Gasblasen in Flüssigkeiten
Von: Roland17
Datum: Sa. 23. Juli 2022 08:30:30
Thema: Physik

Die z.B. in Sekt oder anderen kohlensäurehaltigen Getränken aufsteigenden Serien von Kohlendioxidbläschen weisen häufig eine schöne Regelmäßigkeit auf, welcher in diesem Artikel nachgespürt wird.Für eine analytische, deduktive Herleitung der Bewegungsgleichung einer Blase sind mehrere Einflüsse zu berücksichtigen: Durch die Auftriebskraft muss es zunächst zu einer beschleunigten Bewegung kommen, die später durch die zunehmende Reibungskraft in eine gleichförmige Bewegung übergehen muss. (Die Gewichtskraft ist sicherlich zu vernachlässigen.) Dabei wächst das Volumen der Blase durch den abnehmenden Schweredruck und durch während der Bewegung aufgenommenes Gas weiter an, wodurch sich der Auftrieb und damit die Beschleunigung vergrößern. Der Druck in der Blase – und damit ihr Volumen und der Auftrieb – wird zusätzlich durch die Oberflächenspannung der Grenzfläche beeinflusst. Auch ohne Berücksichtigung der Oberflächenspannung und der Gasaufnahme ist die analytische Herleitung der Bewegungsgleichungen schon so kompliziert, dass im Folgenden der empirische Weg mit Messungen und Modellierung sowie numerischen Ableitungen (mit einem Computer-Programm (Derive)) beschritten wird. Dafür wurde in ein hohes Bierglas Sekt gefüllt und Fotos und Videos der Bläschenspuren aufgenommen (Abb.1). Zwei der Spuren wurden ausgemessen (rechts rot, mittig grün). In der Tabelle (Abb. 2) sind die Messwerte der rechten Spur aufgeführt.
Die Zeiten wurden aus einer Videoaufnahme ermittelt, in welcher ein Bläschen zum Aufsteigen etwa 5 s braucht. Unter der Annahme, die durch Beobachtung begründet ist, dass die Bläschen in gleichbleibenden Zeitabständen entstehen, ergibt sich daraus, dass der Abstand zwischen zwei benachbarten Bläschen bei der rechten Spur etwa 0,3 s entspricht. Die Messwerte wurden als kleine Kreuze in ein s(t)-Diagramm eingetragen (Abb. 3) und danach durch einen modellierten Funktionsgraphen möglichst gut angenähert.
 
Abb. 3: s(t)-Diagramm der rechten Blasenspur mit numerisch vom Programm berechneter 1. und 2. Ableitung (letztere ohne Maßeinheiten) Für die Modellierung wurde davon ausgegangen, dass die Geschwindigkeit konstant bleibt, sobald sich Auftrieb und Reibung kompensieren, deren Graph also nach einem Anstieg in eine horizontale Gerade übergeht. Dies leisten Funktionen des Typs y = a (1 – e^(-bx)). Deshalb wurde für ihre Integralfunktion s(t) ein ähnlicher Ansatz mit einem zusätzlichen Faktor x gemacht, welcher eine Linkskrümmung des Graphen erzeugt, also y = a x (1 – e^(-bx)). Dessen Krümmung ist im Anfangsbereich aber nicht stark genug, um sich an die Messwertkurve anzunähern. Deshalb wurde noch der Parameter c als Exponent im Exponenten eingefügt, also y = a x (1 – e^(-bx^c)) , womit eine Annäherung an die Messwertpunkte der Bläschenspuren möglich ist. Für die rechte Spur lautet das s-t-Gesetz dann s(t)=310 t(1-e^(-0,01*t^1,33)) [ für die mittige Spur s(t)=70 t (1-e^(-0,01t^1,8 )) , s. Anhang]. Das s-t-Gesetz in einer Flüssigkeit aufsteigender Blasen lautet demnach s(t)=a t (1-e^(-bt^c )) Durch den Exponenten c sinkt die Geschwindigkeitskurve nach Erreichen eines Maximums allerdings geringfügig wieder ab, bevor sie sich einer horizontalen Asymptote nähert und der Graph der Beschleunigung wird dort in manchen Fällen geringfügig negativ (s. Abb. 4). Das ist ein Schwachpunkt der Näherung und zeigt wohl an, dass die Grenze des Gültigkeitsbereiches überschritten wurde. Es kann aber auch nicht ausgeschlossen werden, dass die Gleichgewichte einerseits zwischen Auftrieb und Reibung und andererseits zwischen Binnendruck und Außendruck der Gasblase schwanken, z.B. weil die Flüssigkeit wieder Gas absorbiert. Die erste Ableitung von s(t) liefert für die rechte Spur v(t)=310 [1-(1-0,0133 t^1,33 ) e^(-0.01 t^1,33 )] , allgemein v(t)=a [1-(1-bc t^c ) e^(-b t^c )]
 
