Forum:  Analysis
Thema: \(\begingroup\) Beweis Einschränkung zusammengesetzter Funktionen auf eine Komposition\(\endgroup\)
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IVmath
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Themenstart: 2018-08-19 18:38
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Hallo,

bevor ich mich lange und mühsam abstrample und es doch nicht hinkriege (Ich bin kein Mathemtaiker und kein Student):

Könnt Ihr bitte einen Beweis folgender Aussage formulieren?
Seien $f_1,...,f_n$ beliebige Funktionen. Dann ist $F$ mit $F(z)=f_n(f_{n-1}(...(f_2(f_1(z)))...))$ eine Funktion, und $F=\tilde{f}_n\circ\tilde{f}_{n-1}\circ ...\circ\tilde{f}_2\circ\tilde{f}_1$, worin für alle $i$ mit $1\leq i\leq n$ $\tilde{f}_i$ eine Einschränkung der Funktion $f_i$ ist.

Ich benötige diesen Teil für den Beweis eines umfangreicheren Satzes.

Vielen, vielen Dank.\(\endgroup\)
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qwertzusername
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Beitrag No.1, eingetragen 2018-08-19 18:55
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Hallo,

das kann dir so keiner beweisen weil hier notwendige Bedingungen fehlen.
Einschränkungen worauf?
Bei beliebigen Einschränkungen ist es nicht sonderlich schwer Gegenbeispiele anzugeben.
Ferner fehlt die Angabe der Quell- und Zielmengen der $f_i$ um zu sehen ob $F$ überhaupt wohldefiniert ist.\(\endgroup\)
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IVmath
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-19 22:10

Alle notwendigen Bedingungen sind genannt.
Im trivialen Fall ist F eine leere Funktion auf die leere Menge.


BerndLiefert
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Beitrag No.3, eingetragen 2018-08-19 22:22

Es ist nicht sichergestellt, dass F überhaupt definiert ist.

Offensichtlich sind nicht alle Voraussetzungen genannt, oder du verwendest eine ungewöhnliche Definition der Komposition.


IVmath
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-20 18:40
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Ich bitte um Entschuldigung: Es sei vorausgesetzt, daß $F$ eine Funktion ist. Hier mein neuer Formulierungsversuch.

Könnt Ihr bitte einen Beweis folgender Aussage formulieren?
Seien $f_1,...,f_n$ beliebige Funktionen, und $F$ mit $F(z)=f_n(f_{n-1}(...(f_2(f_1(z)))...))$ eine Funktion. Dann ist $F=\tilde{f}_n\circ\tilde{f}_{n-1}\circ ...\circ\tilde{f}_2\circ\tilde{f}_1$, worin für alle $i$ mit $1\leq i\leq n$ $\tilde{f}_i$ eine surjektive Einschränkung der Funktion $f_i$ ist.

Vielen, vielen Dank.\(\endgroup\)
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qwertzusername
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Beitrag No.5, eingetragen 2018-08-20 18:54

Nein.
Du hast damit meinen Einwand in #1 Absatz 3 umschifft,
den Rest nicht.

Fehlt da fehlt zwischendrin so was wie:
Dann existieren Einschränkungen... so, dass F= ?


IVmath
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-20 20:41

Naja, ich ahne, daß Mathematiker das gerne so hätten. Aber ist das nicht mit meinem "worin" gesagt?

Übrigens habe ich jetzt in meiner Korrektur oben "Einschränkung" ergänzt zu "surjektive Einschränkung".



qwertzusername
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Beitrag No.7, eingetragen 2018-08-20 21:05


Naja, ich ahne, daß Mathematiker das gerne so hätten.
Du willst eine mathematische Aussage mathematisch bewiesen haben.
Dann musst du wohl oder übel dich der Sprache der Mathematik bedienen.
Du kannst gerne IVmathmatik gründen (with blackjack and hookers), aber dnn es ist halt nicht Mathematik sondern was anderes.



Aber ist das nicht mit meinem "worin" gesagt?
Nein.


Übrigens habe ich jetzt in meiner Korrektur oben "Einschränkung" ergänzt zu "surjektive Einschränkung".
Ändert nichts. Surjektiv auf was?

Worum geht es denn hier wirklich konkret?


