Lokalisierung von Moduln und Ringen

Die grundlegende Idee bei der Lokalisierung eines Ringes nach einem System von Elementen besteht darin, dass man diese Elemente invertierbar machen möchte. Normalerweise sind für die Konstruktion recht viele Rechnungen nötig. In diesem Artikel bespreche ich Lokalisierungen von Moduln und Ringen in einem allgemeineren kategoriellen Rahmen und erkläre, wie man damit auf die Rechnungen größtenteils verzichten kann. Und obwohl die Lokalisierungen abstrakt konstruiert werden, kann man aus der definierenden universellen Eigenschaft die explizite Gestalt der Elemente herleiten. Das scheint recht unbekannt zu sein.

1. Lokalisierung in einer Kategorie

Invertieren eines Endomorphismus.

Wir werden die Sprache der Kategorientheorie benutzen, vor allem Kolimites und Adjunktionen. Das Anliegen der Lokalisierung kann man recht allgemein formulieren: Wir haben einen Endomorphismus $X\; \backslash to\; X$ eines Objektes $X$ einer Kategorie und möchten diesen invertierbar, d.h. zu einem Automorphismus machen. Um dies möglichst prägnant zu formulieren, führen wir die folgenden Kategorien ein: Definition. Sei $C$ eine Kategorie. Dann haben wir die Kategorie $C[T]$, deren Objekte Paare $(X,f)$ sind, wobei $X\; \backslash in\; C$ ein Objekt und $f\; :\; X\; \backslash to\; X$ ein Endomorphismus ist. Ein Morphismus $(X,f)\; \backslash to\; (Y,g)$ ist ein Morphismus $h\; :\; X\; \backslash to\; Y$ mit $g\; \backslash circ\; h\; =\; h\; \backslash circ\; f$: Die volle Unterkategorie $C[T,T^\{-1\}]\; \backslash subseteq\; C[T]$ besteht aus den $(X,f)$, für die $f\; :\; X\; \backslash to\; X$ ein Automorphismus ist. Beispiel. Sei $R$ ein Ring. Dann ist $\backslash mathsf\{Mod\}(R)[T]\; \backslash cong\; \backslash mathsf\{Mod\}(R[T])$ und $\backslash mathsf\{Mod\}(R)[T,T^\{-1\}]\; \backslash cong\; \backslash mathsf\{Mod\}(R[T,T^\{-1\}])$. Das erklärt auch die allgemeine Notation $C[T]$. Diese Isomorphismen sind zum Beispiel in der Normalformentheorie von Bedeutung und motivieren, selbst wenn man nur für Vektorräume und deren Endomorphismen interessiert ist, das Studium von beliebigen Moduln. Im Folgenden kann man sich an diesem Beispiel orientieren. Bemerkung. Es habe $C$ Koprodukte. Dann besitzt der Vergissfunktor $U\; :\; C[T]\; \backslash to\; C,\; (X,f)\; \backslash mapsto\; X$ einen linksadjungierten Funktor $C\; \backslash to\; C[T],\; Y\; \backslash mapsto\; Y[T]$. Ebenso besitzt der Vergissfunktor $C[T,T^\{-1\}]\; \backslash to\; C$ einen linksadjungierten Funktor $Y\; \backslash mapsto\; Y[T,T^\{-1\}]$. Beweis. Wir setzen $Y[T]\; :=\; (\backslash bigoplus\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\}\; Y,T)$, wobei $i\_n\; :\; Y\; \backslash to\backslash bigoplus\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\}\; Y$ die Inklusion des $n$-ten Summanden ist und der "Shift" $T$ durch $T\; \backslash circ\; i\_n\; =\; i\_\{n+1\}$ definiert sei. Für $(X,f)\; \backslash in\; C[T]$ ist dann ein Morphismus $Y[T]\; \backslash to\; (X,f)$ dasselbe wie eine Familie von Morphismen $h\_n\; :\; Y\; \backslash to\; X$ mit $h\_\{n+1\}\; =\; f\; \backslash circ\; h\_n$ für alle $n$. Das reduziert sich also auf $h\_0\; :\; Y\; \backslash to\; X=U(X,f)$, was zu zeigen war. Ganz ähnlich funktioniert $Y[T,T^\{-1\}]\; :=\; (\backslash bigoplus\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}\}\; Y,T)$. QED Lemma. Es habe $C$ gerichtete Kolimites. Dann besitzt die Inklusion $i\; :\; C[T,T^\{-1\}]\; \backslash hookrightarrow\; C[T]$ einen linksadjungierten Funktor $L\; :\; C[T]\; \backslash to\; C[T,T^\{-1\}]$. Beweis. Sei $(X,f)\; \backslash in\; C[T]$ gegeben. Definiere $L(X,f)\; :=\; (\backslash overline\{X\},\backslash overline\{f\})$ wie folgt: Es sei $\backslash overline\{X\}$ der Kolimes der Folge $X\; \backslash xrightarrow\{f\}\; X\; \backslash xrightarrow\{f\}\; X\; \backslash xrightarrow\{f\}\; \backslash dotsc$ Die $n$-te Kopie von $X$ in dieser Folge bezeichnen wir einmal mit $X\_n$. Dann gibt es für alle $n$ einen Morphismus $i\_n\; :\; X\_n\; \backslash to\; \backslash overlibe\{X\}$ und es gilt $i\_\{n+1\}\; \backslash circ\; f\; =\; i\_n$. Die Morphismen $i\_n\; \backslash circ\; f\; :\; X\_n\; \backslash to\; \backslash overline\{X\}$ sind kompatibel, denn $(i\_\{n+1\}\; \backslash circ\; f)\; \backslash circ\; f\; =\; i\_n\; \backslash circ\; f$. Also gibt es genau einen Morphismus $\backslash overline\{f\}\; :\; \backslash overline\{X\}\; \backslash to\; \backslash overline\{X\}$ mit $\backslash overline\{f\}\; \backslash circ\; i\_n\; =\; i\_n\; \backslash circ\; f$ für alle $n$. Die Morphismen $i\_\{n+1\}\; :\; X\_n=X\_\{n+1\}\; \backslash to\; \backslash overline\{X\}$ sind kompatibel, also gibt es genau einen Morphismus $h\; :\; \backslash overline\{X\}\; \backslash to\; \backslash overline\{X\}$ mit $h\; \backslash circ\; i\_n\; =\; i\_\{n+1\}$ für alle $n$. Wir behaupten, dass $h$ zu $\backslash overline\{f\}$ invers ist. Dazu berechnen wir $h\; \backslash circ\; \backslash overline\{f\}\; \backslash circ\; i\_n\; =\; h\; \backslash circ\; i\_n\; \backslash circ\; f\; =\; i\_\{n+1\}\; \backslash circ\; f\; =\; i\_n,$ $\backslash overline\{f\}\; \backslash circ\; h\; \backslash circ\; i\_n\; =\; \backslash overline\{f\}\; \backslash circ\; i\_\{n+1\}\; =\; i\_\{n+1\}\; \backslash circ\; f\; =\; i\_n.