Möglichkeiten und Wahrscheinlichkeiten beim Pokerspiel
Von: Wario
Datum: Do. 27. April 2023 20:34:50
Thema: Mathematik
\(\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}
\usepackage{colortbl}
\)
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Möglichkeiten und Wahrscheinlichkeiten beim Pokerspiel |
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| Ausführliche und kommentierte Berechnung der Anzahl der Möglichkeiten und der Wahrscheinlichkeiten beim klassischen Poker "5 aus 52 Karten" ("Five Card Draw"); mit ergänzenden Schaubildern an passender Stelle. |
Hinweise: i) Klicke auf ▲, um zur Übersicht zurückzukehren. ii) Betrachtet wird hier nur das klassische Pokerspiel "5 aus 52 Karten", keine modernen Varianten wie Texas Hold'em oder Omaha Hold'em. iii) Einige Ergebnisse können auf mehrere Weisen berechnet werden, hier wird eine Herleitung angegeben. iv) Grundkenntnisse in der Kombinatorik und der elementaren Wahrscheinlichkeitsrechnung werden vorausgesetzt.Inhalt:
· Farbe und Wert
· Stapel / Deck / Blatt
· Hand
· Ausfälle
· Quellen
Farbe und Wert
Einer Spielkarte werden die Eigenschaften Farbe und Wert zugeordnet.
· Farben (hierarchisch absteigend): $
\spadesuit~ \textsf{(Pik)},~
\color{red}{\heartsuit}~ \textsf{(Herz)},~
\color{red}{\diamondsuit}~ \textsf{(Karo)},~
\clubsuit~ \textsf{(Kreuz)}.$
· Werte (hierarchisch absteigend): $
A ~ \textsf{(Ass)},~
K ~ \textsf{(König)},~
D ~ \textsf{(Dame)},~
B ~ \textsf{(Bube)},~
10,~ 9,~ 8,~ 7,~ 6,~ 5,~ 4,~ 3,~ 2.$
Stapel / Deck / Blatt´
Die Gesamtheit aller Spielkarten wird Stapel bzw. Deck genannt oder auch, im Hinblick auf die verschiedenen optischen und inhaltlichen Ausführungen verschiedener Kartenpiele, ein Blatt.
Entsprechend besteht ein Poker-Blatt aus $4\cdot 13 =52$ Karten:
Hand
Die Austeilung von 5 Karten eines Blatts mit 52 Karten an einen Spieler wird eine Hand genannt.
Für eine Hand gibt es die folgende Anzahl Gesamtmöglichkeiten:
$\def\Nges{2\ 598\ 960}
N = \dbinom{52}{5} = \Nges$
Dieser mit $N$ bezeichnete Wert wird in den nachfolgenden Rechnungen verwendet.
Ausfälle
Für eine Hand gibt es die folgenden Ausfälle:
| Hand |
Anzahl an Möglichkeiten |
Wahrscheinlichkeit |
Farbstraße
mit Ass
(Royal Flush) |
$4$ |
$\frac{1}{649\ 740}=0,000154\%$ |
Farbstraße
ohne Ass
(Straight Flush) |
$36$ |
$\frac{1}{72\ 193,33} =0,00139 \%$ |
| Vierling |
$624$ |
$\frac{1}{4165} =0,0240 \%$ |
Volles Haus
(Full House) |
$3744$ |
$\frac{1}{694,167} =0,144 \%$ |
Gleiche Farbe
(Flush) |
$5108$ |
$\frac{1}{508,802} =0,197 \%$ |
Straße
(Straight) |
$10\ 200$ |
$\frac{1}{254,8} =0,392 \%$ |
| Drilling |
$54\ 912$ |
$\frac{1}{47,33} =2,11 \%$ |
| Zwei Paare |
$123\ 552$ |
$\frac{1}{21,04} =4,75 \%$ |
| Ein Paar |
$1\ 098\ 240$ |
$\frac{1}{2,37} =42,26 \%$ |
| Höchste Karte |
$1\ 302\ 540$ |
$\frac{1}{1,995} =50,1 \%$ |
| Summe |
$2\ 598\ 960$ |
$100 \%$ |
▲ Farbstraße mit Ass / Royal Flush
Definition: Fünf Karten einer Farbe mit aufeinanderfolgenden Werten, mit Ass als höchsten Wert.
