Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs
Von: Gockel
Datum: Mi. 19. April 2006 23:33:53
Thema: Mathematik

 
Gruppenzwang VIII

Hallo Freunde der Gruppentheorie. Das Thema dieses Artikels sollen interessante und nützliche Sätze über abelsche Gruppen sein. Vor allem soll es dabei um die endlichen Gruppen gehen. Dabei werden wir die Struktur der Automorphismen- und der primen Restklassengruppen untersuchen. Der Höhepunkt wird dann ein schöner, elementarer Beweis des Struktursatzes für endliche abelsche Gruppen sein, der ohne den üblichen Umweg über Moduln auskommt.

 
Inhalt

1.) Zerlegungslemmata 2.) Prime Restklassen 3.) Der Struktursatz 4.) Andere Automorphismen
 

 
Zerlegungslemmata

Wir werden uns im Folgenden fast immer auf einfachere Spezialfälle beschränken, anstatt das jeweilige Problem in all seiner Allgemeinheit anzugehen. Wir wollen in diesem Abschnitt zwei Lemmata betrachten, die dieses Vorgehen rechtfertigen: Sind G und H zwei Gruppen, so kann man Aut(G)\cross\ Aut(H) als Untergruppe von Aut(G\cross\ H) auffassen. \darkred\ll(Zerlegungslemma 1)Sind G und H endliche Gruppen mit ggT(abs(G),abs(H))=1, \darkred\ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ dann gilt: Aut(G)\cross\ Aut(H)~=Aut(G\cross\ H) (Für den Beweis siehe hier im Forum) Während \ref(Zerlegungslemma 1) auf alle Gruppen anwendbar ist, betrachten wir im Speziellen nun die abelschen Gruppen sowie die Mengen Tor_n(G) := menge(g\el\ G | g^n=1) Da G abelsch sein soll, sind dies Untergruppen, die \- sofern die Gruppe klar ist \- auch kurz als Tor_n bezeichnet wird. \darkred\ll(Zerlegungslemma 2)Sei G eine endliche, abelsche Gruppe mit abs(G)=nm \darkred\ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ und ggT(n,m)=1, dann ist G=Tor_n(G)\oplus\ Tor_m(G) \blue\ Beweis: Für jedes g\el\ G gilt g^abs(G)=g^nm=1. Daraus folgt, dass g^n\el\ Tor_m und g^m\el\ Tor_n ist. Weil n und m teilerfremd sind, gibt es a,b\el\IZ mit an+bm=1, so dass g=(g^n)^a*(g^m)^b. Es ist also G=Tor_n*Tor_m. Bleibt noch zu zeigen, dass Tor_n\cut\ Tor_m={1} ist. Das folgt wiederum daraus, dass n und m teilerfremd sind. Ein Element g, dass gleichzeitig g^n=1 und g^m=1 erfüllt, muss nämlich 1=g^array(ggT(n,m))=g^1 erfüllen. Damit ist G=Tor_n\oplus\ Tor_m. \blue\ q.e.d. Indem man dies induktiv fortsetzt, bekommt man eine Zerlegung analog zur Primfaktorzerlegung von abs(G). Ist nämlich abs(G)=produkt(p^array(\nue(p)),p\el\IP), dann ist G=bigop(\oplus,Tor_(p^array(\nue(p))),p\el\IP). Dies entspricht dann der Zerlegung von G in seine p\-Sylowgruppen. Dieses Lemma lässt sich sogar auf beliebige abelsche Gruppen verallgemeinern. Setzt man G_((p)) := menge(g\el\ G | \exists\ k\el\IN: g^p^k=1), dann gilt für die Untergruppe der Elemente endlicher Ordnung \(die so genannten Torsionsuntergruppe, die mit Tor(G) bezeichnet wird\): Tor(G)=bigop(\oplus,G_((p)),p\el\IP) Man erkennt die obige Zerlegung in Sylowgruppen schnell als Spezialfall für endliche G wieder.
 

