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Thema: \(\begingroup\) Grenzwert einer unendlichen Summe geschlossen darstellbar?\(\endgroup\)
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Marbin
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Themenstart: 2018-01-21 09:01
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Vor einiger Zeit habe ich zur Modellierung des Collatz-Problems folgende Summe aufgestellt:

\[\sum_{i=0}^{\infty}\frac{3^{i}}{2^{\left \lceil i\cdot \frac{\ln (3)}{\ln (2)} \right \rceil +i+1}}\]
Mittels Majorantenkriterium kann man zeigen, dass die Summe konvergiert. Ich habe den Grenzwert näherungsweise berechnet:

\[\sum_{i=0}^{\infty}\frac{3^{i}}{2^{\left \lceil i\cdot \frac{\ln (3)}{\ln (2)} \right \rceil +i+1}}\approx 0,8557070119027572467386381827927740887351264803844154144\]
Lässt sich dieser Grenzwert geschlossen darstellen? Hat jemand eine Vermutung?\(\endgroup\)
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weird
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Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-21 11:43

2018-01-21 09:01 - Marbin im Themenstart schreibt:
Lässt sich dieser Grenzwert geschlossen darstellen? Hat jemand eine Vermutung?

Aufgrund der ceiling-Funktion im Exponenten halte ich es für sehr unwahrscheinlich, dass es dafür eine geschlossene Formel gibt, jedenfalls liefert auch der sonst recht gute Konstantenrechner von Plouffe et al. hier kein Ergebnis.


Marbin
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-21 12:39
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Ich habe mal angefangen, die Summe anders hinzuschreiben. Für nichtganze reelle \(x\) gilt: \(\left \lceil x \right \rceil=\frac{1}{2}+x+\frac{\tan^{-1}\left ( \frac{1}{\tan \left ( \pi \cdot x \right )} \right )}{\pi}\). Somit

\[\sum_{i=0}^{\infty}\frac{3^{i}}{2^{\left \lceil i\cdot \frac{\ln (3)}{\ln (2)} \right \rceil +i+1}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}\cdot \sum_{i=0}^{\infty}\frac{3^{i}}{2^{i\cdot \frac{\ln (6)}{\ln (2)}+\frac{\tan^{-1}\left ( \cot \left ( i\cdot \pi\cdot \frac{\ln (3)}{\ln (2)}  \right )  \right )}{\pi}}}\]\(\endgroup\)
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weird
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Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-21 13:34

In meinen Augen ist das jetzt eigentlich nur eine "Verschlimmbesserung".  biggrin

Ich denke, es geht hier mehr um ein menschliches, als ein mathematisches Problem, nämlich um die Schwierigkeit sich damit abzufinden, dass es für die überwältigende Mehrheit von Summen eben keine geschlossene Formel gibt, und alle Gegenbeispiele immer nur Ausnahmen sind, welche ebendiese Regel bestätigen.


Marbin
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-21 13:45

Stimme ich dir voll und ganz zu. Nur "irgendetwas" sagt mir, dass hier eine geschlossene Form existiert.




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Druckdatum: 2018-11-16 11:19