Beispiele: $
\color{red}{A\heartsuit~ K\heartsuit~ D\heartsuit~ B\heartsuit~ 10\heartsuit}.$
$
A\spadesuit~ K\spadesuit~ D\spadesuit~ B\spadesuit~ 10\spadesuit$ (höchstmögliche Hand im Poker, angesichts der Farb-Hierarchie).
· Anzahl der Möglichkeiten für einen Royal Flush:
$
\def\Name{\text{RF}}
\def\I{\begin{array}{c}
\textsf{1 aus 1 mögl. höchsten} \\
\textsf{Wert (das Ass)}
\end{array}}
\def\II{\begin{array}{c}
\textsf{1 aus 4 mögl.} \\
\textsf{Farben } \spadesuit,\heartsuit,\diamondsuit, \clubsuit \\
\end{array}}
\begin{array}{l l l}
N_\Name
&= \underbrace{\dbinom{1}{1}}_{\I}
\cdot \underbrace{\dbinom{4}{1}}_{\II}
&= 1 \cdot 4
&=4
\end{array}$
· Wahrscheinlichkeit für einen Royal Flush:
$p_\Name
=\dfrac{N_\Name}{N}
=\dfrac{4}{2\ 598\ 960}
=\dfrac{1}{649\ 740} \approx 0,000154\%$
▲ Farbstraße ohne Ass / Straight Flush
Definition: Fünf Karten einer Farbe mit aufeinanderfolgenden Werten, ohne Ass als höchsten Wert.
Beispiel: $
B\clubsuit~
10\clubsuit~ 9\clubsuit~ 8\clubsuit~ 7\clubsuit.
$
Hinweis: Auch Farbstraßen mit 5 als höchstem Kartenwert und Ass als Eins gewertet sind erlaubt, z.B. $
5\spadesuit~ 4\spadesuit~ 3\spadesuit~ 2\spadesuit~ A\spadesuit.$
Somit gibt es zu einer Farbe 9 Möglichkeiten eine Straße (ohne Ass als höchsten Wert) zu bilden:
Anzahl der Möglichkeiten für einen Straight Flush:
$
\def\Name{\text{SF}}
\def\I{\begin{array}{c}
\textsf{1 aus 9 mögl. Straßen} \\
\textsf{(ohne Ass als höchsten Wert)}
\end{array}}
\def\II{\begin{array}{c}
\textsf{1 aus 4 mögl.} \\
\textsf{Farben } \spadesuit,\heartsuit,\diamondsuit, \clubsuit \\
\end{array}}
\begin{array}{l l l}
N_\Name
&= \underbrace{\dbinom{9}{1}}_{\I}
\cdot \underbrace{\dbinom{4}{1}}_{\II}
&= 9 \cdot 4
&=36
\end{array}$
Wahrscheinlichkeit für einen Straight Flush:
$p_\Name
=\dfrac{N_\Name}{N}
=\dfrac{36}{2\ 598\ 960}
\approx \dfrac{1}{72\ 193,33} \approx 0,001385\%$
▲ Vierling / Four of a Kind
Definition: Vier Karten gleichen Wertes.
Beispiel: $
7\spadesuit~ \color{red}{7\heartsuit}~ \color{red}{7\diamondsuit}~ 7\clubsuit~ \color{red}{B\diamondsuit}.
