann ist die Form auf V=W alternierend und nach Voraussetzung nichtentartet, also rad(W)=0. Ist andererseits dim$V\/W=1, dann wähle einen Vektor v_0\in\ V\\W. Die Abbildung cases(rad(W)\to\ K;x\mapsto\ blf(v_0,x)) ist dann linear. Da V nichtentartet ist, muss außerdem blf(v_0,x)!=0 für alle 0!=x\in\ rad(W) sein. Also kann rad(W) höchstens eindimensional sein. Es ist weiter dim$V=dim$V\/W+dim$W=dim$V\/W+dim$\.W^-+dim$rad(W) == dim$V\/W+dim$rad(W) (mod 2) da W^- als symplektischer Raum gerade Dimension haben muss. \blue\ q.e.d.
Das zeigt uns, dass die Isometriegruppen von symmetrischen Bilinearformen über Charakteristik 2 im Wesentlichen nur die symplektischen Gruppen mit einem nilpotenten Anhängsel sind. Insbesondere haben wir keine Hoffnung, dadurch neue Arten von einfachen Gruppen zu finden. Es wird sich jedoch herausstellen, dass die Isometriegruppen quadratischer Formen tatsächlich neue einfache Gruppen liefern.

 

Primitive Operationen auf isotropen Vektoren

In den Artikeln zu den klassischen Gruppen werden wir das Phänomen der isotropen Vektoren intensiv studieren und ausnutzen. Ich habe im Artikel über die alternierenden Gruppen das Lemma von Iwasawa bewiesen und angekündigt, dass alle Einfachheitsbeweise für die klassischen Gruppen, die wir führen wollen, dieses Lemma als Kernpunkt haben werden. Eine Voraussetzung, um dieses Lemma für einen Einfachheitsbeweis zu nutzen, ist eine primitive Operation der fraglichen Gruppe. Die Isometriegruppen der diversen Geometrien kommen mit vielen kanonischen Operationen und eben die Operation auf den isotropen Punkten wird sich als besonders nützlich herausstellen, weil damit primitive Operationen leicht zu haben sind. Der folgende Satz liefert uns ein nützliches Kriterium, mit dem wir sehr, sehr leicht Primitivität überprüfen werden können. Außerdem bekommen wir eine allgemeine Beschreibung des Kerns dieser Operation:
Satz: Kern und Primitivität for free
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) define(dot,opimg(*)) Sei (V, blf(\dot,\dot)) bzw. (V, q) ein K\-Vektorraum mit einer nicht\-entarteten hermiteschen, alternierenden oder quadratischen Form, Dimension 2<=n<\infty, Witt\-Index r>=1 und Isometriegruppe O(V). Definiere \Gamma(V) := menge(Kv | v\in\ V^\# isotrop) bzw. \Gamma(V) := menge(Kv | v\in\ V^\# singulär) Wir betrachten die kanonische Operation von Untergruppen G<=O(V) auf \Gamma(V). (a) Der Kern der Operation ist Z(V)\cap\ G = menge(g\in\ G | \exists\lambda\in\ K^x: g=\lambda*id_V). (b) Ist r>=2 und G operiert als Rang\-3\-Gruppe auf \Gamma(V), dann operiert $ $G automatisch primitiv. (c) O(V) selbst operiert also 2\-transitiv auf \Gamma(V), falls r=1, und $ $zumindest primitiv, wenn r>=2 ist.