$ Daraus folgt $h\; \backslash circ\; \backslash overline\{f\}\; =\; \backslash overline\{f\}\; \backslash circ\; h\; =\; \backslash mathrm\{id\}\_\{\backslash overline\{X\}\}$. Damit ist $(\backslash overline\{X\},\backslash overline\{f\})\; \backslash in\; C[T,T^\{-1\}]$ gezeigt. Wir erhalten einen Funktor $L\; :\; C[T]\; \backslash to\; C[T,T^\{-1\}]$. Nun sei $(Y,g)\; \backslash in\; C[T,T^\{-1\}]$. Ein Morphismus $(\backslash overline\{X\},\backslash overline\{f\})\; \backslash to\; (Y,g)$ ist ein Morphismus $h\; :\; \backslash overline\{X\}\; \backslash to\; Y$ mit $g\; \backslash circ\; h\; =\; h\; \backslash circ\; \backslash overline\{f\}$, äquivalent $g\; \backslash circ\; h\; \backslash circ\; i\_n\; \backslash stackrel\{!\}\{=\}\; h\; \backslash circ\; \backslash overline\{f\}\; \backslash circ\; i\_n\; =\; h\; \backslash circ\; i\_n\; \backslash circ\; f$ für alle $n$. Das ist dasselbe wie eine Familie von Morphismen $h\_n\; :\; X\_n\; \backslash to\; Y$ mit $h\_\{n+1\}\; \backslash circ\; f\; =\; h\_n$ sowie $g\; \backslash circ\; h\_n\; =\; h\_n\; \backslash circ\; f$ für alle $n$. Für alle $n\; \backslash geq\; 1$ folgt $h\_n\; =\; g^\{-1\}\; \backslash circ\; h\_n\; \backslash circ\; f\; =\; g^\{-1\}\; \backslash circ\; h\_\{n-1\}$, d.h. für alle $n$ gilt $h\_n\; =\; g^\{-n\}\; \backslash circ\; h\_0$. Hat man umgekehrt einen Morphismus $h\_0\; :\; X\; \backslash to\; Y$ mit $g\; \backslash circ\; h\_0\; =\; h\_0\; \backslash circ\; f$ gegeben und definiert $h\_n\; :=\; g^\{-n\}\; \backslash circ\; h\_0$, so gelten die obigen Gleichungen. Damit ist eine natürliche Bijektion zwischen Morphismen $L(X,f)\; \backslash to\; (Y,g)$ und Morphismen $(X,f)\; \backslash to\; (Y,g)$ hergestellt. QED Definition. Sei $X\; \backslash in\; C$ und $f\; :\; X\; \backslash to\; X$ ein Endomorphismus. Wir nennen das unterliegende Objekt von $L(X,f)$ in $C$ die Lokalisierung von $X$ nach $f$ und bezeichnen es mit $X\_f$. Konkret ist also $X\_f\; =\; \backslash mathrm\{colim\}(X\; \backslash xrightarrow\{f\}\; X\; \backslash xrightarrow\{f\}\; \backslash dotsc)$. Ganze Zahlen. Als Beispiel betrachten wir die Lokalisierung im Falle $C=\backslash mathsf\{Set\}$. Betrachte die Menge der natürlichen Zahlen $\backslash mathbb\{N\}$ zusammen mit der Nachfolger-Abbildung $S\; :\; \backslash mathbb\{N\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\{N\},\; n\; \backslash mapsto\; n+1$. Diese ist zwar injektiv, aber nicht surjektiv. In der Lokalisierung $\backslash mathbb\{N\}\_S$ wird $S$ invertierbar gemacht. Anschaulich gesagt fügt man also auch Vorgänger hinzu, zum Beispiel $S^\{-1\}(0)$, aber dann auch $S^\{-2\}(0)$, usw. Es muss sich also um die Menge der ganzen Zahlen $\backslash mathbb\{Z\}$ handeln. Und dies kann sogar als Definition von $\backslash mathbb\{Z\}$ dienen! Aus der universellen Eigenschaft von $(\backslash mathbb\{N\},S,0)$ (Rekursion, siehe hier) folgt leicht eine universelle Eigenschaft von $(\backslash mathbb\{Z\},S,0)$ (beidseitige Rekursion) und damit alles weitere über ganze Zahlen.