$
· Anzahl der Möglichkeiten für einen Vierling:
$
\def\N{\begin{array}{c}
\textsf{13 Gesamtmöglichkeiten für die} \\
\textsf{4 gleichen Werte}
\end{array}}
\def\I{\begin{array}{c}
\textsf{13 mögl. Werte} \\
\textsf{A,K,D,B,10,9,$\dots$,2}
\end{array}}
\def\II{\begin{array}{c}
\textsf{4 aus 4 mögl.} \\
\textsf{Farben } \spadesuit,\heartsuit,\diamondsuit, \clubsuit
\end{array}}
\def\III{\begin{array}{c}
\textsf{12 mögl. Werte} \\
\textsf{für die 5. Restkarte}
\end{array}}
\newcommand\IV{\begin{array}{c}
\textsf{1 aus 4 mögl. Farben} \\
\textsf{für die 5. Restkarte}
\end{array}}
\begin{array}{l l}
N_\text{Vrl.}
&=\overbrace{ \underbrace{\dbinom{13}{1}}_{\I}
\cdot \underbrace{\dbinom{4}{4}}_{\II} }^{\N}
\cdot \underbrace{\dbinom{12}{1}}_{\III}
\cdot \underbrace{\dbinom{4}{1}}_{\IV} \\[1em]
&= 13 \cdot 1 \cdot 12 \cdot 4
=624
\end{array}$
· Wahrscheinlichkeit für einen Vierling:
$p_\text{Vrl.}
=\dfrac{N_\text{Vrl.}}{N}
=\dfrac{624}{2\ 598\ 960}
=\dfrac{1}{4165} \approx 0,024\%$
▲ Volles Haus / volles Boot / Full House
Definition: Ein Drilling und ein Zwilling.
Beispiel: $
%\spadesuit \heartsuit \diamondsuit \clubsuit
B\spadesuit~ \color{red}{B\heartsuit}~ B\clubsuit~ 3\spadesuit~ 3\clubsuit.$
· Anzahl der Möglichkeiten für ein Full House:
$
\def\Name{\text{FH}}
\def\N{\begin{array}{c}
\textsf{Gesamtmöglichkeiten für die} \\
\textsf{3 gleichen Kartenarten}
\end{array}}
\def\M{\begin{array}{c}
\textsf{Gesamtmöglichkeiten für die} \\
\textsf{2 gleichen Kartenarten}
\end{array}}
\def\I{\begin{array}{c}
\textsf{13 mögl. Werte} \\
\textsf{A,K,D,B,10,9,$\dots$,2} \\
\textsf{für den Drilling}
\end{array}}
\def\II{\begin{array}{c}
\textsf{3 aus 4 mögl.} \\
\textsf{Farben } \spadesuit,\heartsuit,\diamondsuit, \clubsuit \\
\textsf{für den Drilling}
\end{array}}
\def\III{\begin{array}{c}
\textsf{12 mögl. Rest-Werte} \\
\textsf{für das Paar}
\end{array}}
\newcommand\IV{\begin{array}{c}
\textsf{2 aus 4 mögl. Farben} \\
\textsf{für das Paar}
\end{array}}
\begin{array}{l l}
N_\Name
&=\overbrace{ \underbrace{\dbinom{13}{1}}_{\I}
\cdot \underbrace{\dbinom{4}{3}}_{\II} }^{\N}
\cdot \overbrace{ \underbrace{\dbinom{12}{1}}_{\III}
\cdot \underbrace{\dbinom{4}{2}}_{\IV} }^{\M} \\[1em]
%
&= 13 \cdot \dbinom{4}{3} \cdot 12 \cdot \dbinom{4}{2}
=3744
\end{array}$
· Wahrscheinlichkeit für ein Full House:
$p_\Name
=\dfrac{N_\Name}{N}
=\dfrac{3744}{2\ 598\ 960}
\approx \dfrac{1}{694,17} \approx 0,144\%$
▲ Gleiche Farbe / Flush
Definition: Fünf (beliebige) Karten einer Farbe, aber kein Straight Flush bzw. Royal Flush.