define(dot,opimg(*)) makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) a. ist einfach zu zeigen. Sei g\in\ G ein Element im Kern der Operation, d.h. es gilt g(Kv) = Kv für alle Kv\in\Gamma(V). Für jeden isotropen Vektor v gibt es also einen Skalar \lambda_v\in\ K^x mit g(v) = \lambda_v\.v Wir behaupten, dass \lambda_v gar nicht von v abhängt, sondern konstant ist. Seien dazu v,w\in\ V^\# zwei isotrope Vektoren. Es gilt: \lambda_v\.v+\lambda_w\.w=g(v)+g(w) = g(v+w) = \lambda_(v+w)(v+w). Sind v und w linear unabhängig, so folgt daraus \lambda_w = \lambda_(v+w) = \lambda_w. Sind v und w linear abhängig, dann muss g sie sowieso um denselben Faktor strecken, also ist auch in diesem Fall \lambda_v=\lambda_w. Jetzt gilt also g(v)=\lambda\.v für alle isotropen v\in\ V. Wir behaupten, dass die isotropen Vektoren V aufspannen und daher g=\lambda\.id_V ist. Dazu benutzen wir die Zerlegung, die wir oben bewiesen haben: Wir wählen also hyperbolische Ebenen H_i und einen total anisotropen Unterraum U mit V = H_1 \perp ... \perp H_r \perp U Hier machen uns nur die Vektoren in U Probleme, denn in H_i gibt es ein Erzeugendensystem aus isotropen Vektoren \(die hyperbolischen Paare\). array(Fall 1:)__ blf(\dot,\dot) ist alternierend. Dann ist U=0 und wir haben nichts zu zeigen. array(Fall 2:)__ blf(\dot,\dot) ist hermitesch, aber nicht bilinear \(d.h. $^-!=id_K\.\) Dann sei u\in\ U^\# beliebig und \alpha:=blf(u,u)!=0. Wir haben uns oben bereits einmal überlegt, dass tr_array(K\|K_0): x\mapsto\ tr(x):=x+x^- ist eine surjektive Abbildung K\to\ K_0:=menge(x\in\ K | x=x^-) ist. Wir betrachten jetzt ein hyperbolisches Paar (e,f) in H_1 und rechnen: blf(e+\beta\.f,e+\beta\.f) = \beta^-+\beta = tr_array(K\|K_0)(\beta) Es gibt also ein \beta\in\ K, sodass blf(e+\beta\.f,e+\beta\.f)=\alpha ist. Der Satz von Witt garantiert uns jetzt jedoch, dass alle Vektoren v mit blf(v,v)=\alpha gleichberechtigt sind. Wenn also e+\beta\.f im Erzeugnis von isotropen Vektoren liegt, muss auch u im Erzeugnis von isotropen Vektoren liegen. \(Präziser: Es gibt ein \gamma\in\ O(V) mit \gamma(e+\beta\.f)=u. u liegt dann im Erzeugnis von \gamma(e) und \gamma(f).\) array(Fall 3:)__ Wir haben eine quadratische Form q. Es wieder u\in\ U^\#, \alpha:=q(u) und (e,f) ein hyperbolisches Paar H_1. Wir rechnen wieder: q(e+\beta\.f) = q(e)+\beta*blf(e,f)+\beta^2\.q(f) = \beta Indem wir also \beta:=\alpha wählen, haben wir erneut einen Vektor gefunden, der im Erzeugnis der singulären Vektoren von V liegt und q(v)=\alpha erfüllt. Dasselbe Argument wie eben zeigt uns, dass auch u im Erzeugnis der singulären Vektoren liegen muss. \blue\checked define(tilde,opimg(~)) makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) b. Sei also G eine Rang\-3\-Gruppe auf \Gamma(V). In diesem Fall müssen die drei Bahnen auf \Gamma(V)\times\Gamma(V) genau gleich \Delta = menge((Kv,Kv)\in\Gamma(V)^2) \calH = menge((Kv,Kw)\in\Gamma(V)^2 | Kv!=Kw, blf(v,w)!=0) \calO = menge((Kv,Kw)\in\Gamma(V)^2 | Kv!=Kw, blf(v,w)=0) sein, denn offenkundig werden diese Mengen von allen G<=O(V) in sich abgebildet und wegen r>=2 sind auch alle drei nichtleer. Weil es nicht mehr als drei G\-Bahnen auf \Gamma(V)\times\Gamma(V) geben kann, zerfallen diese Mengen aber nicht weiter. \(Das impliziert übrigens schon, dass G transitiv auf \Gamma(V) ist.\) Um nun die Primitivität zu zeigen, nehmen wir an, es gäbe eine Äquivalenzrelation \tilde\subseteq\Gamma(V)\times\Gamma(V), sodass \tilde!