Mehrere Endomorphismen

Sei $I$ eine beliebige Menge und $C$ eine Kategorie. Es sei $C[\backslash \{T\_i\backslash \}\_\{i\; \backslash in\; I\}]$ die Kategorie der Paare $(X,S)$, wobei $X\; \backslash in\; C$ und $S=(f\_i)\_\{i\; \backslash in\; I\}$ eine Familie von Endomorphismen $f\_i\; :\; X\; \backslash to\; X$ ist, welche paarweise miteinander kommutieren. Das motivierende Beispiel ist wieder $\backslash mathsf\{Mod\}(R)[\backslash \{T\_i\backslash \}\_\{i\; \backslash in\; I\}]\; \backslash cong\; \backslash mathsf\{Mod\}(R[\backslash \{T\_i\backslash \}\_\{i\; \backslash in\; I\}])$. Definiere analog zu vorher die volle Unterkategorie $C[\backslash \{T\_i^\{\backslash pm\; 1\}\backslash \}\_\{i\; \backslash in\; I\}]$. Die Adjunktionen übertragen sich: Für $X\; \backslash in\; C$ ist $X[\backslash \{T\_i\backslash \}\_\{i\; \backslash in\; I\}]\; =\; \backslash oplus\_\{\backslash nu\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}^I\}\; X$ mit einem geeigneten Shift. Für die Variante mit $T\_i^\{\backslash pm\; 1\}$ nimmt man $\backslash mathbb\{Z\}^I$ in der Indexmenge. Die Inklusion $C[\backslash \{T\_i^\{\backslash pm\; 1\}\backslash \}\_\{i\; \backslash in\; I\}]\; \backslash to\; C[\backslash \{T\_i\backslash \}\_\{i\; \backslash in\; I\}]$ hat einen linksadjungierten Funktor: Gegeben $(X,S)$ mit $S=(f\_i)\_\{i\; \backslash in\; I\}$, sei $X\; \backslash to\; X\_S$ der Pushout all der Morphismen $X\; \backslash to\; X\_\{f\_i\}$, $i\; \backslash in\; I$. Weil $f\_j$ mit $f\_i$ kommutiert, setzt sich $f\_j$ zu einem Endomorphismus von $X\_\{f\_i\}$ fort. Weil dies für alle $i$ geht, setzt sich $f\_j$ zu einem Endo-, sogar Automorphismus $\backslash overline\{f\_j\}$ von $X\_S$ fort. Wir erhalten damit ein Objekt $(X\_S,(\backslash overline\{f\_j\})\_\{j\; \backslash in\; I\})$ von $C[\backslash \{T\_i^\{\backslash pm\; 1\}\backslash \}\_\{i\; \backslash in\; I\}]$, dessen universelle Eigenschaft offensichtlich ist. Wir nennen $X\_S$ die Lokalisierung von $X$ nach $S$. Alternativ kann man $X\_S$ wie folgt konstruieren: Es ist $X\_S$ der gerichtete Kolimes der $X\_E$, wobei $E$ die endlichen Teilfamilien von $S$ durchläuft (die universellen Eigenschaften sind dieselben). Wenn nun $f\; :\; X\; \backslash to\; X$ die Komposition all der Endomorphismen aus $E$ ist, so hängt dies nicht von der Reihenfolge ab und es ist $f$ genau dann ein Isomorphismus, wenn alle Endomorphismen aus $E$ es sind. Daher stimmen die universellen Eigenschaften von $X\_E$ und $X\_f$ überein, d.h. $X\_E\; \backslash cong\; X\_f$.

2. Lokalisierung von Moduln

Existenz und universelle Eigenschaft.

Sei $R$ ein kommutativer Ring und $S\; \backslash subseteq\; R$ eine Teilmenge. Jeder $R$-Modul $M$ besitzt die Endomorphismen $s\; :\; M\; \backslash to\; M,\; x\; \backslash mapsto\; s\; \backslash cdot\; x$ für $s\; \backslash in\; S$. Sofern diese invertierbar sind, sei der Bruch $\backslash frac\{m\}\{s\}$ für $m\; \backslash in\; M,\; s\; \backslash in\; S$ das eindeutig bestimmte Element mit $s\; \backslash cdot\; \backslash frac\{m\}\{s\}\; =\; m$. Man prüft nun die Bruchrechenregeln $\backslash displaystyle\; \backslash frac\{m\}\{s\}\; +\; \backslash frac\{m\text{'}\}\{s\text{'}\}\; =\; \backslash frac\{s\text{'}\; \backslash cdot\; m+s\; \backslash cdot\; m\text{'}\}\{s\; \backslash cdot\; s\text{'}\}\; ~,~\; r\; \backslash cdot\; \backslash frac\{m\}\{s\}\; =\; \backslash frac\{r\; \backslash cdot\; m\}\{s\}.$ nach. Zum Beispiel ergibt sich die erste Gleichung aus $(s\; \backslash cdot\; s\text{'})\; \backslash cdot\; \backslash left(\backslash frac\{m\}\{s\}\; +\; \backslash frac\{m\text{'}\}\{s\text{'}\}\backslash right)\; =\; s\text{'}\; \backslash cdot\; \backslash left(s\; \backslash cdot\; \backslash frac\{m\}\{s\}\backslash right)+s\; \backslash cdot\backslash left(s\text{'}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{m\text{'}\}\{s\text{'}\}\backslash right)=s\text{'}\; \backslash cdot\; m\; +\; s\; \backslash cdot\; m\text{'}.$ Ist nun $M$ ein beliebiger $R$-Modul, für den die $s\; :\; M\; \backslash to\; M$ nicht notwendigerweise invertierbar sind, so können wir die Theorie aus Abschnitt 1 auf die Kategorie $\backslash mathsf\{Mod\}(R)$ anwenden und bekommen einen $R$-Modul $M\_S$, für den diese Endomorphismen invertierbar werden, zusammen mit einem Homomorphismus $\backslash tau\; :\; M\; \backslash to\; M\_S$. Es besteht die folgende universelle Eigenschaft: Für $R$-Moduln $N$, für die $s\; :\; N\; \backslash to\; N$ für alle $s\; \backslash in\; S$ ein Automorphismus ist, setzt sich jeder Homomorphismus $f\; :\; M\; \backslash to\; N$ eindeutig zu einem Homomorphismus $\backslash overline\{f\}\; :\; M\_S\; \backslash to\; N$ fort, d.h. $\backslash overline\{f\}\; \backslash circ\; \backslash tau\; =\; f$.