Beispiel: $
%\spadesuit \heartsuit \diamondsuit \clubsuit
K\clubsuit~ 10\clubsuit~ 9\clubsuit~ 6\clubsuit~ 4\clubsuit.$
· Anzahl der Möglichkeiten für einen Flush:
$
\def\Name{\text{Fl.}}
\def\N{\begin{array}{c}
\textsf{Gesamtmöglichkeiten für 5 Karten gleicher Farbe}% \\
\end{array}}
\def\Ir{\dbinom{13}{5}}
\def\Iw{\Ir}
\def\I{\begin{array}{c}
\textsf{5 aus 13 mögl. Werten} \\
\textsf{einer Farbe }
\end{array}}
\def\IIr{\dbinom{4}{1}}
\def\IIw{4}
\def\II{\begin{array}{c}
\textsf{1 aus 4 mögl.} \\
\textsf{Farben } \spadesuit,\heartsuit,\diamondsuit, \clubsuit
\end{array}}
\def\IIIr{36}
\def\IIIw{\IIIr}
\def\III{\begin{array}{c}
\textsf{abzügl. 36} \\
\textsf{Straight Flushs}
\end{array}}
\def\IVr{4}
\def\IVw{\IVr}
\def\IV{\begin{array}{c}
\textsf{abzügl. 4} \\
\textsf{Royal Flushs}
\end{array}}
\def\Moeglkt{5108}
\def\EinsZu{508,802}
\def\WktProz{0,197}
\def\Nges{2\ 598\ 960}
\begin{array}{l l}
N_\Name
&=\overbrace{ \underbrace{\Ir}_{\I}
\cdot \underbrace{\IIr}_{\II} }^{\N}
- \underbrace{\IIIr\vphantom{\III}}_{\III}
- \underbrace{\IVr\vphantom{\III}}_{\IV} \\[1em]
&= \Iw \cdot \IIw -\IIIw -\IVw
=\Moeglkt
\end{array}$
· Wahrscheinlichkeit für einen Flush:
$p_\Name
=\dfrac{N_\Name}{N}
=\dfrac{\Moeglkt}{\Nges}
\approx \dfrac{1}{\EinsZu} \approx \WktProz\%$
▲ Straße / Straight
Definition: Fünf Karten mit aufeinanderfolgenden Werten, aber mehr als einer Farbe.
Beispiel: $
B\clubsuit~
\color{red}{10\diamondsuit}~ \color{red}{9\diamondsuit} ~ \color{red}{8\heartsuit}~ 7\spadesuit.
$
Hinweis: Auch Straßen mit 5 als höchstem Kartenwert und Ass als Eins gewertet sind erlaubt, z.B. $
\color{red}{5\heartsuit}~ 4\clubsuit~ \color{red}{3\diamondsuit}~ \color{red}{2\heartsuit}~ A\spadesuit.$
Somit gibt es für die Wert-Folge 10 Möglichkeiten eine Straße zu bilden:
· Anzahl der Möglichkeiten für einen Straight:
$\def\Name{\text{Str.}}
\def\N{\begin{array}{c}
\textsf{Gesamtmöglichkeiten für Straßen}% \\
\end{array}}
\def\Ir{\dbinom{10}{1}}
\def\Iw{10}
\def\I{\begin{array}{c}
\textsf{1 aus 10 mögl. Wert-Folgen} \\
\textsf{für Straßen} \\
\end{array}}
\def\IIr{\dbinom{4}{1}^5}
\def\IIw{4^5}
\def\II{\begin{array}{c}
\textsf{Jeweils 1 aus 4 mögl.} \\
\textsf{Farben } \spadesuit,\heartsuit,\diamondsuit, \clubsuit \\
\textsf{für die 1., 2., 3., 4., 5. Karte}
\end{array}}
\def\IIIr{36}
\def\IIIw{\IIIr}
\def\III{\begin{array}{c}
\textsf{abzügl. 36} \\
\textsf{Straight Flushs}
\end{array}}
\def\IVr{4}
\def\IVw{\IVr}
\def\IV{\begin{array}{c}
\textsf{abzügl. 4} \\
\textsf{Royal Flushs}
\end{array}}
\def\Moeglkt{10\ 200}
\def\EinsZu{254,8}
\def\WktProz{0,392}
\def\Nges{2\ 598\ 960}
\begin{array}{l l}
N_\Name
&=\overbrace{ \underbrace{\Ir}_{\I}
\cdot \underbrace{\IIr}_{\II} }^{\N}
- \underbrace{\IIIr\vphantom{\III}}_{\III}
- \underbrace{\IVr\vphantom{\III}}_{\IV} \\[1em]
&= \Iw \cdot \IIw -\IIIw -\IVw
=\Moeglkt
\end{array}$
· Wahrscheinlichkeit für einen Straight:
$p_\Name
=\dfrac{N_\Name}{N}
=\dfrac{\Moeglkt}{\Nges}
=\dfrac{1}{\EinsZu} \approx \WktProz\%$
▲ Drilling / Three of a Kind
Definition: Drei Karten gleichen Wertes, aber kein Vierling bzw. Full House.
