Starker Raucher
Von: matroid
Datum: Mo. 19. November 2001 00:01:25
Thema: Vermischtes
\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Stefan Banach war ein starker Raucher (Ja, der mit dem Raum!). Ein Kollege von mir ist auch einer, und der hat immer mindestens 3 Feuerzeuge in der Tasche - nur für den Fall.
Aber Banach lebte in einer Zeit ohne Einweg-Feuerzeuge. In seiner Zeit hatte er vergleichbare Vorsichtsmaßnahmen getroffen. Er hatte nämlich immer 2 Schachteln Streichhölzer dabei - eine in der linken Hosentasche, eine in der rechten. Um eine Zigarette anzuzünden, griff er mit gleicher Wahrscheinlichkeit in eine seiner beiden Hosentaschen, entnahm die dortige Streichholzschachtel und entzündete seine Zigarette. Wenn er eine leere Schachtel gezogen hatte, dann ersetzte er sofort beide Schachteln durch neue, voll gefüllte!
Zündholzschachtel von Matroids Matheplanet

Immer wurden beide Schachteln ersetzt, die eine davon leer, aber was war mit der anderen? In den meisten Fällen wird diese noch einige Hölzer enthalten haben.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die weggeworfene zweite Schachtel noch eine bestimmte Anzahl Hölzer enthalten hat?

Banach hätte sich diese Frage nicht gestellt. Für ihn stand im Vordergrund, nie ohne Zündhölzer da zu stehen. Vielleicht hatte er Assistenten, die seine halbleeren Streichholzschachteln sammelten und deren Inhalt auszählten.
Wie auch immer, die Frage ist nun gestellt, und die Lösung soll erarbeitet werden.


Lösung des Banachschen Zündholzschachtel-Problems

Jede Schachtel enthalte exakt n Streichhölzer.
Nun kann man zunächst feststellen, daß das Ereignis "Beide Schachteln werden ersetzt (weggeworfen)" frühestens nach n+1 und spätestens nach 2n+1 "Versuchen" eintritt.

Die Wahrscheinlichkeit in die rechte Tasche zu greifen sei p, die Wahrscheinlichkeit für "Griff in linke Tasche" nennen wir q. In der Aufgabe ist gesagt, daß p = q = 1/2.

Wenn das Ereignis "Schachteln werden ersetzt" bereits beim (n+1)-ten Versuch eintritt, dann hat sich Bachach zuvor n-mal aus der gleichen Hosentasche bedient, bevor er beim (n+1)-ten Griff in die Tasche schon wieder zufällig die gleiche Hosentasche wählt. In diesem Fall sind noch n Hölzer in der nichtleeren Schachtel. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist
P(k=n) = (n+1n+1)*pn+1 *q0 + (n+1n+1)*p0 *qn+1
= (1/2)n

Wenn er 1 Holz aus der anderen Schachtel benutzt hat, dann hat er bei den ersten n+1 Gelegenheiten genau n Streichhölzer aus der einen und genau eines aus der anderen Schachtel genommen. Dann, bei der (n+2)-ten Gelegenheit, hat er eine leere Schachtel in der Hand.

Die Wahrscheinlichkeit dafür ist:
P(k=n-1) = (n+1n)pnq1*p + (n+1n)p*qn*q
= 2 (n+1n)(1/2)n+2
= (n+1n)(1/2)n+1
= (n+1)(1/2)n+1

Wenn beim Ersetzen der Schachteln in einer Schachtel noch n-2 Hölzer sind, dann muß Banach bei den ersten n+2 Gelegenheiten 2 Hölzer aus der anderen Schachtel und n aus der nun leeren Schachtel genommen haben. Dann - bei der (n+3)-ten Zigarette greift er wieder die geleerte Schachtel.

Die Wahrscheinlichkeit ist:
P(k=n-2) = (n+2n)pn q2 p + (n+2n)p2 qn q
Mit p = q = 1/2 ist das:
= 2 (n+2n)(1/2)n+3
= (n+2n)(1/2)n+2

Nun ist das Muster klar: P(k=n-r) = (n+rn)(1/2)n+r
Suchen wir die Wahrscheinlichkeit für k Hölzer in der anderen Schachtel, dann ersetzen wir r durch n-k und erhalten:

P("k Streichhölzer in der anderen Schachtel") = (n+n-kn)(1/2)n+n-k = (2n-kn)(1/2)2n-k

Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man negative Binomialverteilung oder Pascal-Verteilung. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion

f(x) = (k+x-1x)pkqx
q = 1 - p, x = 0,1,...

gibt die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens des k-ten Erfolges bei der (k+x)-ten Ausführung eines Bernoulli-Experiments an. k ist fest vorgegeben.
p ist die Wahrscheinlichkeit im Einzelversuch.

Die Pascal-Verteilung ist für einfache "Wartezeitprobleme" geeignet.
Ein schönes Beispiel für eine realistische Anwendung dieser Verteilung: Modell zur Beschreibung kariesepidemiologischer Daten.


Nun, soweit zu Stefan Bachachs Problem, oder dem, was nachfolgende Generationen daraus gemacht haben.
Folgende Seiten betreffen auch Zündhölzer, aber sind von allgemein unterhaltendem Anspruch:


Konstruktionen aus Streichhölzern


Im Jahre 1920 führte Stefan Banach (1892-1945) in seiner Dissertation den Begriff des Banachraumes (espace du type (B)) ein. Diese axiomatische Formulierung stand am Ende einer längeren Entwicklung, in der ausgehend von der Beschäftigung mit konkreten Problemen aus dem Bereich der Integralgleichungen oder spezieller Funktionenräume Ergebnisse über Banachräume bewiesen worden waren, ohne den Begriff zur Verfügung zu haben. Banachs berühmtes Buch von 1932 "Theorie des operations lineaires" enthält viele der heutigen Grundprinzipien der Funktionalanalysis und legte den Grundstein für eine neue mathematische Theorie.
Stefan Banach Mehr über Stefan Banach.
 



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