Wie sehen die Elemente aus?

Unsere abstrakte Konstruktion der Lokalisierung lässt zunächst die Frage offen, wie die Elemente von $M\_S$ aussehen. Allerdings können wir das anhand der universellen Eigenschaft ablesen: Natürlich gilt $M\_S\; =\; M\_\{\backslash langle\; S\; \backslash rangle\}$, wobei $\backslash langle\; S\; \backslash rangle$ das von $S$ erzeugte Untermonoid von $(R,*,1)$ ist (die universelle Eigenschaften stimmen überein). Wir können daher annehmen, dass $S$ ein Untermonoid ist. Wir schreiben $\backslash tau(m)=m$ und können in $M\_S$ die Brüche $\backslash frac\{m\}\{s\}$ bilden. Die Gesamtheit dieser Brüche ist nach den Bruchrechenregeln oben ein $R$-Untermodul von $M\_S$. Andererseits erfüllt er dieselbe universelle Eigenschaft; daher stimmt er mit $M\_S$ überein. Jedes Element von $M\_S$ hat daher die Form $\backslash frac\{m\}\{s\}$ mit $m\; \backslash in\; M$, $s\; \backslash in\; S$. Wie bereits bemerkt, kann mit diesen Brüchen wie üblich gerechnet werden.

Wann sind zwei Brüche gleich?

Es gilt $\backslash frac\{m\}\{s\}\; =\; \backslash frac\{m\text{'}\}\{s\text{'}\}$ genau dann, wenn $s\text{'}\; \backslash cdot\; m-s\; \backslash cdot\; m\text{'}$ im Kern von $\backslash tau\; :\; M\; \backslash to\; M\_S$ liegt. Wir behaupten, dass der Kern von $\backslash tau$ genau aus den $m\; \backslash in\; M$ besteht, für die ein $s\; \backslash in\; S$ mit $s\; \backslash cdot\; m\; =\; 0$ existiert. Die Rückrichtung ist klar: Aus $s\; \backslash cdot\; m=0$ folgt $s\; \backslash cdot\; \backslash tau(m)=0$ und daher $\backslash tau(m)=0$. Sei umgekehrt $m\; \backslash in\; M$ im Kern. Weil $M\_S$ der gerichtete Kolimes der $M\_E$ ist, wobei $E$ die endlichen Teilmengen von $S$ durchläuft, gibt es eine endliche Teilmenge $E\; \backslash subseteq\; S$, für die $m$ im Kern von $M\; \backslash to\; M\_E$ liegt (hier benutzen wir die explizite Konstruktion von gerichteten Kolimites!). Wenn nun $f$ das Produkt all der Elemente aus $E$ ist, so gilt $M\_E=M\_f$. Unsere Konstruktion war mit $M\_n\; =\; M$ für alle $n$. Die explizite Konstruktion des gerichteten Kolimes zeigt nun, dass es ein $n$ gibt, sodass $m$ im Kern von $M\; \backslash to\; M\_n$ liegt. Das bedeutet aber $f^n\; \backslash cdot\; m\; =\; 0$, sodass wir fertig sind. Somit gilt $\backslash displaystyle\; \backslash frac\{m\}\{s\}=\backslash frac\{m\text{'}\}\{s\text{'}\}$ genau dann, wenn es ein $t\; \backslash in\; S$ gibt mit $t\; \backslash cdot\; (s\text{'}\; \backslash cdot\; m-s\; \backslash cdot\; m\text{'})=0$. Wenn $S$ aus regulären Elementen besteht (d.h. $tm=0\; \backslash Rightarrow\; m=0$ für $m\; \backslash in\; M,\; t\; \backslash in\; S$), so vereinfacht sich dieses Kriterium zu $\backslash frac\{m\}\{s\}=\backslash frac\{m\text{'}\}\{s\text{'}\}\; \backslash Leftrightarrow\; s\text{'}\; \backslash cdot\; m=s\; \backslash cdot\; m\text{'}$, wie man es also gewohnt ist. Wenn aber $0\; \backslash in\; S$, so gilt $M\_S=0$. Teilen durch Null ist insofern erlaubt, aber langweilig.