Beispiel: $%\spadesuit \heartsuit \diamondsuit \clubsuit
8\spadesuit~ \color{red}{8\heartsuit}~ 8\clubsuit~ \color{red}{D\diamondsuit}~ 2\clubsuit.
$
· Anzahl der Möglichkeiten für einen Drilling:
$
\def\N{\begin{array}{c}
\textsf{Gesamtmöglichkeiten für die} \\
\textsf{3 Karten gleichen Wertes}
\end{array}}
\def\I{\begin{array}{c}
\textsf{13 mögl. Werte} \\
\textsf{A,K,D,B,10,9,$\dots$,2}
\end{array}}
\def\II{\begin{array}{c}
\textsf{3 aus 4 mögl.} \\
\textsf{Farben } \spadesuit,\heartsuit,\diamondsuit, \clubsuit
\end{array}}
\def\III{\begin{array}{c}
\textsf{2 aus 12 mögl. Rest-Werten} \\
\textsf{für die 2 Restkarten}
\end{array}}
\newcommand\IV[1][]{\begin{array}{c}
\textsf{4 mögl. Farben} \\
\textsf{für die #1. Karte}
\end{array}}
\begin{array}{l l}
N_\text{Drl.}
&=\overbrace{ \underbrace{\dbinom{13}{1}}_{\I}
\cdot \underbrace{\dbinom{4}{3}}_{\II} }^{\N}
\cdot \underbrace{\dbinom{12}{2}}_{\III}
\cdot \underbrace{\dbinom{4}{1}}_{\IV[4]}
\cdot \underbrace{\dbinom{4}{1}}_{\IV[5]} \\[1em]
&= 13 \cdot \dbinom{4}{3} \cdot \dbinom{12}{2} \cdot 4^2
=54\ 912
\end{array}$
· Wahrscheinlichkeit für einen Drilling:
$p_\text{Drl.}
=\dfrac{N_\text{Drl.}}{N}
=\dfrac{54\ 912}{2\ 598\ 960}
\approx \dfrac{1}{47,33} \approx 2,113\%$
▲ Zwei Paare / zwei Zwillinge / Two Pair
Definition: Zwei verschiedene Paare, aber kein Drilling.
Beispiel: $%\spadesuit \heartsuit \diamondsuit \clubsuit
\color{red}{K\heartsuit}~ \color{red}{K\diamondsuit}~
\color{red}{2\diamondsuit}~ 2\clubsuit~
\color{red}{B\heartsuit}.
$
· Anzahl der Möglichkeiten für zwei Paare:
$
\def\Name{\text{zwP.}}
\def\N{\begin{array}{c}
\textsf{Gesamtmöglichkeiten für die} \\
\textsf{2 Paarbildungen}
\end{array}}
\def\I{\begin{array}{c}
\textsf{2 aus 13 mögl. Werten} \\
\textsf{A,K,D,B,10,9,$\dots$,2} \\
\textsf{für die zwei Paare}
\end{array}}
\def\IIa{\begin{array}{c}
\textsf{2 aus 4 mögl.} \\
\textsf{Farben } \spadesuit,\heartsuit,\diamondsuit, \clubsuit \\
\textsf{für das 1. Paar}
\end{array}}
\def\IIb{\begin{array}{c}
\textsf{2 aus 4 mögl.} \\
\textsf{Farben } %\spadesuit,\heartsuit,\diamondsuit, \clubsuit \\
\textsf{für das 2. Paar}
\end{array}}
\def\III{\begin{array}{c}
1 \textsf{ aus } 11 \textsf{ mögl. Rest-Werten} \\
\textsf{für die 5. Karte}
\end{array}}
\newcommand\IV{\begin{array}{c}
\textsf{1 aus 4 mögl. Farben} \\
\textsf{für die 5. Karte}
\end{array}}
\begin{array}{l l l}
N_\Name
&= \overbrace{ \underbrace{\dbinom{13}{2}}_{\I}
\cdot \underbrace{\dbinom{4}{2}}_{\IIa}
\cdot \underbrace{\dbinom{4}{2}}_{\IIb} }^{\N}
\cdot \underbrace{\dbinom{11}{1}}_{\III}
&\cdot \underbrace{\dbinom{4}{1}}_{\IV} \\[1em]
%
&= \dbinom{13}{2} \cdot \dbinom{4}{2}^2 \cdot 11 \cdot 4
=123\ 552
\end{array}$
· Wahrscheinlichkeit für zwei Paare:
$p_\Name
=\dfrac{N_\Name}{N}
=\dfrac{123\ 552}{2\ 598\ 960}
\approx \dfrac{1}{21,04} \approx 4,754\%$
▲ Ein Paar / Zwilling / One Pair
Definition: Zwei Karten gleichen Wertes, aber kein Drilling bzw. zwei Paare.