 
Prime Restklassengruppen

Untersucht man abelsche Gruppen, so sind natürlich die zyklischen Gruppen von besonderer Bedeutung. (Nicht zuletzt aufgrund des Struktursatzes, den wir gleich noch untersuchen wollen) In vorherigen Gruppenzwängen wurde ihre Struktur schon sehr intensiv untersucht. Diesmal wollen wir uns anschauen, welche Struktur die Automorphismen zyklischer Gruppen haben. makro(prg,\IZ||array(\small\ x;%1\normal)) Bei zyklischen Gruppen ist ein Automorphismus allein durch das Bild eines Erzeugers bestimmt, da jedes Element eine Potenz des Erzeugers ist. Betrachten wir die kanonische Darstellung der zyklischen Gruppen als \IZ bzw. \IZ_n, so geht es also nur um das Bild der 1. Insbesondere ist jeder Automorphismus als Multiplikation mit einem invertierbaren Element darstellbar, wenn man die Ringstruktur dieser Gruppen betrachtet. Wir wollen also nicht nur Aut(\IZ_n) bestimmen, sondern prg(n). Es soll uns speziell um endliche zyklische Gruppen gehen, denn wie man sich schnell klarmacht, besitzt \IZ nur zwei Automorphismen: Die Identität und die Multiplikation mit -1, da es nur die beiden Erzeuger 1 und -1 gibt. Das erste \(wenn auch triviale\) Resultat ist daher: \darkred\IZ^x~=Aut(\IZ)~=\IZ_2 makro(prg,\IZ||array(\small\ x;%1\normal)) Bei den endlichen zyklischen Gruppen sieht es allerdings schon interessanter aus: In \IZ_n ist jede Restklasse [a] mit ggT(a,n)=1 invertierbar. Daraus folgt bereits, dass abs(prg(n))=abs(Aut(\IZ_n))=\phi(n) ist. \phi bezeichne in diesem gesamten Abschnitt die Euler'sche Phi\- oder auch Euler'sche Totient\-Funktion. (wichtige Eigenschaften siehe hier bei mathworld) makro(prg,\IZ||array(\small\ x;%1\normal)) Als nächstes erinnern wir uns, dass man eine endliche zyklische Gruppe in zyklische p-Gruppen zerlegen kann: Ist n=produkt(p^array(\nue(p)),p\el\IP), dann gilt \IZ_n~=bigop(\cross,\IZ_(p^array(\nue(p))),p\el\IP). Dies hatten wir bereits in einem früheren Teil von Gruppenzwang beweisen können. Wahlweise kann man dies auch aus \ref(Zerlegungslemma 2) folgern. \ref(Zerlegungslemma 1) können wir für uns mittels des chinesischen Restsatzes umformulieren zu: \darkred\ ggT(n,m)=1 => prg(nm)~=prg(n)\cross\ prg(m) Diese Tatsache erlaubt es uns, unsere Untersuchung auf p-Gruppen zu beschränken, denn genau wie wir zyklische Gruppen in ein direktes Produkt zerlegen können, können wir laut diesem Lemma auch ihre primen Restklassen- bzw. Automorphismengruppen zerlegen und die Faktoren einzeln betrachten. Wir werden an den kniffligen Stellen des ersten Satzes folgendes Lemma brauchen: \darkred\ll(Lemma 3)Sei p prim, n=p^i\.r, p\teiltnicht\ r sowie 0\oplus\<5\>~=\IZ_2\cross\IZ_(2^(k-2)) für k>=2 \darkred\ll(c)prg(p^k)~=\IZ_\phi(p^k) für p\el\IP\\ menge(2) makro(prg,\IZ||array(\small\ x;%1\normal)) \blue\ Beweis: \ref(a) ist klar. Für \ref(b) nehmen wir oBdA k>2 an, da die Aussage für k=2 offensichtlich wahr ist. Um die Zerlegung prg(2^k)=\<\-1\>\oplus\<5\> zu zeigen, weisen wir ord(5)=2^(k-2) nach: 5^2^(k-2)==(4+1)^2^(k-2)==sum((2^(k-2);n)*4^n,n=0,2^(k-2)) ==1+sum((2^(k-2);n)*2^2n,n=1,2^(k-2)) ==1 (mod 2^k) Denn mit \ref(Lemma 3) folgt, dass es für alle n ein i gibt mit 2^(k-2-i) \| (2^(k-2);n) und dass dieses i<=log_2(n)=1. Außerdem ist analog: 5^2^(k-3)==(4+1)^2^(k-3)==sum((2^(k-3);n)*4^n,n=0,2^(k-3))==1+2^(k-3)*4+sum((2^(k-3);n)*4^n,n=2,2^(k-3)) ==1+2^(k-1)!