Vergleich.

Üblicherweise wird $M\_S$ zunächst als Menge durch $(M\; \backslash times\; S)/\; \backslash sim$ definiert, wobei die Relation $\backslash sim$ durch $(m,s)\; \backslash sim\; (m\text{'},s\text{'})$ gdw. $\backslash exists\; t\; \backslash in\; S\; (t(s\text{'}m-sm\text{'})=0)$ definiert ist. Dann muss man aber zeigen, dass (a) $\backslash sim$ eine Äquivalenzrelation ist, (b) die Addition und Skalarmultiplikation auf $M\_S$ wohldefiniert sind, (c) damit $M\_S$ ein $R$-Modul wird, (d) die Äquivalenzklasse von $(m,s)$ tatsächlich den oben definierten Bruch $\backslash frac\{m\}\{s\}$ darstellt, (e) die universelle Eigenschaft erfüllt ist. Das ist mit etlichen Rechnungen verbunden. Das Vorgehen ist hier nun umgekehrt: Die universelle Eigenschaft steht an erster Stelle. Die Konstruktion einer Lösung des universellen Problems, Elemente oder allgemeiner Endomorphismen zu invertieren, folgt ganz einfachen allgemeinen kategoriellen Prinzipien. Am Schluss kann man sogar aus der universellen Eigenschaft herleiten, wie die Elemente der Lokalisierung eines Moduls aussehen und wann sie gleich sind. Die explizite Gestalt ergibt sich also synthetisch aus dem Ziel der gesamten Konstruktion! Darüber hinaus steht uns die Lokalisierung aus Abschnitt 1 auch in anderen Kategorien zur Verfügung.

Vertauschung mit Tensorprodukt.

Sei $R$ ein Ring und $S\; \backslash subseteq\; R$ eine Teilmenge. Für $R$-Moduln gibt es einen kanonischen Isomorphismus $(M\; \backslash otimes\_R\; N)\_S\; \backslash cong\; M\_S\; \backslash otimes\_R\; N\_S$; für $R$-Moduln $T$, auf denen $S$ invertierbar wirkt, gilt nämlich $\backslash hom(M\_S\; \backslash otimes\_R\; N\_S,T)\; \backslash cong\; \backslash hom(M\_S,\backslash hom(N\_S,T))\; \backslash cong\; \backslash hom(M\_S,\backslash hom(N,T))$ $\backslash cong\; \backslash hom(M,\backslash hom(N,T))\; \backslash cong\; \backslash hom(M\; \backslash otimes\_R\; N,T)\; \backslash cong\; \backslash hom((M\; \backslash otimes\_R\; N)\_S,T).$ Der Isomorphismus bildet explizit $\backslash displaystyle\; \backslash frac\{m\; \backslash otimes\; n\}\{s\}\; \backslash mapsto\; \backslash frac\{m\}\{s\}\; \backslash otimes\; n\; =\; m\; \backslash otimes\; \backslash frac\{n\}\{s\}$ ab.

3. Lokalisierung von Ringen

Universelle Eigenschaft.

Die betrachteten Ringe seien kommutativ, wenn nicht anders vermerkt. Sei $R$ ein Ring und $S\; \backslash subseteq\; R$ eine Teilmenge. Wir möchten die Elemente von $S$ invertieren. Dies ist zwar in $R$ eventuell nicht machbar, aber das Ziel ist, dies in einer universellen $R$-Algebra $\backslash tau\; :\; R\; \backslash to\; R\_S$ zu erreichen. Genauer gesagt soll $\backslash tau(S)\; \backslash subseteq\; (R\_S)^*$ gelten und wann immer ein Ringhomomorphismus $\backslash sigma\; :\; R\; \backslash to\; A$ die Eigenschaft $\backslash sigma(S)\; \backslash subseteq\; A^*$ besitzt, so gibt es genau einen Homomorphismus von $R$-Algebren $R\_S\; \backslash to\; A$, d.h. genau einen Homomorphismus von Ringen $f\; :\; R\_S\; \backslash to\; A$ mit $f\; \backslash circ\; \backslash tau\; =\; \backslash sigma$. Noch kompakter formuliert: Es sei $\backslash tau\; :\; R\; \backslash to\; R\_S$ eine Darstellung des Funktors $\backslash mathsf\{CRing\}\; \backslash to\; \backslash mathsf\{Set\},~\; A\; \backslash mapsto\; \backslash \{\backslash sigma\; \backslash in\; \backslash hom(R,A)\; :\; \backslash sigma(S)\; \backslash subseteq\; A^*\backslash \}.$

Existenz über Moduln.

