Forum:  Mengentheoretische Topologie
Thema: \(\begingroup\) Teilmenge eines totalbeschränkten Raumes wieder totalbeschränkt (Beweis)\(\endgroup\)
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student99
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Themenstart: 2018-06-22 15:27

Hallo zusammen,

ich soll zeigen, dass eine Teilmenge eines totalbeschränkten metrischen Raumes wieder totalbeschränkt ist und hab leider keine Idee wie ich das anstellen soll.
Folgende Defintion kenne ich:
fed-Code einblenden
(ich wusste leider nicht, wie ich das "große U" für die Vereinigungsmenge schreib)

Würde mich freuen, wenn mir dabei jemand helfen könnte.
Viele Grüße, student99


PrinzessinEinhorn
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Dabei seit: 23.01.2017
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Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-22 16:48

Hallo,


(ich wusste leider nicht, wie ich das "große U" für die Vereinigungsmenge schreib)

Das geht mit \bigcup_{k=1}^n


hab leider keine Idee wie ich das anstellen soll

Die Definition hast du ja hingeschrieben.
Ist dir klar, was du zeigen musst?


LeBtz
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Aus: dem Meer
Beitrag No.3, eingetragen 2018-06-22 16:52

Edit: Der Beitrag, auf den sich meiner bezog ist nun verschwunden. Dieser hier kann daher auch gelöscht werden.


student99
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Dabei seit: 16.05.2018
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-22 19:07

Ich müsste ja dann zeigen, dass
wenn man X mit endlich vielen Bällen fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
überdecken kann,
dann kann man auch jede Teilmenge  mit endlich vielen Bällen (wie oben) überdecken, wobei denke ich schon die (x_n) dann auch in der Teilmenge liegen müssten. Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob es bei den Radien dieser Bälle um die gleiche Distanz geht wie in der ganzen Menge?


TomTom314
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Beitrag No.4, eingetragen 2018-06-22 19:17
\(\begingroup\)
Die neuen "\(y_n\)" müssen schon in der Teilmenge liegen. Glücklicherweise ist \(\varepsilon\) eine sehr geduldige Zahl. Versuche Mal die Teilmenge mit \(2\varepsilon\)-Bällen zu überdecken.\(\endgroup\)
\(\endgroup\)

Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
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Aus: Dresden
Beitrag No.5, eingetragen 2018-06-22 19:21

2018-06-22 19:07 - student99 in Beitrag No. 3 schreibt:
... ob es bei den Radien dieser Bälle um die gleiche Distanz geht wie in der ganzen Menge?
Hi student99,
es geht um die gleiche Distanz. Das heißt, die Teilmenge wird mit der induzierten Metrik versehen.
Allerdings habe ich keinen zielführenden Lösungsansatz gefunden, es könnte sein, dass die Behauptung gar nicht stimmt. Ein Gegenbeispiel habe ich aber auch nicht.
Gruß Buri

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


student99
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-22 19:33

Vielen Dank erst mal für eure ganzen Antworten.

Ich denke schon, dass die Behauptung stimmen müsste, denn sonst würde die Aufgabe wahrscheinlich als Frage formuliert werden, es sei denn unser Prof. täuscht sich - was ich nicht hoffe.

Die Teilmenge mit 2 fed-Code einblenden
Bällen zu überdecken... dann müsste ich y_1,...,y_n finden, sodass ich die Teilmenge mit der Vereinigung endlich vieler Bälle um y_i mit Radius=2 fed-Code einblenden
Aber wie man das dann konkret macht...-da hab ich leider keine Idee!?


TomTom314
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Beitrag No.7, eingetragen 2018-06-22 19:57
\(\begingroup\)
Die \(2\varepsilon\)-Bällen sollten schon etwas mit den \(\varepsilon\)-Bällen zu tun haben. Was fällt Dir denn bezüglich Überdeckung auf wenn Du zwei Kreise mit Radien r,2r aufzeichnest?\(\endgroup\)
\(\endgroup\)

student99
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Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-22 20:03

Naja wenn ich mit 2r-Kreisen überdecke brauch ich nur halb so viele, oder?


TomTom314
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Beitrag No.9, eingetragen 2018-06-22 20:10

Das ist jetzt nur geraten. Nimm ein Blatt Papier und zeichne zwei Kreise mit Radius r und 2r. Wie sieht es mit der Überdeckung dieser beiden Kreise aus?


student99
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Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-22 20:20

Ich weiß jetzt irgendwie nicht so ganz worauf du  hinaus willst.
Sollen die Kreise den gleichen Mittelpunkt haben?
Wenn ja dann würde der 2r-Kreis natürlich mehr überdecken, inkl. dem r-Kreis. Der 2r-Kreis überdeckt ja eh einen größeren Teil der Menge.


