Forum:  Logik, Mengen & Beweistechnik
Thema: Simultane Wahl von Vektorraumbasen
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Saki17
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Themenstart: 2017-10-18 18:08

Hallo,

meine Frage bezieht sich auf dieses Skript, Exercise 1.2.D.

Könnte mir jemand erklären, was das dort erwähnte subtile mengentheoretische Problem ist? ("so feel free to simultaneously choose bases for each vector space in <math>f.d.Vec_k</math>")

Ich würde den Inversenfunktor <math>F: f.d.Vec_k\to \mathscr{V}</math> so beschreiben: Er bilde <math>n</math>-dim. <math>k</math>-Vektorraum <math>V</math> auf <math>k^n</math> und Morphismus=lineare Abbildung <math>f: V\to W</math> auf <math>A_{f, X,Y}</math> ab, wobei <math>X, Y</math> (endliche) Basen von <math>V</math> bzw. <math>W</math> und <math>A_{f,X,Y}</math> die darstellende Matrix von <math>f</math> bzgl. <math>X,Y</math> sind.


Triceratops
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Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-18 19:07

Damit <math>F</math> ein Funktor wird, musst du sicherstellen, dass für jeden Vektorraum dieselbe Basis ausgewählt wird (bei der Definition von F auf Morphismen). Man braucht also mehr als das, was du geschrieben hast: Man braucht eine Funktion

<math>B : fdVect \to Set,</math>
 
die jedem endlich-dimensionalen Vektorraum <math>V</math> eine Basis <math>B(V)</math> von <math>V</math> auswählt. Wir brauchen also eine Auswahlfunktion.

Für die Existenz von Auswahlfunktionen ist das Auswahlaxiom zuständig. Dieses macht aber lediglich eine Aussage über Familien von Mengen, und hier hat man es mit Klassen zu tun. Genauer gesagt braucht man also das Auswahlaxiom für Klassen ("globales Auswahlaxiom"), welches in der Standard-Mengenlehre ZFC nicht enthalten ist. Das ist das mengentheoretische "Problem".
 
In Wahrheit handelt es sich um kein ernstzunehmendes Problem, weil es nichts (zusätzlich) kaputt macht, das globale Auswahlaxiom hinzuzunehmen. Siehe en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_global_choice und die dort genannten Quellen. Und die Mengenlehre NBG wird schon in der Aufgabe erwähnt (wieso hast du das nicht zitiert?), mehr dazu unter en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann%E2%80%93Bernays%E2%80%93G%C3%B6del_set_theory .


Saki17
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-19 20:21

2017-10-18 19:07 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
In Wahrheit handelt es sich um kein ernstzunehmendes Problem, weil es nichts (zusätzlich) kaputt macht, das globale Auswahlaxiom hinzuzunehmen.
Ich möchte dies fragen (warum macht es nichts kaputt?). Die zitierten Wiki-Einträge erklären das nicht (direkt). Aber ich weiß nicht ob ich deine Antwort verstehen könnte. (die Literatur zum globalen Auswahlaxiom wollte ich nicht jetzt lesen.)




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Druckdatum: 2020-08-13 07:19