Wir können den $R$-Modul $R$ nach $S$ lokalisieren und erhalten den $R$-Modul $R\_S$. Wir können darauf eine $R$-bilineare Multiplikation erklären mittels $R\_S\; \backslash otimes\_R\; R\_S\; \backslash cong\; (R\; \backslash otimes\_R\; R)\_S\; \backslash cong\; R\_S$. Die Assoziativität und die Kommutativität folgen sofort aus der auf $R$, indem man die entsprechenden Diagramme dafür lokalisiert. Ebenso folgt, dass $\backslash frac\{1\}\{1\}\; \backslash in\; R\_S$ ein Einselement ist. Also ist $R\_S$ eine $R$-Algebra, d.h. ein Ring zusammen mit einem Ringhomomorphismus $\backslash tau\; :\; R\; \backslash to\; R\_S$. Für eine $R$-Algebra $\backslash sigma\; :\; R\; \backslash to\; A$ ist $s\; :\; A\; \backslash to\; A$ genau dann invertierbar, wenn $\backslash sigma(s)\; \backslash in\; A^*$. Die universelle Eigenschaft von $R\_S$ als Modul wird dann zur gewünschten universellen Eigenschaft als Ring. Wir kennen bereits die Elemente des $R$-Moduls $R\_S$ und wissen, wie man sie addiert und skaliert. Aus der Definition der Multiplikation folgt außerdem die Bruchrechenregel $\backslash displaystyle\; \backslash frac\{r\}\{s\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{r\text{'}\}\{s\text{'}\}\; =\; \backslash frac\{r\; \backslash cdot\; r\text{'}\}\{s\; \backslash cdot\; s\text{'}\}.$ In dem üblichen Vorgehen wird $R\_S$ zunächst als Menge definiert und dann erfordern die Wohldefiniertheit der Addition und der Multiplikation sowie die Ringeigenschaften einige Rechnungen. Diese entfallen hier.

Existenz über Erzeuger und Relationen.

Es gibt eine andere Möglichkeit, die Lokalisierung zu konstruieren. Wir wollen ja für jedes $s\; \backslash in\; S$ ein Element $x\_s$ zu $R$ hinzufügen, welches das Inverse von $s$ "spielen" soll, d.h. wir möchten die Relation $s\; x\_s\; -\; 1\; =\; 0$ erzwingen. Dies motiviert, die $R$-Algebra $P\; :=\; R[\backslash \{x\_s\backslash \}\_\{s\; \backslash in\; S\}]/(s\; x\_s\; -\; 1)\_\{s\; \backslash in\; S\}$ zu betrachten. Aus den universellen Eigenschaften von Polynomalgebren und Quotienten folgt für jeden Testring $A$: $\backslash hom(P,A)\; \backslash cong\; \backslash \{\backslash alpha\; \backslash in\; \backslash hom(R[\backslash \{x\_s\backslash \}\_\{s\; \backslash in\; S\}],A)\; :\; \backslash forall\; s\; \backslash in\; S\; (\; \backslash alpha(s\; x\_s-1)=0)\backslash \}$ $\backslash cong\; \backslash \{(\backslash sigma,(a\_s)\_\{s\; \backslash in\; S\})\; \backslash in\; \backslash hom(R,A)\; \backslash times\; A^S\; :\; \backslash forall\; s\; \backslash in\; S\; (\; \backslash sigma(s)\; a\_s\; =\; 1\; )\backslash \}$ $\backslash cong\; \backslash \{\backslash sigma\; \backslash in\; \backslash hom(R,A)\; :\; \backslash sigma(S)\; \backslash subseteq\; A^*\backslash \}$ Damit löst $R\_S:=P$ das universelle Problem. Aus der expliziten Gestalt der Elemente von Polynomalgebren und Quotienten kann man übrigens auch diejenige der Elemente von $P$ herleiten; siehe dazu die Notiz Rings of fractions the hard way von José Felipe Voloch, Link zur pdf.

Zusammenhang zur Lokalisierung von Moduln.

