Forum:  Folgen und Reihen
Thema: \(\begingroup\) Konvergenz der Folge sqrt(n+1)-sqrt(n)\(\endgroup\)
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monkeyhead
Junior
Dabei seit: 22.10.2017
Mitteilungen: 18
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Themenstart: 2017-11-10 19:43

Hallo,

also, ich vermute/weiß, dass die Folge <math>a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}</math> für <math>n\geq 0</math> gegen 0 konvergiert. Die Frage ist, wie zeige ich das mit der Definition der Konvergenz.
Also mit der Definition, dass eine Folge <math>a_n</math> gegen n konvergiert, heißt, dass:
<math>\forall\epsilon > 0: \exists N\in\mathbb{N}: |a_n-a|<\epsilon,\forall n\geq N</math>

So, jetzt kann ich sagen
<math>|a_n-n|=|(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})-0|=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}= \\ =\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})*(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}</math>

So, und jetzt habe ich etwas Probleme. Denn in den Vorlesungsbeispielen haben wir meist so argumentiert, dass es ein <math>N \geq 1</math> gibt, und nach dem archimedischen Axiom gilt <math>N>\frac{1}{\epsilon}</math> ist, oder anders ausgedrückt <math>\frac{1}{N}<\epsilon</math>.

Wir hatten als Beispiel die Folge <math>a_n=\frac{1}{n+1}</math>. Da funktioniert das wunderbar <math>|\frac{1}{n+1}-0|=\frac{1}{n+1}\leq\frac{1}{N}<\epsilon, \forall n\geq N</math>

Bei <math>\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}</math> funktioniert das bei mir irgendwie nicht. Irgendwie blick ich nicht ganz durch, obwohl es ja eigentlich einfach sein sollte. Man sieht ja, dass <math>\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}</math> für <math>n\rightarrow\infty</math> gegen 0 geht beziehungsweise, dass ich für jedes Epsilon ein n finden kann, sodass <math>\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\epsilon</math>
Vielleicht kann mir ja jemand erklären, wo mein Denkfehler mit <math>\frac{1}{N}</math> liegt.

lg
monkeyhead


DerEinfaeltige
Senior
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 1503
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Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-10 19:51

Für Faule:

<math>\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} < \frac{1}{\sqrt{n}}</math>

Dann die Ungleichung <math>\frac{1}{\sqrt{n}}<\epsilon</math> nach n auflösen.


Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11159
Aus: Bayern
Beitrag No.2, eingetragen 2017-11-10 20:10

Und obendrein solltest Du bei Deinem Ansatz nicht an->n konvergieren lassen, dann das gibt keinen Sinn. (Zeilen 4 und 7)
Gruß Wauzi


monkeyhead
Junior
Dabei seit: 22.10.2017
Mitteilungen: 18
Aus:
Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-10 21:06

@DerEinfaeltige Das heißt, du meinst, ich löse <math>\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} < \frac{1}{\sqrt{n}}</math> auf, sodass ich <math>n\geq \frac{1}{\epsilon^2}</math> erhalte. Was zeige ich damit genau? Die Bedingung bei welchem Folgenglied ich innerhalb einer gewissen Epsilon-Umgebung bin? Also eine Umgebung von <math>\epsilon=0.1</math> um den Grenzwert verlasse ich bei <math>n>100</math> nicht mehr. Dieses n ist dann mein N im Prinzip. Ist diese Notation dann nicht verwirrend? Sollte ich nicht besser gleich N schreiben. Sorry, wenn das ne blöde Frage ist. Ich merke nur unsere Profs sind da sehr genau.

@Wauzi: Danke für den Hinweis. Du hast Recht. Sollte in beiden Fällen natürlich a heißen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11159
Aus: Bayern
Beitrag No.4, eingetragen 2017-11-10 21:25

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1/(sqrt(n+1)+sqrt(n))<\epsilon
Jetzt ist ein solches N zu finden. Es muß nicht dda kleinstmögliche sein.