==1 (mod 2^k) Also ist 2^(k-2) die Ordnung von 5 in prg(2^k). -1 ist offensichtlich von Ordnung 2. Nehmen wir an, -1 wäre in der von 5 erzeugten Untergruppe, es gäbe also ein 0<=n<2^(k-2) mit: -1==5^n (mod 2^k) => 1==5^2n (mod 2^k) => 2^(k-2) \| 2n => n=2^(k-3) => -1==5^2^(k-3)==1+2^(k-1) (mod 2^k) => -2==2^(k-1) (mod 2^k) => 2^2==2^(2k-2)==0 (mod 2^k) => Widerspruch, denn wir hatten k>2 angenommen. Da abs(prg(2^k))=2^(k-1) ist, ist also Aut(\IZ_(2^k))~=prg(2^k)=\<\-1\>\oplus\<5\>~=\IZ_2\cross\IZ_(2^(k-2)) \blue\ q.e.d. makro(prg,\IZ||array(\small\ x;%1\normal)) \blue\ Beweis von \ref(c) Da prg(p^0)~={1} und prg(p)~=\IZ_(p-1) bekannt ist, können wir OBdA k>1 annehmen und analog zu \ref(b) beweisen wir, dass (p+1) die multiplikative Ordnung p^(k-1) hat: (p+1)^p^(k-1)=sum((p^(k-1);i)*p^i,i=0,p^(k-1))=1+sum((p^(k-1);i)*p^i,i=1,p^(k-1)) ==1 (mod p^k) Das geht noch wie oben durch die Abschätzung log_p(n)p, so lässt sich n-i>=n-log_p(n)>=p-1>=2 abschätzen. Ist n=p, so ist i=1 und k-2-i+n=k-3+p>=k. Ist 2<=n=k. Somit ist p^k \| (p^(k-2);n)*p^n für n>=2. makro(prg,\IZ||array(\small\ x;%1\normal)) p+1 ist also von der Ordnung p^(k-1) in prg(p^k). Der schwierigere Teil besteht nun darin, zu zeigen, dass es auch ein Element der Ordnung p-1 in prg(p^k) gibt. Dazu betrachten wir die \(eindeutig bestimmte und zu \IZ_p isomorphe\) Untergruppe der Ordnung p in \IZ_(p^k). Wir wissen, dass es genau eine Untergruppe dieser Ordnung gibt, sie also charakteristisch ist. Daher induziert die Einschränkung auf diese Untergruppe einen Epimorphismus Aut(\IZ_array(p^k))\twoheadrightarrow\ Aut(\IZ_p), also prg(p^k)\twoheadrightarrow\ prg(p). \(Der Homomorphismus ist explizit durch [k]||array($;\small\ p^k\normal)\mapsto\ [k]_p gegeben.\) Wir wissen, dass prg(p)=\IF||array(\small\ x;p\normal) und zyklisch und von Ordnung p-1 ist. Es gibt also ein Element \zeta\el\ prg(p^k) mit ord(\zeta)=p-1. Wegen ggT(p-1,p^(k-1))=1 ist (p+1)\zeta von Ordnung (p-1)p^k, also ein Erzeuger von prg(p^k). Insgesamt ist damit Aut(\IZ||array(\small\ $;p^k\normal))~=prg(p^k)=\\oplus\<\zeta\>~=\IZ_((p-1)p^(k-1)) \blue\ q.e.d. Im Gegensatz zu p+1 ist der Erzeuger \zeta nicht so kanonisch anzugeben. Dazu müsste man nämlich einen kanonischen Erzeuger von \IF||array(\small\ x;p\normal) haben. Hat man aber erstmal irgendeinen Erzeuger \xi\el\IN, dann kann man \zeta=\xi^p^(k-1) setzen. Die Erzeuger von \IF||array(\small\ x;p\normal) kann man aber durch ein bisschen Probieren recht einfach finden. Meistens findet man schon in wirklich kleinen Bereich einen Erzeuger. Ist beispielsweise p<=2^16, so ist das kleinste der \xi, immer im Bereich von 2 bis 38 angesiedelt. Man muss also wirklich nicht lange probieren. makro(prg,\IZ||array(\small\ x;%1\normal)) Zusammenfassend gilt also mit n=bigop(\Pi,p^array(\nue(p)),p\el\IP) \darkred\ll(Hauptsatz) \darkred\ll(a)Aut(\IZ) ~= prg($) ~= \IZ_2 \darkred\ll(b)Aut(\IZ_n) ~= prg(n) ~= H\cross\ produkt(\IZ_((p-1)p^(\nue(p)-1)),p\el\IP\\{2}) wobei H~={1} für \nue(2)<=1 und H~=\IZ_2\cross\IZ_(2^(\nue(2)-2)) sonst