Die universelle Eigenschaft von $R\_S$ besteht sogar für nicht-kommutative Ringe: Ist $\backslash sigma\; :\; R\; \backslash to\; A$ ein Homomorphismus mit $\backslash sigma(S)\; \backslash subseteq\; A^*$, wobei $A$ ein eventuell nicht-kommutativer Ring ist, so gibt es genau einen Homomorphismus $f\; :\; R\_S\; \backslash to\; A$ mit $f\; \backslash circ\; \backslash tau\; =\; \backslash sigma$. Dazu wende man die bekannte universelle Eigenschaft auf den kommutativen(!) Teilring $A\text{'}:=\backslash \{\backslash sigma(r)\; \backslash sigma(s)^\{-1\}\; :\; r\; \backslash in\; R,\; s\; \backslash in\; S\backslash \}$ von $A$ an. Wendet man dies auf $A:=\backslash mathrm\{End\}\_\{\backslash mathbb\{Z\}\}(M)$ für einen $R$-Modul $M$ an, so folgt: Ein $R\_S$-Modul ist dasselbe wie ein $R$-Modul, auf dem $S$ durch Automorphismen wirkt. Daher sind sowohl $M\; \backslash mapsto\; M\; \backslash otimes\_R\; R\_S$ als auch $M\; \backslash mapsto\; M\_S$ linksadjungiert zum Vergissfunktor und es folgt $\backslash displaystyle\; M\_S\; \backslash cong\; M\; \backslash otimes\_R\; R\_S.$ Explizit wird hierbei $\backslash displaystyle\; \backslash frac\{m\}\{s\}\; \backslash mapsto\; m\; \backslash otimes\; \backslash frac\{1\}\{s\}$ abgebildet.

4. Schluss

Wir haben die Lokalisierung von Moduln und Ringen durch ihre universelle Eigenschaft definiert, abstrakt konstruiert und daraus die Gestalt der Elemente hergeleitet. Was allgemeine Zusammenhänge angeht, kann man aber meistens auf die Elemente verzichten und viel eleganter mit der universellen Eigenschaft arbeiten. Siehe dazu hier, Thema C. Die universelle Eigenschaft ist also nützlich in der Praxis, und daraus motiviert sich auch, dass sie der Definition zugrunde gelegt wird. Noch ein paar weiterführende Bemerkungen:

• Die Kategorie $C[T]$ aus Abschnitt 1 ist über $\backslash mathsf\{Set\}[T]\; \backslash cong\; \backslash mathbb\{N\}\backslash mathsf\{-Set\}$ angereichert. Der Übergang zu $C[T,T^\{-1\}]$ entspricht einer Anreicherung über $\backslash mathsf\{Set\}[T,T^\{-1\}]\; \backslash cong\; \backslash mathbb\{Z\}\backslash mathsf\{-Set\}$, und man kann sich die Lokalisierung $L\; :\; C[T]\; \backslash to\; C[T,T^\{-1\}]$ als "externes Tensorprodukt mit $\backslash mathbb\{N\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\{Z\}$" vorstellen. Insofern ist $\backslash mathbb\{N\}\backslash to\; \backslash mathbb\{Z\}$ die "universelle" Lokalisierung.
• Die Existenz von Lokalisierungen von Moduln und Ringen kann man alternativ sehr einfach mit Hilfe des Kriteriums von Freyd für darstellbare Funktoren herleiten, welches ich hier in Abschnitt 2 besprochen habe.
• Die Lokalisierung von kommutativen Ringen auf Basis der Lokalisierung von Moduln funktioniert viel allgemeiner in symmetrischen monoidalen Kategorien. Für $\backslash mathsf\{Set\}$ erhält man zum Beispiel die Lokalisierung von kommutativen Monoiden, welche als Spezialfall die Grothendieck-Gruppe enthält und außerdem Anwendungen in der Theorie der Schemata über $\backslash mathbb\{F\}\_1$ besitzt.
• Man kann auch nicht-kommutative Monoide oder Ringe lokalisieren. Die Existenz folgt aus Freyds Kriterium, allerdings sehen die Elemente nur unter gewissen Bedingungen wie gewohnt aus.
• Noch allgemeiner kann man Kategorien lokalisieren; die klassische Literatur hierzu ist Gabriel-Zisman, Calculus of fractions and homotopy theory. Für (lineare) Kategorien mit nur einem Objekt bekommt man daraus die Lokalisierung von nicht-kommutativen (Ringen) Monoiden als Spezialfall.