Forum:  Vektorräume
Thema: \(\begingroup\) Anzahl von Unterräumen von F_q^n\(\endgroup\)
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ant12
Junior
Dabei seit: 22.06.2018
Mitteilungen: 7
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Themenstart: 2018-06-22 22:42

Sei K ein Körper mit q Elementen und V= Kn. Bestimmen Sie die Anzahl aller k–dimensionalen Unterräume von V f¨ur 1 ≤ k ≤ n.
Hat hier jemand eine Idee was ich hier machen muss?


BerndLiefert
Senior
Dabei seit: 21.10.2014
Mitteilungen: 397
Aus: Lehramtplanet
Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-22 23:47

Hallo,

du musst für jedes k zwischen 1 und n die Anzahl der k-dimensionalen Unterräume von V bestimmen.


ant12
Junior
Dabei seit: 22.06.2018
Mitteilungen: 7
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-22 23:55

Aber wie genau bestimme ich das so allgemein ?


Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 886
Aus:
Beitrag No.3, eingetragen 2018-06-23 02:53
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Kennst du Gruppenoperationen, insbesondere die Bahnformel? Wenn ja, hilft dir folgender Tipp?
$GL(V)$ operiert transitiv auf der Menge der $k$-dimensionalen Untervektorräume von $V$.\(\endgroup\)
\(\endgroup\)

ant12
Junior
Dabei seit: 22.06.2018
Mitteilungen: 7
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23 08:47

Nein das sagt mir nichts


dromedar
Senior
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5123
Aus: München
Beitrag No.5, eingetragen 2018-06-23 08:59

In diesem alten Thread gibt es Ansätze sowohl mit als auch ohne Benutzung der Bahnformel.


AlgebraicInteger
Junior
Dabei seit: 29.11.2017
Mitteilungen: 14
Aus:
Beitrag No.6, eingetragen 2018-06-23 09:03
\(\begingroup\)
Hallo,

du musst die Anzahl der möglichen Basisvektoren bzw. linear unabhängigen Vektoren zählen. Ich fang mit dem 1-dim Unterräumen an:
Es gibt $q^n$ Vektoren in $K^n$. Kannst du dir denken wieso? Alle Vektoren bis auf ein bestimmter Vektor würden einen 1-dim Unterraum aufspannen. Somit könnte man meinen, dass es $q^n-1$ verschiedene 1-dim Unterräume existiert. Aber auf passen! Für einen Vektor $v$ und $\operatorname{span}(v)$ gilt auch: $\lambda\cdot v\in\operatorname{span}(v)$ für $\lambda\in K$. Insbesondere gilt $\operatorname{span}(v)=\operatorname{span}(\lambda v)$ (Wieso?) Wir erhalten also für $i=1$ die folgende Anzahl:$$ \frac{q^n-1}{q-1}.$$
Jetzt kann man ähnlich weiter fortfahren für $i\geq2$.

Viele Grüße.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]\(\endgroup\)
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Druckdatum: 2018-12-13 10:42