 
Anwendung

makro(prg,\IZ||array(\small\ x;%1\normal)) \big\ i. Einheitswurzeln Damit kann genau angegeben werden, wieviele d\-te Einheitswurzeln, d.h. Nullstellen des Polynoms x^d-1, es in \IZ_n gibt. Es geht dabei ja um die Elemente, deren multiplikative Ordnung d teilen, also um die d\-Torsionsgruppe in prg(n). Haben wir erstmal die Primfaktorzerlegung von n, so können wir aus dem obigen Ergebnis leicht ablesen, wie diese Untergruppe aussieht, da die d\-Torsionsgruppe von \IZ_n sehr einfach zu bestimmen ist: Sie entspricht genau der zu \IZ_array(ggT(d,n)) isomorphen Untergruppe, wovon man sich leicht überzeugen kann. Wenn wir wissen, dass Tor_d(G\oplus\ H)=Tor_d(G)\oplus\ Tor_d(H) ist, dann können wir damit dann auch die allgemeinen d\-Torsionsgruppen bestimmen. Ein Beispiel: n=15=3*5 und d=2. Es ist nach obiger Klassifikation prg(15) ~= \IZ_2\cross\IZ_4. Die 2\-Torsionsuntergruppe von prg(15) ist also nach obiger Überlegung zu \IZ_2\cross\IZ_2 isomorph und besitzt 4 Elemente. x^2-1=0 hat über \IZ_15 also 4 Lösungen, als da wären: 1,4,11 und 14. Noch komplexer: n=1785=3*5*7*17, d=16 Die Klassifikation ergibt: prg(1785)~=\IZ_2\cross\IZ_4\cross\IZ_6\cross\IZ_16 Die 16\-Torsionsgruppe davon entspricht \IZ_2\cross\IZ_4\cross\IZ_2\cross\IZ_16, was 256 Elemente hat. x^16-1=0 hat also sage und schreibe 256 Lösungen über \IZ_1785 Welche das genau sind, kann man durch Rückwärtsrechnen bestimmen, indem man Erzeuger der Einheitengruppe bestimmt und mit dem chinesischen Restsatz auf \IZ_n überträgt. makro(prg,\IZ||array(\small\ x;%1\normal)) \big\ ii. Primitivwurzeln Ein weiteres wichtiges Resultat ist die Existenz von Primitivwurzeln mod p^k. Primitivwurzeln sind Elemente, die die prime Restklassengruppe erzeugen und besonders in der Kryptographie praktische Anwendung finden. Da wir wissen, dass prg(p^k) für p!=2 zyklisch ist, wissen wir damit auch, dass es für ungerade Primzahlen Primitivwurzeln mod p^k gibt und sogar, dass ihre Bestimmung nicht wesentlich schwieriger ist, als die Bestimmung von Primitivwurzeln mod p.
 