TomTom314
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Beitrag No.11, eingetragen 2018-06-22 20:25

Wenn ja dann würde der 2r-Kreis natürlich mehr überdecken, inkl. dem r-Kreis. Der 2r-Kreis überdeckt ja eh einen größeren Teil der Menge.
Das geht jetzt schon langsam in die richtige Richtung. Unter welcher Bedingung liegt der r-Kreis im 2r-Kreis?


student99
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Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-22 20:35

Also wenn sie die gleichen Mittelpunkte haben, dann liegt der r-Kreis ganz im 2r-kreis.
Wenn sie nicht die gleichen Mittelpunkte haben, dann liegt er natürlich nie ganz drin, aber die beiden Kreise hätten quasi eine "Schnittmenge", falls der Abstand zwischen den beiden Mittelpunkten kleiner als 3r ist.


TomTom314
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Beitrag No.13, eingetragen 2018-06-22 20:50

Das trifft es noch nicht. Wenn Du den r-Kreis festhälst kannst Du den 2r-Kreis immer etwas verschieben, s.d. der kleine immer noch im großen liegt. Dafür gibt es eine ganz einfache Bedingung (-> Dreiecksungleichung).


student99
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Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-22 20:54

Jetzt mal zum Verständnis: Haben die beiden Kreise "zu Beginn des Verschiebens" den selben Mittelpunkt?


TomTom314
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Beitrag No.15, eingetragen 2018-06-22 21:11
\(\begingroup\)
Das ganze ist nur ein Bild fürs Verständnis. Die eigentliche Frage lautet wann gilt \(B_{\varepsilon}(x)\subset B_{2\varepsilon}(y)\). Das ist offensichtlich für \(x=y\) richtig - aber das gilt halt auch unter einer allgemeineren Bedingung. Dazu soll das Zeichnen der beiden Kreise dienen. Auf die Lösung mußt Du schon selber kommen.\(\endgroup\)
\(\endgroup\)

student99
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Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-22 21:20

Ich habs jetzt noch mal probiert: ich denke der kleinere ist im größeren immer dann vollständig enthalten, wenn der Abstand der beiden Mittelpunkte kleiner als Epsilon ist.


TomTom314
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Beitrag No.17, eingetragen 2018-06-22 21:35

Genau, das ist jetzt das Basisargument, um aus der Überdeckung von X eine Überdeckung der Teilmenge zu basteln.


student99
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Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-22 21:49

Da komm ich noch nicht ganz mit.
Es geht jetzt quasi darum zu zeigen, dass, wenn ich meine Menge mit endlich vielen Epsilon-Bällen überdecken kann, dass ich eine Teilmenge mit endlich vielen 2-Epsilon-Bällen überdecken kann, und dabei zu verwenden, dass die "ursprünglichen" Epsilon-Bälle in den "neuen" 2-Epsilon-Bällen schon enthalten sind, wenn die Abstände der x_i zu den y_i kleine als Epsilon sind?


TomTom314
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Beitrag No.19, eingetragen 2018-06-22 21:58

Das ist in etwa der Fahrplan.


student99
Aktiv
Dabei seit: 16.05.2018
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Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-22 22:12

OK, da weiß ich jetzt noch nicht wirklich wie das geht. Meine Gedanken:
Wenn ich zeigen kann, dass ich für die teilmenge nicht mehr an 2Epsilon-Bällen brauch als ich für die ursprüngliche Menge an Epsilon-Bällen für die Überdeckung gebraucht hab, dann sind es endlich viele. Also wäre es gut, wenn die E.-Bälle schon in den 2E.-Bällen enthalten wären, also der Abstand der Mittelpunkte kleiner als Epsilon ist.
Aber wie könnte man das zeigen, über diese Abstände weiß ich eigentlich nichts?


TomTom314
Aktiv
Dabei seit: 12.05.2017
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Beitrag No.21, eingetragen 2018-06-22 22:39
\(\begingroup\)
Die neuen Bälle müssen noch gefunden werden. Warum ist denn \(\bigcup B_\varepsilon(x_k)\) keine gute Überdeckung der Teilmenge?\(\endgroup\)
\(\endgroup\)

student99
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Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-22 22:48

Hmm. Weil dabei nicht sicher ist ob die Mittelpunkte in der Teilmenge sind?


TomTom314
Aktiv
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Beitrag No.23, eingetragen 2018-06-22 22:58

Wie kann man das nun reparieren?


student99
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Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-22 23:09

Indem man nur die Mittelpunkte nimmt, die in der Teilmenge drin sind.
Vielleicht kann man dann so was nehmen wie "alle x_i die von den y_i einen Abstand kleiner Epsilon haben" ?- aber die bin ich mir grad gar nicht sicher.


