Forum:  Relativitätstheorie
Thema: Vierer-Kontinuitätsgleichung eines Massepunktes
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GuteFrage
Junior
Dabei seit: 30.05.2013
Mitteilungen: 10
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Themenstart: 2015-05-06 21:02

Guten Abend Matheplanet,

ich habe folgende Aufgabe.

Ein massives Teilchen, dass sich geradlinig mit der 4er Geschwindigkeit <math>u^{\mu}=(\gamma,\gamma \beta_{x},\gamma \beta_{y},\gamma \beta_{z})^{T}</math> auf einer durch <math>\overrightarrow{r(t)}</math> gegebenen Bahnkurve bewegt, erzeugt eine Massenstromdichte der Form
<math>j^{\mu}=\rho_{m}(t,x,y,z)\cdot \frac{u^{\mu}}{\gamma}</math>.

Geben Sie die Massendichte <math>\rho_{m}(t,x,y,z)</math> für ein Punktteilchen der Masse m an. Zeige Sie, dass die Massenstromdichte

<math>\partial_{\mu}\cdot j^{\mu}=0</math>.

Ich weiß, dass es sich dabei, analog zur Ladungserhaltung, um die lokale Erhaltung der Masse handelt.
Für <math>\rho_{m}(t,x,y,z)</math> habe ich eine <math>\delta</math>--funktion angesetzt:
<math>\delta(x^{\mu}-r^{\mu})</math>, wobei r (wie oben) die Bahnkurve des Teilchens angeben soll.
<math>\partial_{\mu}\cdot j^{\mu}=0</math> kann man dann schreiben, als <math>\partial_{0}j^{0}-\nabla \overrightarrow{j}</math>, wobei
<math>\partial_{0}=\frac{\partial}{c\partial t}</math>.
Wendet man das auf die Komponenten von <math>j^{\mu}</math> an, so folgt <math>\partial_{0}\cdot j^{0}=m\cdot \frac{\partial}{c\partial t}\cdot \delta(x^{\mu}-r^{\mu})\cdot u^{0}/\gamma</math> (u hängt nicht von der Zeit ab?!) und für die räumlichen Komponenten:
<math>\nabla \overrightarrow{j}=m\cdot \nabla\delta(x^{\mu}-r^{\mu})\cdot \overrightarrow{u}/\gamma</math>.
Also bleibt zu zeigen:
<math>\frac{\partial}{c\partial t}\cdot \delta(x^{\mu}-r^{\mu})=\nabla\delta(x^{\mu}-r^{\mu})\cdot \overrightarrow{u}/\gamma</math>.
Und an diesem Punkt komm ich nicht wirklich weiter.
(Ich hoffe die Notation ist verständlich)

Danke für Eure Hilfe


dromedar
Senior
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5123
Aus: München
Beitrag No.1, eingetragen 2015-05-08 00:38

Hallo GuteFrage,

2015-05-06 21:02 - GuteFrage im Themenstart schreibt:
Für <math>\rho_{m}(t,x,y,z)</math> habe ich eine <math>\delta</math>--funktion angesetzt:
<math>\delta(x^{\mu}-r^{\mu})</math>, wobei r (wie oben) die Bahnkurve des Teilchens angeben soll.

Der Ansatz ist leider schon falsch.

Überleg Dir am Besten erstmal, wie der Ansatz im nicht-relativistischen Fall aussehen würde (und warum das keine 4-dimensionale Deltafunktion sein kann).

Grüße,
dromedar




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Druckdatum: 2020-12-05 03:10