IVmath
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Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-20 21:55
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In der Definition für die Komposition von Funktionen ist vorausgesetzt, daß der Zielbereich der inneren Funktion eine Teilmenge des Definitionsbereichs der äußeren Funktion ist. Die Funktionen $f_1$, ..., $f_n$ müssen aber nicht dieser Einschränkung unterliegen: hier genügt es bereits, wenn der Durchschnitt von Zielbereich der inneren Funktion und Definitionsbereich der äußeren Funktion nicht leer oder leer ist, damit $F$ mit $F(z)=f_n(f_{n-1}(...(f_2(f_1(z)))...))$ eine Funktion ist. Ich möchte zeigen, daß die Funktion $F$ die Komposition surjektiver Einschränkungen der Funktionen $f_1$, ..., $f_n$ ist.

Wenn man für $n=2$ die Funktion $F$ mit Hilfe von Bildern für die Mengen aufmalt ($DB(g)\to ZB(g), DB(f)\to ZB(f)$), sieht man was gemeint ist. Ich benötige nun aber keinen graphischen Beweis, sondern einen mathematischen.

Weil ich auch hierfür nichts gefunden habe, mußte ich das folgende selber definieren.
Definition: Surjektive Einschränkung
Seien $F$ eine Funktion mit $F\colon X\to Y$, und $\tilde{X}\subseteq X$. Dann heißt die Funktion $\tilde{F}\colon \tilde{X}\to F(\tilde{X}), x\mapsto F(x)$ surjektive Einschränkung der Funktion $F$ auf die Menge $\tilde{X}$.\(\endgroup\)
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Beitrag No.9, eingetragen 2018-08-20 22:56
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Hallo IVmath,

bist du mit der Mengentheoretischen Definition von Funktionen vertraut? Anschaulich bedeutet es, dass man zwischen Funktionen und ihren Graphen nicht unterscheidet. Das macht man, weil der Begriff der Zuordnungsvorschrift in der Sprache der Mengenlehre nicht fassbar ist, der Begriff des Graphen aber schon. Ich glaube, damit kannst du präzisieren, was du als grafischen Beweis ansiehst.

Wenn du es für \(n=2\) hinbekommst, kannst du ja einen Induktionsbeweis versuchen.

Deine surjektive Einschränkung ist ja nur eine Einschränkung des Zielbereichs. Du lässt einfach diejenigen Elemente weg, die ohnehin nicht als Funktionswerte auftauchen. Wenn du mehrere Funktionen verkettest, kannst du bei jedem Schritt diese Einschränkung machen, weil die Elemente ja ohnehin nicht getroffen werden. Du kannst auch für jede Funktion den Definitionsbereich auf den Bildbereich der vorhergehenden Funktion einschränken.

Ich finde Teile deiner Formulierungen immer noch schwer verdaulich.

2018-08-20 21:55 - IVmath in Beitrag No. 8 schreibt: hier genügt es bereits, wenn der Durchschnitt von Zielbereich der inneren Funktion und Definitionsbereich der äußeren Funktion nicht leer oder leer ist,...

Jeder Durchschnitt ist entweder leer oder nicht leer. Was meinst du genau?

Gruß
Martin\(\endgroup\)
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IVmath
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Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-21 18:08
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2018-08-20 22:56 - n-tupel in Beitrag No. 9 schreibt:
Ich finde Teile deiner Formulierungen immer noch schwer verdaulich.
...
Jeder Durchschnitt ist entweder leer oder nicht leer. Was meinst du genau?

Ich meine damit: Damit mein $F$ eine Funktion ist, muß man nicht wie bei der Komposition voraussetzen, daß der Zielbereich der jeweils inneren Funktion eine Teilmenge des Definitionsbereichs der dieser zugeordneten äußeren Funktion ist. In meiner Formulierung oben wollte ich die beiden anderen möglichen Fälle angeben.\(\endgroup\)
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Ehemaliges_Mitglied
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Beitrag No.11, eingetragen 2018-08-21 23:59
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2018-08-21 18:08 - IVmath in Beitrag No. 10 schreibt:
Ich meine damit: Damit mein $F$ eine Funktion ist, muß man nicht wie bei der Komposition voraussetzen, daß der Zielbereich der jeweils inneren Funktion eine Teilmenge des Definitionsbereichs der dieser zugeordneten äußeren Funktion ist.

Du musst das natürlich nicht voraussetzen. Aber das führt unter Umständen dazu, dass deine gesamte Verkettung im mengentheoretischen Sinn eine leere Menge, also eine leere Funktion, ergibt. Aber damit hast du ja gerechnet.

Wenn du den größeren Zusammenhang erklärst, könnten wir vielleicht mehr helfen.

Gruß
Martin\(\endgroup\)
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Druckdatum: 2018-10-20 02:21