 
Der Struktursatz für endliche abelsche Gruppen

Im folgenden Abschnitt soll es uns um diesen wunderbaren und äußerst nützlichen Satz und einen sehr eleganten, aber trotzdem elementaren Beweis desselbigen gehen: makro(erz,\<\.%{*}\.\>) \darkred\big\ array(Struktursatz über endliche abelsche Gruppen)__ \darkred\ Ist G eine endliche abelsche Gruppe, so gibt es a_1, ..., a_k \el\ G mit \darkred\ll(a) G=erz(a_1)\oplus\ erz(a_2)\oplus...\oplus\ erz(a_k) \darkred\ll(b) ord(a_i)=p_i^k_i mit p_i\el\IP für alle 1<=i<=k Den Beweis, den ich dafür entwickelt habe, wollen wir in mehreren Schritten vollziehen. Den ersten Schritt zum Beweis des Struktursatzes haben wir mit (Zerlegungslemma 2) bereits getan. Jetzt müssen wir nur noch zeigen, dass sich auch abelsche p-Gruppen zerlegen lassen. Sei also A eine endliche, abelsche p-Gruppe: \darkred\ll(Lemma 4)A!={1} und zyklisch <=> es gibt genau eine Untergruppe der Ordnung$p. makro(erz,\<\.%{*}\.\>) \blue\ Beweis: Die Hinrichtung ist bereits bekannt. Bleibt noch die Rückrichtung zu beweisen. Wir führen den Beweis über Induktion nach abs(A). Der Induktionsanfang ergibt sich trivialerweise mit abs(A)=p. Sei für den Induktionsschritt abs(A)>p und U die eindeutige Untergruppe mit abs(U)=p. Betrachten wir nun den Endomorphismus \phi: a\mapsto\ a^p. Der Kern ist offensichtlich genau U, denn U enthält alle Elemente mit a^p=1. \phi(A) ist nun eine Untergruppe von A mit abs(A)/p Elementen. Da A genau eine Untergruppe der Ordnung p enthält, enthält auch \phi(A) genau eine solche Untergruppe. Wenden wir also die Induktionsvorrausetzung an, so erhalten wir, dass \phi(A) zyklisch ist, es also ein d\el\ A gibt mit \phi(A)=erz(d). Betrachten wir nun ein Urbild c von d, also c^p=d. Da d \phi(A) erzeugt, hat es Ordnung abs(A)/p, daher hat c die Ordnung abs(A) und es gilt A=erz(c). \blue\ q.e.d. Das nutzen wir nun, um A wieder in eine direkte Summe zu zerlegen: makro(erz,\<\.%{*}\.\>) \darkred\ll(Lemma 5)Ist a\el\ A ein Element mit maximaler Ordnung, dann existiert eine Untergruppe B<=A mit A=erz(a)\oplus\ B. \blue\ Beweis: Auch hier führen wir wieder eine Induktion über abs(A) durch. Da der zyklische Fall trivial ist, können wir wieder abs(A)=p als Induktionsanfang nehmen. O.B.d.A. werden wir ord(a)A\/U. \phi_array(\|\.erz(a)) ist injektiv, da Kern(\phi_array(\|\.erz(a)))=Kern(\phi)\cut\ erz(a)=U\cut\ erz(a)={1} ist. Insbesondere ist also ord(aU)=ord(a). Daher ist aU ein Element maximaler Ordnung in A\/U, denn es gilt ord(aU)=ord(a)>=ord(g)>=ord(gU) für alle g\el\ A. Wir können nun die Induktionsvorraussetzung anwenden, um uns eine Untergruppe \calB<=A\/U zu beschaffen mit A\/U=erz(aU)\oplus\calB. Die Ordnung abs(\calB) ist hierbei gleich abs(A\/U)/ord(a)=abs(A)/(p*ord(a)). Jetzt können wir B als Urbild von \calB wählen. Es ist nun B\cut\ erz(a)={1}, denn \phi(B\cut\ erz(a))\subseteq\phi(B)\cut\phi(erz(a))=\calB\cut\ erz(aU)={1}. Somit ist B\cut\ erz(a)\subseteq\ U, da U=Kern(\phi). Dies wiederum führt zu B\cut\ erz(a)=B\cut\ erz(a)\cut\ U={1}. Außerdem ist abs(B)=abs(\calB)*abs(U)=abs(A)/ord(a) und somit B*erz(a)=A. Zusammen ergibt das A=erz(a)\oplus\ B. \blue\ q.e.d. Da wir auch B nach diesem Schema weiter zerlegen können, folgt induktiv die Aussage, dass A=erz(a_1)\oplus\ erz(a_2)\oplus...\oplus\ erz(a_n) für geeignete a_i\el\ A ist. Dies bringt uns direkt zum \blue\ Beweis des Struktursatzes für endliche abelsche Gruppen: makro(erz,\<\.%{*}\.\>) Sei G eine endliche abelsche Gruppe mit abs(G)=produkt(p^array(\nue(p)),p\el\IP). Dann können wir G nach \ref(Zerlegungslemma 2) in G=bigop(\oplus,Tor_(p^array(\nue(p))),p\el\IP) zerlegen und jedes Tor_(p^array(\nue(p))) nach \ref(Lemma 5) in eine direkte Summe Tor_(p^array(\nue(p)))=bigop(\oplus,erz(a_i),i=1,n) für geeignete a_i\el\ Tor_(p^array(\nue(p))) zerlegen. Zusammen ergibt das die gewünschte Zerlegung G=bigop(\oplus,erz(a_i),i=1,k). \blue\ q.e.d. Man kann zeigen, dass dies eine im Wesentlichen eindeutige Zerlegung ist. Hat man für G!={1} zwei Zerlegungen in zyklische p\-Gruppen G=bigop(\oplus,erz(a_i),i=1,k_1)=bigop(\oplus,erz(b_i),i=1,k_2) so folgt k_1=k_2 und nach entsprechender Umnummerierung ord(a_i)=ord(b_i). \(Sofern man alle a_i und b_i als von 1 verschieden annimmt\) Außerdem ist dies in gewissem Sinne eine bestmögliche Zerlegung, da man die Summanden als zyklische p\-Gruppen nicht als nichttriviale direkte Summen darstellen kann. makro(erz,\<\.%{*}\.\>) Indem man die Summanden etwas umsortiert und zu zyklischen Gruppen zusammenfasst, erhält man den \darkred\big\ array(Satz von Kronecker)__\normal \darkred\ Ist G eine endliche abelsche Gruppe, so gibt es a_1, ..., a_k\el\ G mit \darkred\ll(a) G=erz(a_1)\oplus\ erz(a_2)\oplus...\oplus\ erz(a_k) \darkred\ll(b) ord(a_i) \| ord(a_(i+1)) für alle 1<=i 

