Forum:  Mengenlehre
Thema: \(\begingroup\) Beweis zur Menge aller Bilder\(\endgroup\)
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katenum
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Dabei seit: 23.11.2016
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Themenstart: 2017-04-21 14:11

Hallo,

Gegeben sind die Mengen <math>N</math> und <math>M</math> sowie die Abbildung <math>f : N \rightarrow M</math>. Es soll gezeigt werden, dass für beliebige Mengen <math>A,B\subseteq N</math> das folgende gilt: <math>f[A \cap B] \subseteq f[A] \cap f[B]</math>
Mein Ansatz ist:
<math>f[A] \cap f[B] = \{f(a)|a \in A\} \cap \{f(b)|b \in B\}</math>
wie mache ich jetzt weiter? Am Ende sollte ja etwas rauskommen wie:
<math>\supseteq \{f(a)|a \in A \cap B\} = f[A\cap B]</math>

MfG


np_complete
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Mitteilungen: 76
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Beitrag No.1, eingetragen 2017-04-21 14:19

Du machst es genau falsch herum. Überlege dir elementweise was es genau heißt, dass für ein Element <math>y\in M</math> gilt dass <math>y\in f\left[A\cap B\right]</math>. Der Rest ergibt sich fast von alleine.

Gruß
np_complete


helmetzer
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Dabei seit: 14.10.2013
Mitteilungen: 1127
Aus: Helmbrechts, Franken
Beitrag No.2, eingetragen 2017-04-21 14:35

Moin, ich mag es, solche Beweise möglichst ohne Zugriff auf "Elemente" zu führen. Daher: aus der Definition von <math>f(X)</math> folgt sofort für <math>X, Y \subseteq N</math> :

<math>X \subseteq Y \implies f(X) \subseteq f(Y)</math>
wegen <math>A \cap B \subseteq A</math> also <math> f(A\cap B) \subseteq f(A)</math>

jetzt mache selber weiter ...


katenum
Aktiv
Dabei seit: 23.11.2016
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-21 15:36

<math>y \in M</math>
<math>y \in \{f(a)|a \in A \cap B\}</math>
<math>\Rightarrow y \in \{f(a)|a \in A\} \wedge y \in \{f(b)|b \in B\}</math>
<math>\Leftrightarrow y \in \{f(a)|a \in A\} \cap \{f(b)|b \in B\}</math>
<math>\Leftrightarrow y \in f[A] \cap f[B]</math>

Wie sieht das aus?

MfG


helmetzer
Senior
Dabei seit: 14.10.2013
Mitteilungen: 1127
Aus: Helmbrechts, Franken
Beitrag No.4, eingetragen 2017-04-21 15:51

Gut.


katenum
Aktiv
Dabei seit: 23.11.2016
Mitteilungen: 75
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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-21 16:24

Okay danke!




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Druckdatum: 2018-06-24 20:27