TomTom314
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Dabei seit: 12.05.2017
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Beitrag No.25, eingetragen 2018-06-22 23:39

Dann probier doch aus, ob Du damit weiter kommst. Wir haben weiter oben die Kreise mit den doppelten Radien verglichen. Das wirst Du hier schon irgendwie verwenden können.


student99
Aktiv
Dabei seit: 16.05.2018
Mitteilungen: 97
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Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23 11:41

Da komm ich jetzt gar nicht mehr weiter:
Ich will die Teilmenge mit 2E.-Bällen überdecken, wobei die E.-Bälle, die den Mittelpunkt in der Teilmenge haben und deren Mittelpunkt um weniger als Epsilon von den neuen entfernt ist, schon mit drin sind. Geht es dann noch um die Bälle, die "übrig bleiben"?


Nuramon
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Dabei seit: 23.01.2008
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Beitrag No.27, eingetragen 2018-06-23 12:13
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
Überdecke $X$ mit $\epsilon$-Bällen. Jetzt betrachte alle jene $\epsilon$-Bälle, die nicht-leeren Schnitt mit der Teilmenge haben. Wie kannst du dann die Teilmenge mit $2\epsilon$-Bällen überdecken?\(\endgroup\)
\(\endgroup\)

ochen
Senior
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Beitrag No.28, eingetragen 2018-06-23 12:15


Du musst einfach mal anfangen.
Sei  <math>(X,d)</math> ein totalbeschränkter metrischer Raum (X,d). Sei <math>\varepsilon>0</math> beliebig. So gibt <math>x_1,\ldots,x_n\in X</math>, sodass
<math>\displaystyle X\subseteq\bigcup_{k=1}^n B_{\varepsilon/2}(x_k)</math>
Sei <math>M\subseteq X</math>. Für jedes <math>k\leq n</math> betrachten wir <math>B_{\varepsilon/2}(x_k)\cap
M</math>.
Ist <math>B_{\varepsilon/2}(x_k)\cap
M</math> leer, so benötigen wir die Kugel nicht für die Überdeckung von <math>M</math>.
Ist <math>B_{\varepsilon/2}(x_k)\cap
M</math> nichtleer, gibt es ein <math>y_k\in B_{\varepsilon/2}(x_k)\cap
M</math>. Zeige nun, dass <math>B_{\varepsilon/2}(x_k)\subset B_{\varepsilon}(y_k)</math>.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.26 begonnen.]


student99
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Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23 12:35

fed-Code einblenden
ist ja der Fall wenn fed-Code einblenden
Und das ist ja erfüllt da y_k in dem Schnitt des e/2 Balls mit der Teilmenge liegt also kann er ja gar nicht weiter als e/2 von x_k entfernt sein, oder?


Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
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Beitrag No.30, eingetragen 2018-06-23 12:52

2018-06-23 12:35 - student99 in Beitrag No. 29 schreibt:
... das ist ja erfüllt da y_k in dem Schnitt des e/2 Balls mit der Teilmenge liegt ...
Hi student99,
ja, genau so geht es.
Gruß Buri


ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
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Aus: der Nähe von Schwerin
Beitrag No.31, eingetragen 2018-06-23 12:52

2018-06-23 12:35 - student99 in Beitrag No. 29 schreibt:
fed-Code einblenden
ist ja der Fall wenn fed-Code einblenden

Aber warum? Arbeite mehr mit den Definitionen.

Sei <math>a\in B_{\varepsilon/2}(x_k)</math>, so gilt ...
Da <math>y_k\in B_{\varepsilon/2}(x_k)</math> ist, gilt ...
Mit der Dreiecksungleichung folgt ..., also ist <math>a\in B_{\varepsilon}(y_k)</math>.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.29 begonnen.]


student99
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Dabei seit: 16.05.2018
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Beitrag No.32, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23 13:06

Das mit den mathematischen Formulierungen krieg ich manchmal noch nicht so ganz hin, aber mit deinem Tipp hab ichs glaub ich:
fed-Code einblenden
Aber wie würde es jezt weitergehen?


student99
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Dabei seit: 16.05.2018
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Beitrag No.33, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23 14:20

Also so weit hab ichs jetzt verstanden:
Meine ganze Menge ist mit e/2-Bällen überdeckt.
Für jeden dieser Bälle schau ich dann ob er die Teilmenge schneidet.
Wenn ja dann gibt es in dieser Schnittmenge einen Mittelpunkt sodass ich darum einen e-Ball finde, der den e/2-Ball enthält.
Aber ich versteh noch nicht ganz wie ich dann den Beweis damit weiterführen kann. Würde mich über einen Tipp noch freuen.


ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
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Beitrag No.34, eingetragen 2018-06-23 14:47

Schreib nochmal auf, was du eigentlich zeigen willst.

