Forum:  Stochastik und Statistik
Thema: Leontief-Inverse bestimmen von einer Inputmatrix
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Kroetenzorn
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Dabei seit: 11.10.2018
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Themenstart: 2018-10-11 19:56


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Hallo,
ich schreibe in diesem Jahr mein Abitur und arbeite gerade an einer Aufgabe zu Matrizen bei mehrstufigen Prozessen bzw. dem Leontief-Modell.

Ich habe eine Inputmatrix A gegeben, die lautet:

     0.2 0,2 0,2
A=  0  0,6 0,2
     0,4  0  0,4

Ich muss jetzt die Leontief-Inverse bestimmen.

Meine Frage lautet jetzt:
Muss ich als erstes die Einheitsmatrix minus die gegebene Inputmatrix rechnen, um dann danach mit diesem Ergebnis weiter zu rechnen? Das bedeutet, dann anschließend eine Blockmatrix zu bilden mit dem vorherigen Ergebnis und der Einheitsmatrix. Dann einfach mit dem Gaußverfahren die Inverse Matrix auszurechnen?
Oder aber kann man die Leontief-Inverse direkt durch eine Blockmatrix mit der Inoutmatrix und der Einheitsmatrix berechnen?
(Ist quasi der Schritt (E-A) nicht erforderlich?!)

Vielen Dank für die Hilfe schon im voraus!




DerEinfaeltige
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Beitrag No.1, eingetragen 2018-10-11 20:24

Ich habe noch nie von einer Blockmatrix im Zusammenhang mit dem vereinfachten Leontief-Modell gehört.


Normalerweise versteht man unter der Leontief-Inversen die Matrix $(E-A)^{-1}$, also die Inverse der Matrix $E-A$, wobei $A$ eine quadratische Input-Output-Matrix und $E$ die entsprechende Einheitsmatrix ist.

Ziel ist, die Gleichung $x = Ax + d$ zu lösen.
$x$: Input
$d$: Demand

Auflösen nach $x$ ergibt $x = (E-A)^{-1}d$.


Numerische Bestimmung von $(E-A)^{-1}$ mit obiger Matrix:

[[1.66666667, 0.83333333, 0.83333333],
[0.55555556, 2.77777778, 1.11111111],
[1.11111111, 0.55555556, 2.22222222]]


Kroetenzorn
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-11 21:02

Die Matrix (E−A)*−1 ist mir bekannt. Die Frage ist nur wenn ich beides eingesetzt habe, wie rechne ich das dann aus, wenn ich nur einen normalen nicht programmierbaren Taschenrechner habe?

Kann man das nicht mit dem Gaußverfahen rechnen (also ohne TR)?
Wie man auf (E-A) kommt verstehe ich nur nicht wie man das mit den 'hoch minus eins' danach weiter rechnet.


DerEinfaeltige
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Beitrag No.3, eingetragen 2018-10-11 21:08

Ja, eine Matrix kann man mit dem Gaussverfahren invertieren.

Typisches Vorgehen, wenn man es von Hand machen will:

Schreibe die zu invertierende Matrix (hier $E-A$) auf und direkt daneben die entsprechende Einheitsmatrix.

Das kann man dann in der Tat als Blockmatrix bezeichnen.

Hier also:

 0.8 -0.2 -0.2 |  1.  0.  0.
 0.   0.4 -0.2 |  0.  1.  0.
-0.4  0.   0.6 |  0.  0.  1.

Dann führt man den Gaussalgorithmus aus, bis links die Einheitsmatrix steht.

Rechts steht dann die Inverse.


Kroetenzorn
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Dabei seit: 11.10.2018
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-11 21:34

Vielen Dank für die Erklärung bis jetzt!

Das bedeutet, wenn ich jetzt links die Einheitsmatrix umgerechnet habe, ergibt sich rechts meine inverse Matrix?

von:
0.8 -0.2 -0.2 |  1.  0.  0.
 0.   0.4 -0.2 |  0.  1.  0.
-0.4  0.   0.6 |  0.  0.  1.

Ergebnis:

1. 0. 0 I 5/3. 5/6.  5/6
0. 1. 0 I 5/9. 25/9 10/9
0. 0  1 I 10/9 5/9. 20/9
                       I
                      V
             Das wäre also die Leontief- Inverse?

Letzte Frage: Gibt es eine Möglichkeit das mit einem unprogrammierbaren Taschenrechner zu überprüfen? Und wäre meine jetzige Antwort also richtig?


DerEinfaeltige
Senior
Dabei seit: 11.02.2015
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Beitrag No.5, eingetragen 2018-10-11 21:43

Das Ergebnis stimmt.

Zur Bestimmung des Inputvektors ist die Inverse allerdings nicht notwendig.
Das entsprechende LGS können Taschenrechner für kleine Probleme lösen.

Hast du eine Matrix $M$ invertiert, kannst du die Korrektheit des Ergebnisses testen, indem du $M \cdot M^{-1}$ rechnest. Das muss ja per Definition die Einheitsmatrix ergeben.




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Druckdatum: 2019-12-11 23:46