Abb. 4: Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung der rechten Blasen mit erweitertem Definitionsbereich im Modell Für die Verifizierung bräuchte es eine Laborausrüstung mit einem mehrere Meter langen durchsichtigen Rohr und einer Vorrichtung an dessen Grund, um Gasblasen dosiert in konstanten zeitlichen Abständen abzulassen oder nur eine Blase mit Stroboskopblitzen zu filmen. Das Bildungsgesetz der Folge der Gasblasenwege für die rechte Blasenspur in Abb. 1 z.B. erhält man, indem man für t 0,3(n-1) einsetzt: s_n=93 (n-1)(1-e^(-0,00202(n-1)^1,33 )) s_n=<0;0,2;0,9;2,4;4,7;7,9;12,1;17,3;23,5;30,8;39,3;48,9;58,8;71,8;85,1;100,0;115,4;132,4> Die Abweichungen zu den s-Werten in der Tabelle in Abb. 2 betragen nur einige zehntel Millimeter, vor allem am Anfang, was auch mit der Messungenauigkeit zusammenhängt. Für das Bildungsgesetz der sichtbaren Folge der Blasenabstände \Delta s_n, welche die Motivation für diese Untersuchung ist, ergibt sich aus s_(n+1)-s_n kein überschaubarer Term. Aber mit \Delta s_n = \Delta t*v_n, wobei v_n jeweils in der Intervallmitte gebildet wird, also für t_n=\Delta t*(n-1/2), folgt \Delta s_n = 93*(1-(1-0,00268*(n-1/2)^1,33)*e^(-0,00202*(n-1/2)^1,33)), woraus sich die gut passende Folge \Delta s_n = <0,2;0,7;1,5;2,3;3,2;4,2;5,2;6,2;7,3;8,5;9,6;10,8;12,0;13,2;14,5;15,8;17,0> ergibt. Allgemein gilt \Delta s_n = a(\Delta t)(1-(1-bc(\Delta t)^c(n-1/2)^c) e^(- b(\Delta t)^c(n-1/2)^c)) .
 
Anhang: Bei der mittleren Blasenserie wurden folgende Werte gemessen: t in s s in mm x in cm 0 0 4,74 0,15 0,6 4,8 0,3 1,3 4,87 0,45 1,9 4,93 0,6 2,5 4,99 0,75 3,1 5,05 0,9 3,7 5,11 1,05 4,3 5,17 1,2 4,9 5,23 1,35 5,6 5,3 1,5 6,2 5,36 1,65 6,9 5,43 1,8 7,5 5,49 1,95 8,2 5,56 2,1 9,2 5,66 2,25 10,3 5,77 2,4 11,4 5,88 2,55 12,7 6,01 2,7 14,3 6,17 2,85 15,8 6,32 3 17,7 6,51 3,15 19,6 6,7 3,3 22 6,94 3,45 24,4 7,18 3,6 26,9 7,43 3,75 29,6 7,7 3,9 31,8 7,92 4,05 34,4 8,18 4,2 37,1 8,45 4,35 39,8 8,72 4,5 43,1 9,05 4,65 46,1 9,35 4,8 50,1 9,75 4,95 53,7 10,11 5,1 57,8 10,52 5,25 62,6 11 5,4 65,8 11,32 5,55 71,5 11,89 5,7 78,4 12,58 5,85 85,6 13,3 6 94,9 14,23 6,15 108,2 15,56 6,3 119,9 16,73 6,45 134,6 18,2
Abb. 5: s(t)-Diagramm der mittleren Blasenspur mit v(t) und a(t)
 
Abb. 6: Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung der mittleren Blasen im größeren Definitionsbereich
Abb. 8: Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung der rechten Blasen im größeren Definitionsbereich
Abb. 9: Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung der rechten Blasen im größeren Definitionsbereich Linke Spur in Foto 2, Messwerte:
Abb. 10: s(t)-Diagramm der linken Blasenspur; Exponent c < 1
Abb. 11: Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung der linken Blasen im größeren Definitionsbereich
 


Dieser Artikel kommt von Matroids Matheplanet
https://matheplanet.de

Die Url für diesen Artikel ist:
https://matheplanet.de/default3.html?article=1965