Forum:  Relativitätstheorie
Thema: Vierer-Kontinuitätsgleichung eines Massepunktes
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GuteFrage
Junior
Dabei seit: 30.05.2013
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Themenstart: 2015-05-06 21:02
Guten Abend Matheplanet, ich habe folgende Aufgabe. Ein massives Teilchen, dass sich geradlinig mit der 4er Geschwindigkeit $u^{\mu}=(\gamma,\gamma \beta_{x},\gamma \beta_{y},\gamma \beta_{z})^{T}$ auf einer durch $\overrightarrow{r(t)}$ gegebenen Bahnkurve bewegt, erzeugt eine Massenstromdichte der Form $j^{\mu}=\rho_{m}(t,x,y,z)\cdot \frac{u^{\mu}}{\gamma}$. Geben Sie die Massendichte $\rho_{m}(t,x,y,z)$ für ein Punktteilchen der Masse m an. Zeige Sie, dass die Massenstromdichte $\partial_{\mu}\cdot j^{\mu}=0$. Ich weiß, dass es sich dabei, analog zur Ladungserhaltung, um die lokale Erhaltung der Masse handelt. Für $\rho_{m}(t,x,y,z)$ habe ich eine $\delta$--funktion angesetzt: $\delta(x^{\mu}-r^{\mu})$, wobei r (wie oben) die Bahnkurve des Teilchens angeben soll. $\partial_{\mu}\cdot j^{\mu}=0$ kann man dann schreiben, als $\partial_{0}j^{0}-\nabla \overrightarrow{j}$, wobei $\partial_{0}=\frac{\partial}{c\partial t}$. Wendet man das auf die Komponenten von $j^{\mu}$ an, so folgt $\partial_{0}\cdot j^{0}=m\cdot \frac{\partial}{c\partial t}\cdot \delta(x^{\mu}-r^{\mu})\cdot u^{0}/\gamma$ (u hängt nicht von der Zeit ab?!) und für die räumlichen Komponenten: $\nabla \overrightarrow{j}=m\cdot \nabla\delta(x^{\mu}-r^{\mu})\cdot \overrightarrow{u}/\gamma$. Also bleibt zu zeigen: $\frac{\partial}{c\partial t}\cdot \delta(x^{\mu}-r^{\mu})=\nabla\delta(x^{\mu}-r^{\mu})\cdot \overrightarrow{u}/\gamma$. Und an diesem Punkt komm ich nicht wirklich weiter. (Ich hoffe die Notation ist verständlich) Danke für Eure Hilfe

dromedar
Senior
Dabei seit: 26.10.2013
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Beitrag No.1, eingetragen 2015-05-08 00:38
Hallo GuteFrage, \quoteon(2015-05-06 21:02 - GuteFrage im Themenstart) Für $\rho_{m}(t,x,y,z)$ habe ich eine $\delta$--funktion angesetzt: $\delta(x^{\mu}-r^{\mu})$, wobei r (wie oben) die Bahnkurve des Teilchens angeben soll. \quoteoff Der Ansatz ist leider schon falsch. Überleg Dir am Besten erstmal, wie der Ansatz im nicht-relativistischen Fall aussehen würde (und warum das keine 4-dimensionale Deltafunktion sein kann). Grüße, dromedar



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Druckdatum: 2021-09-27 20:43