Sei  <math>(X,d)</math> ein totalbeschränkter metrischer Raum. Sei <math>\varepsilon>0</math> beliebig. So gibt <math>x_1,\ldots,x_n\in X</math>, sodass <math>\displaystyle X\subseteq\bigcup_{k=1}^n B_{\varepsilon/2}(x_k)</math> gilt.
Sei <math>M\subseteq X</math>. Wir zeigen, dass es <math>y_1,\ldots,y_n\in M</math> gibt mit <math>\displaystyle M\subseteq\bigcup_{k=1}^n B_{\varepsilon}(y_k)</math>.


Für jedes <math>k\leq n</math> betrachten wir <math>B_{\varepsilon/2}(x_k)\cap
M</math>. Wir setzen
<math>y_k=\begin{cases} \text{in }B_{\varepsilon/2}(x_k)\cap
M\text{ beliebig}&\text{falls }
B_{\varepsilon/2}(x_k)\cap
M\neq \emptyset\\
\text{in }
M\text{ beliebig}&\text{falls }
B_{\varepsilon/2}(x_k)\cap
M=\emptyset
\end{cases}
</math>.
Nun gilt <math>M\cap B_{\varepsilon/2} (x_k)
\subset B_{\varepsilon}(y_k)</math>. (Begründung?)

Sei <math>a\in M</math> beliebig. So gibt es ein <math>k\leq n</math> mit <math>a\in B_{\varepsilon/2} (x_k)</math>. (Warum?) Also gilt auch <math>a\in B_{\varepsilon} (y_k)</math>.
Somit folgt...


student99
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Beitrag No.35, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23 15:25

OK, zu der Inklusion:
für den ersten Fall haben wirs ja in den letzten Beiträgen bewiesen.
aber für den Fall, dass die Schnittmenge leer ist...
hmm, das erschließt sich mir noch nicht ganz: dann könnten doch die e/2-Bälle von den e-Bällen so weit weg sein, dass sie diese nicht einmal berühren, wie kann das dann eine Teilmenge sein?

Dann: Wenn a in der Teilmenge ist, muss ja auch in den e/2-Bällen sein, da diese doch die ganze Menge überdecken, also ist a ja auf jeden Fall in einem dieser Bälle drin, oder?

Wenn ich die Inklusion von oben noch vollständig zeigen könnte, dann wäre a also auch in den e-Bällen.
Und daraus würde folgen, dass jedes Element der Teilmenge auch in einem e-Ball drinliegt und da dies nur endlich viele sind, ist M totalbeschränkt?


ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
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Aus: der Nähe von Schwerin
Beitrag No.36, eingetragen 2018-06-23 15:32

2018-06-23 15:25 - student99 in Beitrag No. 35 schreibt:
hmm, das erschließt sich mir noch nicht ganz: dann könnten doch die e/2-Bälle von den e-Bällen so weit weg sein, dass sie diese nicht einmal berühren, wie kann das dann eine Teilmenge sein?

Das war falsch in meinem Beitrag. Wenn <math>B_{\varepsilon}(x_k)\cap M=\emptyset</math> ist, gibt es doch erst recht kein Problem, da diese Kugel ja gar nichts von <math>M</math> überdeckt.


student99
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Beitrag No.37, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23 15:38

2018-06-23 15:32 - ochen in Beitrag No. 36 schreibt:
Wenn <math>B_{\varepsilon}(x_k)\cap M=\emptyset</math> ist, gibt es doch erst recht kein Problem, da diese Kugel ja gar nichts von <math>M</math> überdeckt.

Du meinst wahrscheinlich wenn fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Dann wäre im zweiten Fall
fed-Code einblenden
trivialerweise richtig da der Schnitt ja leer ist und die leere Menge doch Teilmenge von jeder Menge ist, oder?


student99
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Beitrag No.38, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23 17:19

Sind denn meine Überlegungen jetzt so weit richtig?


ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
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Aus: der Nähe von Schwerin
Beitrag No.39, eingetragen 2018-06-24 11:50

Ja, sind richtig :)
Alternativ kann man Kugeln, die nichts überdecken auch ganz entfernen.


student99
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Dabei seit: 16.05.2018
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Aus:
Beitrag No.40, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-24 14:24

Vielen Dank, ochen, für deine Unterstützung und Geduld :-) mit mir.
Auch an alle anderen, die mir weitergeholfen haben. Eure Hilfe ist echt super!

Ist die Aussage jetzt dann also mit den Ausführungen aus den Beiträgen No.35ff. vollständig bewiesen?


student99
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Dabei seit: 16.05.2018
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Aus:
Beitrag No.41, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-24 19:17

Ich hab jetzt noch mal alles zusammengeschrieben und hab den Beweis so weit fertig. Vielen Dank nochmal an alle,
student99




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Druckdatum: 2018-10-20 02:19