Beispiel: $%\spadesuit \heartsuit \diamondsuit \clubsuit
\color{red}{K\diamondsuit}~ K\clubsuit~
\color{red}{B\heartsuit}~ 7\spadesuit~ 2\clubsuit~
$
· Anzahl der Möglichkeiten für ein Paar:
$\def\Name{\text{Zwl.}}
\def\N{\begin{array}{c}
\textsf{Gesamtmöglichkeiten für die} \\
\textsf{2 Karten gleichen Wertes}
\end{array}}
\def\I{\begin{array}{c}
\textsf{13 mögl. Werte} \\
\textsf{A,K,D,B,10,9,$\dots$,2}
\end{array}}
\def\II{\begin{array}{c}
\textsf{2 aus 4 mögl.} \\
\textsf{Farben } \spadesuit,\heartsuit,\diamondsuit, \clubsuit
\end{array}}
\def\III{\begin{array}{c}
3 \textsf{ aus } 12 \textsf{ mögl. Werten} \\
\textsf{für die 3., 4. und 5. Restkarte}
\end{array}}
\newcommand\IV{\begin{array}{c}
\textsf{Jeweils 1 aus 4 mögl. Farben} \\
\textsf{für die 3., 4. und 5. Restkarte}
\end{array}}
\begin{array}{l l}
N_\Name
&=\overbrace{ \underbrace{\dbinom{13}{1}}_{\I}
\cdot \underbrace{\dbinom{4}{2}}_{\II} }^{\N}
\cdot \underbrace{\dbinom{12}{3}}_{\III}
\cdot \underbrace{\dbinom{4}{1}\cdot\dbinom{4}{1}\cdot\dbinom{4}{1}}_{\IV} \\[1em]
&= 13 \cdot \dbinom{4}{2} \cdot \dbinom{12}{3} \cdot 4^3
=1\ 098\ 240
\end{array}$
· Wahrscheinlichkeit für ein Paar:
$p_\Name
=\dfrac{N_\Name}{N}
=\dfrac{1\ 098\ 240 }{2\ 598\ 960}
\approx \dfrac{1}{2,37} \approx 42,257\%$
▲ Höchste Karte / High Card
Definition: Eine Hand wird nach der höchsten auftretenden Karte (nach Farbe und Wert) gewertet, wenn keiner der zuvor genannten Ausfälle erfüllt ist.
Beispiel: $% \spadesuit \heartsuit \diamondsuit \clubsuit
\color{red}{D\diamondsuit}~ 10\spadesuit~ 7\spadesuit~ \color{red}{5\heartsuit}~ 3\clubsuit.
$
Für die Anzahl der Möglichkeiten sind somit alle zuvor genannten Anzahlen von der Gesamtanzahl aller Möglichkeiten für eine Hand abzuziehen.