Wegen 1/(sqrt(n+1)+sqrt(n))<1/sqrt(n) genügt es 1/sqrt(n)<\epsilon zu zeigen.
Also finden wir für diese Ungleichung ein N:
1/sqrt(n)<\epsilon<=>n>1/\epsilon^2 zu zeigen.
Und dies ist erfüllt, wenn N>1/\epsilon^2, denn wenn n>=N ist auch n>1/\epsilon^2

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juergen007
Aktiv
Dabei seit: 17.08.2006
Mitteilungen: 2737
Aus: Braunschweig
Beitrag No.5, eingetragen 2017-11-10 21:52

2017-11-10 19:43 - monkeyhead im Themenstart schreibt:
Hallo,

also, ich vermute/weiß, dass die Folge <math>a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}</math> für <math>n\geq 0</math> gegen 0 konvergiert.

lg
monkeyhead
ich meine einfach umschreiben:

<math>\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=0\Leftrightarrow \lim_{n \to \infty}\sqrt{n+1}- \lim_{n \to \infty}\sqrt{n} < \epsilon</math>. Also es gibt füer jedes epsilon >0 ein N und so dass obiges fuer n>N gilt.


Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45518
Aus: Dresden
Beitrag No.6, eingetragen 2017-11-10 22:14

Hi juergen007,
diese Umschreibung ist unzulässig und daher unbrauchbar.
Gruß Buri


juergen007
Aktiv
Dabei seit: 17.08.2006
Mitteilungen: 2737
Aus: Braunschweig
Beitrag No.7, eingetragen 2017-11-10 22:27

Oder man behaupet aus

<math>\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sqrt{n+1}= \lim_{n \to \infty}\sqrt{n}\Rightarrow\lim_{n \to \infty}\sqrt{n+1}-\lim_{n \to \infty}\sqrt{n}=0</math>. Also die beiden ersten Grenwerte sind gleich also ist die Differenz ist also 0?
Oder ist der Umweg ueber die Kehrwerte noetig?


Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45518
Aus: Dresden
Beitrag No.8, eingetragen 2017-11-10 22:30

2017-11-10 22:27 - juergen007 in Beitrag No. 7 schreibt:
... ist der Umweg ueber die Kehrwerte noetig?
Hi juergen007,
es ist nicht nötig, aber es geht so am einfachsten und wurde als Rechentrick schon unzählige Male im Forum vorgeführt, und natürlich ist es kein Umweg.
Dein Ansatz dagegen geht am Ziel vorbei.
Gruß Buri


weird
Senior
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4042
Aus:
Beitrag No.9, eingetragen 2017-11-11 09:21

2017-11-10 22:27 - juergen007 in Beitrag No. 7 schreibt:
Oder man behaupet aus

<math>\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sqrt{n+1}= \lim_{n \to \infty}\sqrt{n}\Rightarrow\lim_{n \to \infty}\sqrt{n+1}-\lim_{n \to \infty}\sqrt{n}=0</math>. Also die beiden ersten Grenwerte sind gleich also ist die Differenz ist also 0?

Was sagst du eigentlich zu folgendem Beweis von 1=0? Einerseits gilt nämlich

<math>\lim\limits_{n\to\infty} ((n+1)-n)=\lim\limits_{n\to\infty} 1=1</math>

andererseits aber (mit deiner Beweisidee!), dass

<math>\lim\limits_{n \to \infty}(n+1)= \lim\limits_{n \to \infty}n\Rightarrow \lim\limits_{n\to\infty} ((n+1)-n)=\lim\limits_{n \to \infty}(n+1)-\lim\limits_{n \to \infty}n=0</math>

Ist doch genial, oder?  biggrin


juergen007
Aktiv
Dabei seit: 17.08.2006
Mitteilungen: 2737
Aus: Braunschweig
Beitrag No.10, eingetragen 2017-11-11 11:58

2017-11-11 09:21 - weird in Beitrag No. 9 schreibt:

<math>\lim\limits_{n \to \infty}(n+1)= \lim\limits_{n \to \infty}n\Rightarrow \lim\limits_{n\to\infty} ((n+1)-n)=\lim\limits_{n \to \infty}(n+1)-\lim\limits_{n \to \infty}n=0</math>

Ist doch genial, oder?  biggrin

Ja dem muss ich unwidersprochen zustimmen! dass 1 =0 ist wurde auch schon öfter im Forum bewiesen. biggrin
Ehrlich  gesagt habe ich den umkehr Trick nicht gekannt und nicht verstanden ...


weird
Senior
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4042
Aus:
Beitrag No.11, eingetragen 2017-11-11 12:11

2017-11-11 11:58 - juergen007 in Beitrag No. 10 schreibt:
(2017-11-11 09:21 - weird in <a href=viewtopic.php?topic=232090&
Ist doch genial, oder?  biggrin

Ja dem muss ich unwidersprochen zustimmen! dass 1 =0 ist wurde auch schon öfter im Forum bewiesen. biggrin

Ja, ich möchte mich aber hier nicht mit fremden Federn schmücken und daher nochmals dezidiert darauf hinweisen, dass ich für diesen genialen Beweis an entscheidender Stelle deine "Beweisidee" aus #7 verwendet habe.
 
Ehrlich  gesagt habe ich den umkehr Trick nicht gekannt und nicht verstanden ...

Welchen "umkehr Trick" meinst du da?


juergen007
Aktiv
Dabei seit: 17.08.2006
Mitteilungen: 2737
Aus: Braunschweig
Beitrag No.12, eingetragen 2017-11-11 12:14

2017-11-10 19:51 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 1 schreibt:
Für Faule:

<math>\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} < \frac{1}{\sqrt{n}}</math>

Dann die Ungleichung <math>\frac{1}{\sqrt{n}}<\epsilon</math> nach n auflösen.

Das meinte ich wie kommt er darauf, trotz Einfältigkeit oder wegen? SCNR  wink


Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45518
Aus: Dresden
Beitrag No.13, eingetragen 2017-11-11 12:15

2017-11-11 12:11 - weird in Beitrag No. 11 schreibt:
Welchen "umkehr Trick" meinst du da?
Hi weird,
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Gruß Buri

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]


weird
Senior
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4042
Aus:
Beitrag No.14, eingetragen 2017-11-11 12:35

2017-11-11 12:15 - Buri in Beitrag No. 13 schreibt:
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Ah ok, also die Anwendung der dritten binomischen Formel in diesem Beispiel.  wink  

Ja, eine gut befüllte Trickkiste ist nie schlecht. Im konkreten Fall könnte man auch noch die Anwendung des Mittelwertsatzes der Differenzialrechnung auf die Funktion

<math>f(x)=\sqrt x</math>

mitaufnehmen, denn danach gilt ja bekanntlich:

<math>\exists \theta_n \in (0,1): f(n+1)-f(n)=f'(n+\theta_n)</math>

was dann auch das Gewünschte leistet.


juergen007
Aktiv
Dabei seit: 17.08.2006
Mitteilungen: 2737
Aus: Braunschweig
Beitrag No.15, eingetragen 2017-11-11 12:45

Ich hatte die Idee, dass die Differenz der Wurzeln 2er hintereinanderfolgender Zahlen natürlich unendlich klein wird.
Ich weiß jetzt aber nicht, wie man das sauber hinschreibt.


lula
Senior
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 10774
Aus: Sankt Augustin NRW
Beitrag No.16, eingetragen 2017-11-11 14:21

Hallo Juergen
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bis dann, lula


juergen007
Aktiv
Dabei seit: 17.08.2006
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Aus: Braunschweig
Beitrag No.17, eingetragen 2017-11-11 15:29

ja ist ja gut ich seh schon mein denkfehler nicht schimpfen wink




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Druckdatum: 2018-06-20 05:54