=\Delta und \forall\ f\in\ O(V) \forall\ Kv,Kw\in\Gamma(V): Kv \tilde Kw <=> f(Kv) \tilde f(Kw) gilt. Da \tilde!=\Delta ist, gibt es mindestens ein Element, das nicht in \Delta liegt. Also enthält \tilde eine der beiden Mengen \calH und \calO komplett, weil \calH und \calO Bahnen von O(V) sind. Wir zeigen, dass jeweils auch die andere Bahn enthalten ist, also \tilde die Allrelation ist. array(Fall 1:)__ \calH\subseteq\tilde. Sind Kv,Kw\in\Gamma(V) mit blf(v,w)=0 und Kv!=Kw, so folgt aus dem Satz von Witt, dass wir v und w zu orthogonalen hyperbolischen Paar (v,v') bzw. (w,w') ergänzen können. Der Vektor u:=v'+w' ist nun isotrop und erfüllt blf(v,u)=1=blf(w,u). Damit folgt Kv \tilde Ku \tilde Kw => Kv \tilde Kw => \calO\subseteq\tilde. array(Fall 2:)__ \calO\subseteq\tilde. Sind Kv,Kw\in\Gamma(V) mit blf(v,w)!=0 und Kv!=Kw, dann ist H:=Kv+Kw eine hyperbolische Ebene und gibt es ein u\in\ H^\perp \\ \{0\} \(denn wegen r>=2 ist H^\perp mindestens zweidimensional\) => blf(v,u)=blf(w,u)=0 => Kv \tilde Ku \tilde Kw => Kv \tilde Kw => \calH\subseteq\tilde. Also gibt es keine nichttriviale Äquivalenzrelation, die mit der Operation verträglich ist. Somit operiert G primitiv auf \Gamma(V). \blue\checked c. ist nun eine einfache Folgerung, denn aus dem Satz von Witt ergibt sich sofort, dass O(V) transitiv auf \Gamma(V), \calO und \calH operiert. Wenn r=1 ist, dann ist \calO leer, d.h. O(V) ist eine Rang\-2\-Gruppe, also 2\-transitiv auf \Gamma(V). Wenn r>=2 ist, dann greift b. und O(V) ist zumindest primitiv auf \Gamma(V). \blue\ q.e.d.
Der Satz von Witt ist als Transitivitätsaussage oft bereits die halbe Miete, um zu zeigen, dass eine bestimmte Untergruppe transitiv auf dieser oder jener Menge operiert. Mit ein paar Modifikationen für die Untergruppe G lässt sich die Rang-3-Bedingung deshalb oft sehr einfach nachprüfen. Es fällt vielleicht auf, dass wir von der Gruppe G überhaupt nicht viel benutzt haben und die Primitivität mehr aus der Geometrie als aus den Eigenschaften der Gruppe folgte. In der Tat sind Rang-3-Operationen so sehr eingeschränkt, dass derartige Schlüsse in sehr vielen Situationen möglich sind. Aschbacher hat z.B. in seinem Kapitel über Rang-3-Gruppen ein rein kombinatorisches Kriterium für Primitivität. Wir werden ähnliche geometrische Schlüsse auch im Kapitel über O_n(\mathbb{R}) und U_n(\mathbb{C}) benutzen (dort natürlich für eine andere Operation, da es keine isotropen Vektoren gibt).

 

Abschluss

Das soll es zum Satz von Witt gewesen sein. Im nächsten Artikel werden wir einen genaueren Blick auf den Fall, dass der Körper K endlich ist, werfen, die entsprechenden Geometrien klassifizieren und etwas Kombinatorik betreiben. mfg=Goc \perp kel

Die Reihe "Einfache Gruppen"

Inhaltsverzeichnis Vorheriger Teil der Reihe: Sesquilinear- und quadratische Formen I - Orthogonalität Nächster Teil der Reihe: Sesquilinear- und quadratische Formen III - Endliche Geometrien

 


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