 
Andere Automorphismen

Hat man den Struktursatz zur Vefügung, so kann man mit ein wenig Arbeit die Automorphismengruppe einer jeden endlichen, abelschen Gruppe bestimmen und noch viel mehr. Dies ist aber ein sehr technisches und unübersichtliches Unterfangen, so dass ich mich entschlossen habe, es als Exkurs auszulagern:
 

 
Abschluss

Ich hoffe, dass ich euch der Artikel gefallen hat. Mir jedenfalls hat es viel Spaß gemacht, diese Strukturaussagen zu beweisen. Mich würde allerdings noch die Frage interessieren, ob die Klassifikation der primen Restklassengruppen, die ich oben gegeben habe, noch weitere Anwendungen findet, als die zwei genannten. Vielleicht weiß ja einer von euch etwas dazu beizutragen. :) Aut(mfg)~=(Goc\oplus\ kel)^x
 

 
Die Gruppenzwang-Reihe

Teil 1: Wir rechnen mit allem Teil 2: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an Teil 3: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier Teil 4: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten Teil 5: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP Teil 6: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden Teil 7: Gruppen sind immer noch top! Teil 8: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs Teil 9: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung Teil 10: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version Teil 11: Der Gruppentheorie-Adventskranz Teil 12: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei Teil 13: Amnestie: Auch Untergruppen frei
 


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