· Anzahl der Möglichkeiten für Höchste Karte:
$
\def\Name{\text{HK}}
\def\N{\begin{array}{c}
\textsf{Gesamtmöglichkeiten für 5 Karten gleicher Farbe}% \\
\end{array}}
\def\Ir{N}
\def\Iw{2\ 598\ 960}
\def\I{\begin{array}{c}
\textsf{Gesamtanzahl} \\
\textsf{der Möglichkeiten} \\
\textsf{für eine Hand}
\end{array}}
\def\IIr{N_\text{RF}}
\def\IIw{4}
\def\II{\begin{array}{c}
\textsf{abzügl.} \\
\textsf{4} \\
\textsf{Royal Flushs}
\end{array}}
\def\IIIr{N_\text{SF}}
\def\IIIw{36}
\def\III{\begin{array}{c}
\textsf{abzügl.} \\
\textsf{36} \\
\textsf{Straight Flushs}
\end{array}}
\def\IVr{N_\text{Vrl.}}
\def\IVw{624}
\def\IV{\begin{array}{c}
\textsf{abzügl.} \\
\textsf{624} \\
\textsf{Vierlinge}
\end{array}}
\def\Vr{N_\text{FH}}
\def\Vw{3744}
\def\V{\begin{array}{c}
\textsf{abzügl.} \\
\textsf{3744} \\
\textsf{Full Houses}
\end{array}}
\def\VIr{N_\text{Fl.}}
\def\VIw{5108}
\def\VI{\begin{array}{c}
\textsf{abzügl.} \\
\textsf{5108} \\
\textsf{Flushs}
\end{array}}
\def\VIIr{N_\text{Str.}}
\def\VIIw{10\ 200}
\def\VII{\begin{array}{c}
\textsf{abzügl.} \\
\mathsf{10\ 200} \\
\textsf{Straights}
\end{array}}
\def\VIIIr{N_\text{Drl.}}
\def\VIIIw{54\ 912}
\def\VIII{\begin{array}{c}
\textsf{abzügl.} \\
\mathsf{54\ 912} \\
\textsf{Drillinge}
\end{array}}
\def\IXr{N_\text{zwP.}}
\def\IXw{123\ 552}
\def\IX{\begin{array}{c}
\textsf{abzügl.} \\
\mathsf{123\ 552} \\
\textsf{Zwei Paare}
\end{array}}
\def\Xr{N_\text{Zwl.}}
\def\Xw{1\ 098\ 240}
\def\X{\begin{array}{c}
\textsf{abzügl.} \\
\mathsf{1\ 098\ 240} \\
\textsf{Zwillinge}
\end{array}}
\def\Moeglkt{1\ 302\ 540}
\def\EinsZu{1,995}
\def\WktProz{50,118}
\def\Nges{2\ 598\ 960}
\begin{array}{l l l l l l l l l}
N_\Name
&= \underbrace{\Ir}_{\I}
&- \underbrace{\IIr}_{\II}
&- \underbrace{\IIIr}_{\III}
&- \underbrace{\IVr}_{\IV}
&- \underbrace{\Vr}_{\V}
&- \underbrace{\VIr}_{\VI}
&- \underbrace{\VIIr}_{\VII}
&- \underbrace{\VIIIr}_{\VIII}
&- \underbrace{\IXr}_{\IX}
&- \underbrace{\Xr}_{\X} \\[1em]
&= \Iw &- \IIw &- \IIIw &-\IVw &-\Vw &-\VIw &-\VIIw &-\VIIIw &-\IXw &-\Xw
\\[1em]
&= \Iw &- 1\ 296\ 420 &=\Moeglkt
\end{array}$
· Wahrscheinlichkeit für Höchste Karte:
$p_\Name
=\dfrac{N_\Name}{N}
=\dfrac{\Moeglkt}{\Nges}
\approx \dfrac{1}{\EinsZu} \approx \WktProz\%$
Quellen:
[1]: de.wikipedia.org/wiki/Hand_(Poker)
[2]: en.wikipedia.org/wiki/List_of_poker_hands
[3]: www.brefeld.homepage.t-online.de/poker-wahrscheinlichkeiten.html
[4]: www.youtube.com/watch?v=3WCSqaNBaN0
[5]: www.youtube.com/watch?v=DB_SXhJaJts
[6]: Bild
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